تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: حل مسائل كلامية تتضمن متتابعات حسابية الرياضيات

يدخر باسم جنيهًا إسترلينيًّا في اليوم الأول، وجنيهين إسترلينيين في اليوم الثاني، وثلاثة جنيهات إسترلينية في اليوم الثالث، وهكذا، مدخرًا جنيهًا إسترلينيًّا واﺣﺪًا إضافيًّا كل يوم. ما اليوم الذي يصل فيه إجمالي مدخراته إلى ما يزيد على ١٠٠ جنيه إسترليني؟

٠٧:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

يدخر باسم جنيهًا إسترلينيًّا واحدًا في اليوم الأول، وجنيهين إسترلينيين في اليوم الثاني، وثلاثة جنيهات إسترلينية في اليوم الثالث، وهكذا، مدخرًا جنيهًا إسترلينيًّا واﺣﺪًا إضافيًّا كل يوم. ما اليوم الذي يصل فيه إجمالي مدخراته إلى ما يزيد على ١٠٠ جنيه إسترليني؟

لننظر إلى المتتابعة التي تشكلها المبالغ التي يوفرها باسم كل يوم. في اليوم الأول، لدينا جنيه إسترليني واحد، وفي اليوم الثاني جنيهان، في اليوم الثالث ثلاثة جنيهات إسترلينية، وهكذا. تزداد المبالغ التي يوفرها باسم بمقدار جنيه إسترليني واحد كل يوم. ما يعني أن الفرق بين الحدود في هذه المتتابعة ثابت. إذن تشكل الحدود متتابعة حسابية ذات فرق مشترك (أساس المتتابعة الحسابية) قيمته واحد. والمطلوب إيجاد اليوم الذي يصل إجمالي مدخراته فيه إلى ما يزيد على ١٠٠ جنيه إسترليني. هذا يعني أننا نبحث عن اليوم الذي يتجاوز فيه مجموع الحدود ١٠٠ جنيه لأول مرة.

لنتذكر صيغة إيجاد مجموع أول عدد ﻥ من الحدود للمتتابعة الحسابية. إنها ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد ﺩ، حيث ﺟﻥ يمثل مجموع أول عدد ﻥ من الحدود. يمثل ﻥ عدد الحدود التي نحاول إيجاد مجموعها. ويمثل ﺃ أو أحيانًا ﺡ واحد الحد الأول في المتتابعة. ويمثل ﺩ الفرق المشترك. وهنا الحد الأول والفرق المشترك لهذه المتتابعة كل منهما يساوي واحدًا. ومجموع أول عدد ﻥ من الحدود هو ١٠٠، وﻥ، أي عدد الحدود، لا نعرفه. هذا هو ما نحاول إيجاده. يمكننا إذن تكوين معادلة من خلال التعويض عن ﺟﻥبـ ١٠٠، وبواحد عن ﺃ، وبواحد عن ﺩ. وعليه يصبح لدينا ١٠٠ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين في واحد زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في واحد.

يمكن تبسيط هذه المعادلة إلى ١٠٠ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين زائد ﻥ ناقص واحد. وفي داخل القوسين، يمكن تبسيط ذلك أكثر إلى ﻥ زائد واحد. بعد ذلك يمكننا ضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين لنحصل على ٢٠٠ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد. وبتوزيع القوسين في الطرف الأيسر، يصبح لدينا ٢٠٠ يساوي ﻥ تربيع زائد ﻥ. وأخيرًا، يمكننا طرح ٢٠٠ من طرفي المعادلة لنحصل على صفر يساوي ﻥ تربيع زائد ﻥ ناقص ٢٠٠. لدينا الآن معادلة تربيعية بدلالة ﻥ. ولا يمكن تحليل هذه المعادلة، لذا سنحلها بتطبيق القانون العام. تذكر أن القانون العام ينص على أن جذور المعادلة، ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، تعطى بالعلاقة: ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل على اثنين ﺃ.

المعاملات في المعادلة التربيعية لدينا هي واحد، واحد، سالب ٢٠٠. إذن، لدينا ﻥ يساوي سالب واحد زائد أو ناقص الجذر التربيعي لواحد تربيع ناقص أربعة مضروبًا في واحد مضروبًا في سالب ٢٠٠ الكل على اثنين مضروبًا في واحد. نبسط ذلك إلى ﻥ يساوي سالب واحد زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٨٠١ الكل على اثنين. وإذا حسبنا ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، فسنجد أن ﻥ يساوي ١٣٫٦٥٠ أو سالب ١٤٫٦٥٠. تذكر أن ﻥ يمثل عددًا من الحدود، ولذلك يجب أن يكون موجبًا. يمكننا إذن استبعاد الحل سالب ١٤٫٦٥٠. وﻥ لا بد أن يكون عددًا صحيحًا. إذن دعونا نفكر فيما تخبرنا به هذه القيمة ١٣٫٦٥٠.

إذا كان ﺟﻥ يمثل دالة متصلة لـ ﻥ، فإن قيمته تساوي ١٠٠ عندما يكون ﻥ يساوي ١٣٫٦٥٠، ما يعني أنه في اليوم الـ ١٣ سيكون ﺟﻥ أقل من ١٠٠، بينما في اليوم التالي، أي اليوم الـ ١٤، سيكون أكبر من ١٠٠. تذكر أننا نريد إيجاد اليوم الذي يصل فيه إجمالي مدخرات باسم إلى ما يزيد عن ١٠٠ جنيه إسترليني. في اليوم الـ ١٣، لم يكن قد وصل إلى ذلك العدد، لكن في اليوم الـ ١٤ نجد أنه تجاوز ١٠٠ جنيه إسترليني. إذن إنه اليوم الـ ١٤. هذه هي الإجابة. ويمكننا التحقق من ذلك عن طريق إيجاد قيمة ﺟ١٣ وﺟ١٤. ‏ﺟ١٣ يساوي ١٣ على اثنين مضروبًا في اثنين زائد ١٢ في واحد. وهذا يساوي اثنين في واحد لاثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد، ما يساوي ١٢ مضروبًا في الفرق المشترك ﺩ، وهو ما يساوي واحدًا. وهذا يساوي ٩١. إذن، فإن إجمالي مدخرات باسم في اليوم الـ ١٣ هو ٩١ جنيهًا إسترلينيًّا.

في اليوم الـ ١٤، ﺟ١٤ يساوي ١٤ على اثنين مضروبًا في اثنين زائد ١٣ في واحد، وهو ما يساوي ١٠٥. وهذا يؤكد أن إجمالي مدخرات باسم سيكون أقل من ١٠٠ جنيه إسترليني في اليوم الـ ١٣، وأكثر من ١٠٠ جنيه إسترليني في اليوم الـ ١٤. إذن، هذا يؤكد أن إجابتنا صحيحة؛ فاليوم الـ ١٤ هو اليوم الذي يصل فيه إجمالي مدخرات باسم إلى ما يزيد على ١٠٠ جنيه إسترليني.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.