فيديو الدرس: اختبار النسبة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

اختبار النسبة

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت متسلسلة متقاربة أو متباعدة باستخدام اختبار النسبة. وسنرى مجموعة متنوعة من الأمثلة على كيفية استخدام اختبار النسبة. فهيا نبدأ باستعراض المتسلسلة التالية.

قد تعبر هذه المتسلسلة عن أي متسلسلة. ويمكننا تعريف النهاية للنسبة بين حدين متتاليين في هذه المتسلسلة بالطريقة التالية. إذ يمكننا أن نقول إن هذه النهاية تساوي ‪𝐿‬‏ وأن ‪𝐿‬‏ تساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏. نرى الآن أن هذه النهاية ذات أهمية بالغة لنا عند استخدام اختبار النسبة. نجري اختبار النسبة على متسلسلة تمثل المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏، بفرض أن ‪𝐿‬‏ تساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏. فأولًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ أقل من واحد، تكون المتسلسلة متقاربة مطلقًا. وثانيًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ أكبر من واحد، فإن المتسلسلة تتباعد. وثالثًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ تساوي واحدًا، فإن اختبار النسبة غير حاسم.

نلاحظ أنه إذا تحققت الحالة الأولى، ‪𝐿‬‏ أقل من واحد، فإن معنى تقارب السلسلة مطلقًا هو أن كلًّا من المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ والمجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ يتقاربان. ويختلف هذا عن التقارب الشرطي، والذي يعني أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ يتقارب فقط. إذن، نوع التقارب سيظهر هنا، وهو تقارب مطلق، أي صورة أقوى من صور التقارب. لنلاحظ أيضًا أنه إذا كانت لدينا الحالة الثالثة، وهذا عند ‪𝐿‬‏ تساوي واحدًا، فإننا نقول إن اختبار النسبة غير حاسم، وهو ما يعني أن المتسلسلة قد تكون متقاربة مطلقًا أو متقاربة شرطيًّا أو متباعدة. وسيكون علينا تجربة اختبار تقارب آخر لتحديد ذلك.

والآن هيا ننظر إلى مثال على كيفية استخدام اختبار النسبة.

افترض أن لدينا متسلسلة وهي ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑛‬‏ تكعيب على ثلاثة مضروب ‪𝑛‏‬‏. حدد إذا ما كانت المتسلسلة تتقارب أو تتباعد.

يمكننا محاولة استخدام اختبار النسبة لتحديد ما إذا كانت المتسلسلة تتقارب أو تتباعد. ينص اختبار النسبة على أنه في حالة المتسلسلة التي تمثل المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ بفرض أن ‪𝐿‬‏ تساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏، فأولًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ أقل من واحد، فإن المتسلسلة تتقارب مطلقًا. وثانيًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ أكبر من واحد، فإن المتسلسلة تتباعد. وأخيرًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ تساوي واحدًا، فإن الاختبار غير حاسم. في هذا السؤال، نرى أن ‪𝑎 𝑛‬‏ تساوي ‪𝑛‬‏ تكعيب على ثلاثة مضروب ‪𝑛‏‬‏. لنبد ملاحظة سريعة، وهي أن ثلاثة مضروب ‪𝑛‬‏ في المقام يساوي ثلاثة مضروبًا في مضروب ‪𝑛‏‬‏. إذن، رمز المضروب يؤثر فقط على ‪𝑛‬‏ وليس على الثلاثة.

بعد ذلك، يمكننا كتابة قيمة ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد. ببساطة نغير كل ‪𝑛‬‏ في ‪𝑎 𝑛‬‏ إلى ‪𝑛‬‏ زائد واحد. وسنجد أن ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد تساوي ‪𝑛‬‏ زائد واحد تكعيب على ثلاثة في مضروب ‪𝑛‬‏ زائد واحد. والآن، أصبحنا مستعدين لإيجاد ‪𝐿‬‏. نعرف أن ‪𝐿‬‏ تساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏. ‏‪‏‬‏نعوض عن ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد وواحد على ‪𝑎 𝑛‬‏. وبهذا نكون مستعدين لبدء التبسيط.

أولًا، يمكننا حذف العامل ثلاثة من البسط والمقام. وبعد ذلك، نعرف أنه يمكننا إعادة كتابة مضروب ‪𝑛‬‏ زائد واحد على صورة ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في مضروب ‪‏𝑛‬‏. ‏‪‏‬‏سيسمح لنا هذا بكتابة النهاية كالتالي: النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد تكعيب مضروبًا في مضروب ‪𝑛‬‏ على ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في مضروب ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ تكعيب. وبذلك يمكننا حذف العامل مضروب ‪𝑛‬‏ من البسط والمقام. يمكننا أيضًا حذف العامل ‪𝑛‬‏ زائد واحد من المقام مع أحد العوامل ‪𝑛‬‏ زائد واحد الموجود في البسط. ما يتبقى لنا هنا هو النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑛‬‏ زائد واحد تربيع على ‪𝑛‬‏ تكعيب.

بعد ذلك، يمكننا توزيع التربيع على القوس في البسط. من الواضح هنا أن أعلى قوة لـ ‪𝑛‬‏ في البسط هي ‪𝑛‬‏ تربيع وأعلى قوة لـ ‪𝑛‬‏ في المقام هي ‪𝑛‬‏ تكعيب. وبما أننا نأخذ النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ وأعلى قوة لـ ‪𝑛‬‏ في المقام أكبر من أعلى قوة لـ ‪𝑛‬‏ في البسط، فسيعني هذا أن هذه النهاية ستساوي صفرًا. ما وجدناه هنا هو أن قيمة ‪𝐿‬‏ لهذه المتسلسلة تساوي صفرًا والصفر أقل من الواحد. إذن، عند النظر إلى قاعدة اختبار النسبة، نرى أن الحالة الأولى متحققة هنا. وهذا يبين لنا حل المسألة، وهو أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑛‬‏ تكعيب على ثلاثة مضروب ‪𝑛‬‏ يتقارب مطلقًا.

هيا ننتقل الآن إلى المثال التالي.

صواب أم خطأ: المتسلسلة التي تمثل المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لواحد على ‪𝑛‬‏ تربيع زائد واحد، متقاربة باستخدام اختبار النسبة.

علينا تطبيق اختبار النسبة على هذه المتسلسلة. ينص اختبار النسبة على أنه في حالة المتسلسلة التي تمثل المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏، بفرض أن ‪𝐿‬‏ تساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏. ‏‪‏‬‏فأولًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ أقل من واحد، فإن المتسلسلة تتقارب مطلقًا. وثانيًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ أكبر من واحد، فإن المتسلسلة تتباعد. وثالثًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ تساوي واحدًا، فإن الاختبار غير حاسم.

من المتسلسلة المعطاة في السؤال، نعرف أن ‪𝑎 𝑛‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝑛‬‏ تربيع زائد واحد. إذن، ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد يساوي واحدًا على ‪𝑛‬‏ زائد واحد تربيع زائد واحد، وبعد فك القوسين، نرى أن هذا يساوي واحدًا على ‪𝑛‬‏ تربيع زائد اثنين ‪𝑛‬‏ زائد اثنين. أصبحنا الآن مستعدين لإيجاد قيمة ‪𝐿‬‏. نعرف أن ‪𝐿‬‏ هي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏. بالتعويض بقيم ‪𝑎 𝑛‬‏ و‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد، يمكننا أن نرى أن هذه النهاية تساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑛‬‏ تربيع زائد واحد على ‪𝑛‬‏ تربيع زائد اثنين ‪𝑛‬‏ زائد اثنين.

يمكننا الآن قسمة كل من بسط هذا الكسر ومقامه على ‪𝑛‬‏ تربيع. وسنفعل هذا لأننا نحاول حساب النهاية عند ما لا نهاية لدالة كسرية. و‪𝑛‬‏ تربيع هي أعلى قوة في الكسر. إذن، نحصل على النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لواحد زائد واحد على ‪𝑛‬‏ تربيع، الكل على واحد زائد اثنين على ‪𝑛‬‏ زائد اثنين على ‪𝑛‬‏ تربيع. بعد ذلك، استخدمنا حقيقة أن النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ لواحد على ‪𝑛‬‏ تساوي صفرًا. إذن، أي حد داخل النهاية، يكون مكونًا من واحد على ‪𝑛‬‏ أو واحد على ‪𝑛‬‏ تربيع، ستقترب قيمته من الصفر عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‏‬‏.

وتصبح النهاية هنا هي القيمة المطلقة لواحد زائد صفر على واحد زائد صفر زائد صفر. وهو ما يساوي واحدًا ببساطة. بذلك، نكون قد أوجدنا أن ‪𝐿‬‏ تساوي واحدًا. بالنظر إلى اختبار النسبة، يمكننا أن نرى أن هذا يحقق الحالة الثالثة. وبناء عليه، يمكننا أن نقول إن اختبار النسبة هنا غير حاسم. فهو لا يخبرنا عما إذا كانت المتسلسلة متقاربة مطلقًا أو متقاربة شرطيًّا أو متباعدة. إذن، إجابة هذا السؤال هي ‪“‬‏خطأ‪”‬‏.

في المثال التالي، سنعرف كيف يمكننا استخدام هذا الاختبار للتأكد من تقارب متسلسلة تحتوي على ثابت مجهول.

افترض أن لدينا متسلسلة تمثل المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏، حيث ‪𝑎 𝑛‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ حيث ‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏ عددان صحيحان وأكبر من واحد. الجزء الأول، احسب النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏. والجزء الثاني، بناء على ذلك، حدد إذا ما كانت المتسلسلة تتقارب أو تتباعد.

في الجزء الأول، علينا إيجاد النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏. ونعرف من رأس المسألة ‪𝑎 𝑛‬‏، وهو يساوي ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑐‬‏. إذن، يمكننا أن نقول إن ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد يساوي ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد على مضروب ‪𝑛‬‏ زائد واحد زائد ‪𝑐‬‏. وبذلك، يمكننا التعويض عن ‪𝑎 𝑛‬‏ و‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد في هذه النهاية. فتصبح النهاية هنا مساوية للنهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد. وهذا يساوي ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد على مضروب ‪𝑛‬‏ زائد واحد زائد ‪𝑐‬‏ مضروبًا في واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏. وهو ما يساوي مضروب ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ على ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏.

نرى في الحال أنه يمكننا حذف بعض العوامل المشتركة. لدينا ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد في بسط الكسر الأيسر. يمكننا إلغاء هذا العامل مع ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏ في مقام الكسر الأيمن. بذلك، سيتبقى ‪𝑏‬‏ فقط في بسط الكسر الأيسر. وبعدها، يمكننا إعادة كتابة مضروب ‪𝑛‬‏ زائد واحد زائد ‪𝑐‬‏. مضروب ‪𝑛‬‏ زائد واحد زائد ‪𝑐‬‏ يساوي مضروب ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ زائد واحد. وهو ما يساوي ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ زائد واحد مضروبًا في مضروب ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑐‬‏. يمكننا التعويض بهذا في الكسر الموجود في النهاية لدينا.

يصبح لدينا النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑏‬‏ مضروبًا في مضروب ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ على ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ زائد واحد مضروبًا في مضروب ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑐‬‏. يمكننا حذف العامل مضروب ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ من البسط والمقام. يتبقى لدينا النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑏‬‏ على ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ زائد واحد. نحسب هنا النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏. جميع الحدود الأخرى في الكسر هي ثوابت. وبما أن ‪𝑛‬‏ لا يظهر إلا في مقام الكسر فقط، فسيعني هذا أن النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ لهذا الكسر ستساوي صفرًا. وهذا لأنه كلما زادت قيمة ‪𝑛‬‏ وازدادت اقترابًا من ‪∞‬‏، اقتربت قيمة الكسر الذي به ‪𝑛‬‏ في المقام أكثر وأكثر من الصفر. إذن، يمكننا أن نقول إن هذه النهاية تساوي صفرًا. وبإيجاد قيمة النهاية، نكون قد أجبنا على الجزء الأول من المسألة. هيا ننتقل الآن إلى الجزء الثاني.

في الجزء الثاني، مطلوب منا استخدام إجابة الجزء الأول لتحديد ما إذا كانت المتسلسلة تتقارب أو تتباعد. في الجزء الأول، أوجدنا قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏، وهو ما يدفعنا لاستخدام اختبار النسبة. ينص اختبار النسبة على أنه في حالة المتسلسلة التي تمثل المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ بفرض أن ‪𝐿‬‏ تساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏، فإنه إذا كانت ‪𝐿‬‏ أقل من واحد، تكون المتسلسلة متقاربة مطلقًا. وإذا كانت ‪𝐿‬‏ أكبر من واحد، فإن المتسلسلة تتباعد. وإذا كانت ‪𝐿‬‏ تساوي واحدًا، فإن الاختبار غير حاسم.

أول ما قد نلاحظه أن اختبار النسبة يطبق على المتسلسلات التي تكون فيها ‪𝑛‬‏ من واحد إلى ‪∞‬‏. غير أن هذه المتسلسلة تبدأ من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏. ولكن هذا لا يهم. فما زلنا قادرين على تطبيق اختبار النسبة. وهذا لأن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ صفر زائد المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏. إذن، يمكننا تطبيق اختبار النسبة على المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏. وفي هذه الحالة، ‪𝑎‬‏ صفر يساوي واحدًا على مضروب ‪𝑐‬‏، حيث ‪𝑐‬‏ عدد صحيح أكبر من الواحد. يمكننا أن نرى أن ‪𝑎‬‏ صفر سيكون ثابتًا. ومن ثم، فإن نتيجة اختبار النسبة للمتسلسلة حيث ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا ستنطبق أيضًا على هذه المتسلسلة حيث ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا.

هيا نطبق اختبار النسبة الآن. في الجزء الأول، وجدنا أن النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏ تساوي صفرًا. ومن هذا، عرفنا أن ‪𝐿‬‏ تساوي صفرًا. الصفر أقل من الواحد. وبهذا نكون قد حققنا الحالة الأولى من اختبار النسبة. وهذا يبين لنا أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ يتقارب مطلقًا. نعلم أيضًا أن ‪𝑎‬‏ صفر قيمة محدودة. ومن هنا، يمكننا أن نستنتج أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ يتقارب مطلقًا.

هيا ننتقل الآن إلى المثال الأخير.

لدينا المتسلسلة التي تمثل المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في مضروب اثنين ‪𝑛‬‏ على ثلاثة أس ثلاثة ‪𝑛‬‏. حدد إذا ما كانت المتسلسلة تتقارب أو تتباعد.

يمكننا أن نحاول تحديد إذا ما كانت المتسلسلة تتقارب أو تتباعد بتطبيق اختبار النسبة. ينص اختبار النسبة على أنه في حالة المتسلسلة، التي تمثل المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ بفرض أن ‪𝐿‬‏ تساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏ فإنه إذا كانت ‪𝐿‬‏ أقل من واحد، تكون المتسلسلة متقاربة مطلقًا. وإذا كانت ‪𝐿‬‏ أكبر من واحد، فإن المتسلسلة تتباعد. وإذا كانت ‪𝐿‬‏ تساوي واحدًا، فإن اختبار النسبة غير حاسم.

بالنظر إلى المتسلسلة المعطاة في رأس المسألة، نرى أن ‪𝑎 𝑛‬‏ يساوي سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في مضروب اثنين ‪𝑛‬‏ على ثلاثة أس ثلاثة ‪𝑛‬‏. وبذلك، نحصل على ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد يساوي سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في مضروب اثنين مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد على ثلاثة أس ثلاثة في ‪𝑛‬‏ زائد واحد. يمكن إعادة كتابة هذا على صورة سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في مضروب اثنين ‪𝑛‬‏ زائد اثنين على ثلاثة أس ثلاثة ‪𝑛‬‏ زائد ثلاثة.

يمكننا إيجاد قيمة ‪𝐿‬‏ بحساب النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏. وبالتعويض بقيمتي ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد و‪𝑎 𝑛‬‏، نجد أن ‪𝐿‬‏ تساوي هذا. يمكننا هنا حذف بعض العوامل المشتركة. نحذف سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ من البسط والمقام ليصبح لدينا سالب واحد في البسط. ويمكننا أيضًا حذف العامل المشترك ثلاثة أس ثلاثة ‪𝑛‬‏ ليتبقى لدينا ثلاثة تكعيب في المقام. يصبح لدينا أن ‪𝐿‬‏ تساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لسالب واحد مضروبًا في مضروب اثنين ‪𝑛‬‏ زائد اثنين على ثلاثة تكعيب مضروبًا في مضروب اثنين ‪𝑛‬‏.

أولًا، بما أن هذه قيمة مطلقة، يمكننا ببساطة حذف سالب واحد. بعد ذلك، يمكننا أخذ عاملين من مضروب اثنين ‪𝑛‬‏ زائد اثنين. ويمكننا بعدها إعادة كتابة مضروب اثنين ‪𝑛‬‏ زائد اثنين على صورة اثنين ‪𝑛‬‏ زائد اثنين مضروبًا في اثنين ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في مضروب اثنين ‪𝑛‬‏. بالتعويض بهذا في بسط النهاية، نلاحظ أنه يمكننا حذف العامل مضروب اثنين ‪𝑛‬‏ من البسط والمقام. والآن، يصبح لدينا ‪𝐿‬‏ تساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لاثنين ‪𝑛‬‏ زائد اثنين مضروبًا في اثنين ‪𝑛‬‏ زائد واحد على ثلاثة تكعيب.

تقع الحدود التي بها ‪𝑛‬‏ في بسط النهاية فقط. إذن، كلما ازدادت قيمة ‪𝑛‬‏، ازدادت أيضًا قيمة بسط الكسر. وبذلك، يمكننا أن نقول إن هذه النهاية لا بد وأنها تساوي ‪∞‬‏. بهذا نكون قد أوجدنا أن ‪𝐿‬‏ تساوي ‪∞‬‏، أي أكبر من الواحد بالطبع. ويجعلنا هذا ننظر إلى الجزء الثاني من اختبار النسبة، وهو ما سيخبرنا بإجابة السؤال. وهو أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في مضروب اثنين ‪𝑛‬‏ على ثلاثة أس ثلاثة ‪𝑛‬‏ يتباعد.

تناولنا مجموعة متنوعة من الأمثلة على كيفية استخدام اختبار النسبة لتوضيح ما إذا كانت إحدى المتسلسلات تتقارب مطلقًا أو تتباعد. ورأينا أيضًا أنه في بعض الأوقات لن يفيدنا اختبار النسبة في تحديد تقارب أو تباعد متسلسلة. دعونا نلخص إذن بعض النقاط الرئيسية في الفيديو.

النقاط الرئيسية

اختبار النسبة: نفترض أن لدينا متسلسلة تمثل المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪∞‬‏ لـ ‪𝑎 𝑛‬‏. وبافتراض أن ‪𝐿‬‏ تساوي النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ‪∞‬‏ للقيمة المطلقة لـ ‪𝑎 𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎 𝑛‬‏. فأولًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ أقل من واحد، تكون المتسلسلة متقاربة مطلقًا. وثانيًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ أكبر من واحد، فإن المتسلسلة تتباعد. وثالثًا، إذا كانت ‪𝐿‬‏ تساوي واحدًا، فإن اختبار النسبة غير حاسم. وفي حال كان اختبار النسبة غير حاسم، سيكون علينا إجراء اختبار تقارب مختلف لنحدد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة مطلقًا، أو متقاربة شرطيًّا، أو متباعدة.