تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: حل مسألة كلامية تتضمن تربيع مصفوفة الرياضيات

يعتقد ماجد أن أي مصفوفة ﺃ من الرتبة ٢ × ٢؛ حيث ﺃ[١‎، ٢‎، ٣‎، ٤] = [١‎، ٢‎، ٣‎، ٤]ﺃ، يجب أن تكون تركيبًا خطيًّا من [١‎، ٠‎، ٠‎، ١] و[١‎، ٢‎، ٣‎، ٤]. بعبارة أخرى؛ يجب أن تكون ﺃ = 𝑠[١‎، ٠‎، ٠‎، ١] + ﻥ[١‎، ٢‎، ٣‎، ٤] لكل من العددين ﺱ، ﻥ. يؤكد جيمس صحة ذلك؛ حيث يرى أنه عند التعويض بـ ﺃ = [١‎، ٢‎، ٣‎، ٤]^٢ وإجراء عملية الضرب في كل طرف من طرفي المعادلة الأولى سيحصل على الناتج نفسه، وهو [١‎، ٢‎، ٣‎، ٤]^٣. ساعد ماجد بإيجاد قيمتي ﺱ، ﻥ، اللتين تحققان المعادلة الآتية: [١‎، ٢‎، ٣‎، ٤]^٢ = ﺱ[١‎، ٠‎، ٠‎، ١] + ﻥ[١‎، ٢‎، ٣‎، ٤].

٠٩:٤٦

‏نسخة الفيديو النصية

يعتقد ماجد أن أي مصفوفة ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين؛ حيث ﺃ مضروبة في المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، تساوي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة مضروبة في ﺃ، يجب أن تكون تركيبًا خطيًّا من المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: واحد، صفر، صفر، واحد، والمصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة. بعبارة أخرى؛ يجب أن تكون ﺃ تساوي ﺱ في المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: واحد، صفر، صفر، واحد زائد ﻥ في المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، لكل من العددين ﺱ وﻥ. يؤكد رامي صحة ذلك؛ حيث يرى أنه عند التعويض بالمصفوفة ﺃ التي تساوي واحدًا، اثنين، ثلاثة، أربعة، تربيع وإجراء عملية الضرب في كل طرف من طرفي المعادلة الأولى سيحصل على الناتج نفسه؛ وهو المصفوفة واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة تكعيب. ساعد ماجد بإيجاد قيمتي ﺱ، ﻥ اللتين تحققان المعادلة الآتية: المصفوفة: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة تربيع تساوي ﺱ في المصفوفة: واحد، صفر، صفر، واحد زائد ﻥ في المصفوفة: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة.

في هذا السؤال، لدينا خاصية لمصفوفة مشار إليها بـ ﺃ ورتبتها اثنان في اثنين. يعتقد ماجد أنه إذا كانت لدينا مصفوفة ﺃ من الرتبة اثنين في اثنين، بحيث يكون حاصل ضرب ﺃ من اليمين في مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين هي: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، يساوي حاصل ضرب ﺃ من اليسار في مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين هي: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، فإن ﺃ يجب أن تكون مركبة من مصفوفتين مختلفتين من الرتبة اثنين في اثنين، هما المصفوفة: واحد، صفر، صفر واحد، والمصفوفة: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة. وتعني كلمة «مركبة» هنا أنها مركبة تركيبًا خطيًّا. بعبارة أخرى؛ فهي تتضمن عددين هما ﺱ وﻥ؛ بحيث يكون حاصل ضرب ﺱ في المصفوفة: واحد، صفر، صفر، واحد زائد حاصل ضرب ﻥ في المصفوفة: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة يجب أن يساوي ﺃ. ووجد رامي أن هناك مصفوفة واحدة ممكنة لـ ﺃ، وهي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة تربيع. حسنًا، يمكننا التأكد من أن ﺃ تحقق هذه الخاصية بملاحظة أن ﺃ مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. ويمكننا التعويض بها في طرفي المعادلة. إننا نعلم أن تربيع المصفوفة يعني أننا نضربها في نفسها مرة واحدة، وتكعيب المصفوفة يعني أننا نضربها في نفسها مرتين.

ومن ثم، عندما نعوض بهذه المصفوفة في هذه المعادلة، نحصل على حاصل ضرب المصفوفة واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة في نفسها مرتين في كلا طرفي المعادلة. وعليه، فإن كلا الطرفين هما المصفوفة: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة تكعيب. وبما أن هذه المصفوفة تحقق الشرط، فهذا يؤكد صحة ما قاله ماجد عن كون المصفوفة مركبة تركيبًا خطيًّا من المصفوفتين المعطاتين.

يطلب منا السؤال إيجاد قيمتي الثابتين اللذين يحققان ذلك. وهما قيمتا ﺱ وﻥ اللتان تحققان المعادلة المعطاة. لفعل ذلك، علينا جعل طرفي المعادلة متساويين. لنبدأ بالطرف الأيمن من المعادلة. وهو المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة تربيع. لتربيع مصفوفة، نضربها في نفسها. هذا يعطينا المصفوفة الموضحة. ولضرب مصفوفتين معًا، علينا إيجاد مجموع حواصل ضرب العناصر المتناظرة في صفوف المصفوفة الأولى وأعمدة المصفوفة الثانية. على سبيل المثال، العنصر الموجود في الصف الأول بالعمود الأول والناتج عن ضرب عناصر هاتين المصفوفتين سيكون واحدًا في واحد زائد اثنين في ثلاثة. ويمكننا حساب قيمة هذا العنصر. إنه يساوي واحدًا زائد ستة، وهو ما يساوي سبعة. ومن ثم، فالعنصر الموجود في الصف الأول بالعمود الأول والناتج عن ضرب عناصر هاتين المصفوفتين هو سبعة.

يمكننا فعل الشيء نفسه لإيجاد العنصر في الصف الأول بالعمود الثاني. إنه يساوي واحدًا في اثنين زائد اثنين في أربعة، وهو ما يساوي ١٠. يمكننا اتباع الخطوات نفسها لإيجاد العنصر في الصف الثاني بالعمود الأول. إنه ثلاثة في واحد زائد أربعة في ثلاثة، وهو ما يساوي ١٥. وأخيرًا؛ العنصر في الصف الثاني بالعمود الثاني هو ثلاثة في اثنين زائد أربعة في أربعة، وهو ما يساوي ٢٢. وعليه، فإن الطرف الأيمن من هذه المعادلة هو المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: سبعة، ١٠، ١٥، ٢٢.

والآن، ننتقل إلى تبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة. للقيام بذلك، نتذكر أنه لضرب مصفوفة في كمية قياسية، نضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في هذه الكمية القياسية. سنفعل ذلك لكل حد على حدة. لنبدأ بالحد الأول. علينا ضرب كل عنصر من عناصر هذه المصفوفة في ﺱ. وهذا يعطينا المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: ﺱ، صفر، صفر، ﺱ.

بعد ذلك، في الحد الثاني، علينا ضرب جميع عناصر المصفوفة في ﻥ. هذا يعطينا المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: ﻥ، اثنان ﻥ، ثلاثة ﻥ، أربعة ﻥ. ومن ثم، فإن مجموع هاتين المصفوفتين يعطينا الطرف الأيسر من المعادلة. والمصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: سبعة، ١٠، ١٥، ٢٢ هي الطرف الأيمن من هذه المعادلة. نريد إيجاد قيمتي ﺱ وﻥ اللتين تجعلان طرفي المعادلة متساويين. يجب أن يتساوى الطرفان. لنبسط هذه المعادلة.

نبدأ بجمع المصفوفتين الموجودتين في الطرف الأيسر من المعادلة. وتذكر أنه لجمع مصفوفتين، يجب أن يكونا من الرتبة نفسها، وأن نجمع الحدود المتناظرة معًا. وعليه، فإن العنصر في الصف الأول بالعمود الأول في المصفوفة الناتجة عن جمع هاتين المصفوفتين سيكون ﺱ زائد ﻥ. سنكمل جمع المصفوفتين. العنصر في الصف الأول بالعمود الثاني في المصفوفة الناتجة عن جمع هاتين المصفوفتين هو صفر زائد اثنين ﻥ، وهو ما يساوي بالطبع اثنين ﻥ فقط. ونتبع الطريقة نفسها لإيجاد العنصرين الأخيرين. وعليه، نحصل على المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: ﺱ زائد ﻥ، اثنان ﻥ، ثلاثة ﻥ، ﺱ زائد أربعة ﻥ. الآن، علينا إيجاد قيمتي ﺱ وﻥ اللتين تجعلان هذه المصفوفة تساوي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين: سبعة، ١٠، ١٥، ٢٢.

ونتذكر أنه لكي تكون المصفوفتان متساويتين، يجب أن يكون لهما الرتبة نفسها وأن تكون جميع العناصر المتناظرة في المصفوفتين متساوية. في هذه المعادلة، تحتوي المصفوفة الموجودة في الطرف الأيمن على صفين وعمودين. وتحتوي المصفوفة الموجودة في الطرف الأيسر على صفين وعمودين أيضًا. ومن ثم، فالمصفوفتان لهما الرتبة نفسها. إذن، لكي تكون هاتان المصفوفتان متساويتين، نحتاج فقط إلى أن تكون العناصر المتناظرة متساوية. إذا ساوينا بين كل عنصرين متناظرين، فسنحصل على أربع معادلات. علينا إيجاد قيمتي ﺱ وﻥ؛ حيث سبعة يساوي ﺱ زائد ﻥ، و ١٠ يساوي اثنين ﻥ، و ١٥ يساوي ثلاثة ﻥ، و ٢٢ يساوي ﺱ زائد أربعة ﻥ. يجب أن تكون هذه المعادلات الأربع صحيحة لكي تتساوى المصفوفتان.

ومن ثم، فإننا نحل أربع معادلات خطية بهما متغيران. يمكننا ملاحظة أن المعادلتين الثانية والثالثة كلتيهما تتضمنان متغيرًا واحدًا فقط وهو ﻥ. إذن يمكننا حلهما لإيجاد قيمة ﻥ. بقسمة طرفي المعادلة الثانية على اثنين، نحصل على ﻥ يساوي خمسة. ويمكننا استخدام هذه القيمة لإيجاد قيمة ﺱ. لنعوض بـ ﻥ يساوي خمسة في المعادلة الأولى. هذا يعطينا سبعة يساوي ﺱ زائد خمسة. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ بطرح خمسة من طرفي المعادلة. نجد أن ﺱ يساوي اثنين.

لكننا لم ننته بعد. نعلم أن قيمتي ﺱ وﻥ يجب أن تجعلا طرفي المعادلة المصفوفية متساويين. هذا يعني أن قيمة كل منهما يجب أن تحقق المعادلات الأربع التي توصلنا إليها. يمكننا فعل ذلك بالتعويض بهما في المعادلات الخطية الأربع. أو يمكننا التعويض بهما في المعادلة المصفوفية. دعونا نتحقق من كل عنصر من العناصر. إذا كان ﺱ يساوي اثنين وﻥ يساوي خمسة، فإن ﺱ زائد ﻥ يساوي سبعة، وهو ما يناظر العنصر الأول. بعد ذلك، إذا كان ﻥ يساوي خمسة، فإن اثنين في ﻥ يساوي ١٠، وهو ما يناظر العنصر التالي. ثالثًا: إذا كان ﻥ يساوي خمسة، فإن ثلاثة ﻥ يساوي ١٥، وهو ما يناظر العنصر الثالث. وأخيرًا: إذا كان ﺱ يساوي اثنين وﻥ يساوي خمسة، فإن ﺱ زائد أربعة ﻥ يساوي ٢٢، وهو ما يناظر العنصر الأخير. بهذا، نكون قد تمكنا من إثبات أن ﺱ يساوي اثنين وﻥ يساوي خمسة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.