فيديو السؤال: تحديد منحنى الدالة باستخدام المشتقات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

استخدم المشتقات لتحديد أي من الآتي يمثل منحنى الدالة ﺩﺱ يساوي سالب ﺱ زائد واحد تكعيب في ﺱ ناقص اثنين.

لتحديد أي الخيارات المعطاة يمثل المنحنى الصحيح للدالة، نبدأ عادة بإيجاد الجزأين المقطوعين من المحورين ﺱ وﺹ. نوجد الجزء المقطوع من المحور ﺹ بجعل ﺱ يساوي صفرًا، فنوجد قيمة الدالة، ونوجد الجزء المقطوع من المحور ﺱ بجعل ﺩﺱ يساوي صفرًا فنحل المعادلة. على الرغم من أن بإمكاننا استخدام هذه الطريقة لاستبعاد بعض الخيارات، فإن المطلوب منا هو استخدام المشتقات. نبدأ بتذكر أن مشتقة ﺩﺱ، التي تكتب على الصورة ﺩ شرطة ﺱ، تساوي صفرًا عند نقاط التحول أو النقاط الحرجة. يحتوي كل منحنى من المنحنيات التي لدينا على نقطتين على الأقل من هذه النقاط، ويمكن تصنيفها على أنها نقاط قيمة صغرى محلية، أو نقاط قيمة عظمى محلية، أو نقاط انقلاب. وسنستعرض الفرق بينها في وقت لاحق.

لكي نتمكن من اشتقاق هذه الدالة، علينا استخدام قاعدة الضرب للاشتقاق. تنص هذه القاعدة على أنه إذا كان ﺩﺱ حاصل ضرب الحدين ﻉ وﻕ، فإن ﺩ شرطة ﺱ يساوي ﻉﻕ شرطة زائد ﻕﻉ شرطة. في هذا السؤال، سنفترض أن ﻉ يساوي سالب ﺱ زائد واحد تكعيب وﻕ يساوي ﺱ ناقص اثنين. عند اشتقاق سالب ﺱ زائد واحد تكعيب، نحصل على سالب ثلاثة في ﺱ زائد واحد تربيع. نضرب الأس في القوسين، ونقلل الأس بمقدار واحد، ثم نضرب في مشتقة المقدار الموجود داخل القوسين. وفي هذه الحالة، مشتقة المقدار الموجود داخل القوسين يساوي واحدًا. يعرف ذلك بقاعدة السلسلة للاشتقاق.

بعد ذلك، نشتق المقدار ﺱ ناقص اثنين بالنسبة إلى ﺱ. وهذا يساوي واحدًا. مشتقة ﺱ تساوي واحدًا، واشتقاق الثابت يعطينا صفرًا. بالتعويض بهذين المقدارين في قاعدة الضرب، نحصل على سالب ﺱ زائد واحد تكعيب ناقص ثلاثة في ﺱ زائد واحد تربيع في ﺱ ناقص اثنين. والآن، نجعل مقدار ﺩ شرطة ﺱ يساوي صفرًا. ولكن بدلًا من ذلك، نحاول تبسيط الطرف الأيسر أولًا. يمكننا إخراج العامل المشترك سالب ﺱ زائد واحد تربيع. وهذا يعني أن ﺩ شرطة ﺱ يساوي سالب ﺱ زائد واحد الكل تربيع في ﺱ زائد واحد زائد ثلاثة ﺱ ناقص ستة. بعد ذلك، نجمع الحدود المتشابهة داخل القوسين المربعين، وهو ما يعطينا سالب ﺱ زائد واحد الكل تربيع في أربعة ﺱ ناقص خمسة.

لدينا الآن مقدار مبسط لمشتقة ﺩﺱ. خطوتنا التالية هي مساواة هذه المشتقة بالصفر. بما أن حاصل ضرب الحدين يساوي صفرًا، فلا بد أن أحدهما أو كليهما يساوي أيضًا صفرًا. وهذا يعني أن سالب ﺱ زائد واحد الكل تربيع يساوي صفرًا، أو أربعة ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا. بضرب الطرفين في سالب واحد وأخذ الجذر التربيعي لهما، نحصل من المعادلة الأولى على ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. بعد ذلك، نطرح واحدًا من طرفي هذه المعادلة، فنجد أن ﺱ يساوي سالب واحد. وعليه، يكون لدينا نقطة تحول أو نقطة حرجة عند ﺱ يساوي سالب واحد. للمنحنيات أ، ج، هـ جميعها نقطة تحول عند هذه القيمة لـ ﺱ. أما المنحنى أ فله نقطة انقلاب، وأما المنحنى ج فله نقطة قيمة عظمى محلية، وأما المنحنى هـ فله نقطة قيمة صغرى محلية.

وبما أن المنحنيين ب، د ليس لهما نقطة تحول عند ﺱ يساوي سالب واحد، نستبعد هذين الخيارين. يمكننا حل المعادلة الثانية بإضافة خمسة إلى الطرفين، وهو ما يعطينا أربعة ﺱ يساوي خمسة. وبالقسمة على أربعة، نحصل على ﺱ يساوي خمسة على أربعة، أو ١٫٢٥. هذا يعني أن لدينا نقطة تحول ثانية عند قيمة ﺱ هذه. للمنحنيين ج، هـ ثلاث نقاط تحول. لكننا قد بينا أن الدالة التي لدينا لها نقطتا تحول فقط عند ﺱ يساوي سالب واحد وﺱ يساوي خمسة على أربعة. من ثم، نستبعد الخيارين ج، هـ.

بالنظر إلى المنحنى أ، نلاحظ أن له بالفعل نقطة تحول عند ﺱ يساوي خمسة على أربعة. تمثل نقطة التحول هذه نقطة قيمة عظمى محلية. وعليه، نستنتج أن منحنى الدالة ﺩﺱ الذي يساوي سالب ﺱ زائد واحد الكل تكعيب في ﺱ ناقص اثنين هو المنحنى أ.

على الرغم من أن السؤال لا يطلب منا ذلك، فبإمكاننا إجراء خطوة إضافية وتحديد إذا ما كانت نقاط التحول تمثل نقاط قيمة عظمى محلية، أم نقاط قيمة صغرى محلية، أم نقاط انقلاب؛ وذلك من خلال إيجاد المشتقة الثانية. نعلم أنه إذا كانت المشتقة الثانية أقل من الصفر عند النقطة، تكون النقطة نقطة قيمة عظمى. وإذا كانت قيمة المشتقة الثانية أكبر من الصفر عند النقطة؛ أي موجبة، تكون النقطة نقطة قيمة صغرى. وأخيرًا؛ إذا كانت قيمة المشتقة الثانية تساوي صفرًا عند النقطة، وكانت قيمة المشتقة الثالثة لا تساوي صفرًا عند النقطة، تكون النقطة نقطة انقلاب. بناء على مدى تعقيد الدالة، قد يطلب منا في بعض الأحيان إيجاد المشتقتين الثانية والثالثة.