فيديو: إجراء عمليات حسابية على الأعداد المركبة

ستتعلم كيف تجمع وتطرح وتضرب الأعداد المركبة، من خلال التعامل مع الأجزاء الحقيقية والتخيلية كل على حدة، إن بالجمع أو بالطرح أو بالتجميع الذي تتطلبه عملية الضرب. وأيضًا، ستتعلم كيفية استخدام حقيقة أن ‪𝑖² = −1‬‏ لتبسيط الناتج.

٠٨:٠٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف على كيفية إجراء عمليات حسابية على الأعداد المركبة. سنرى كيف نجمع ونطرح ونضرب الأعداد المركبة. أما قسمة الأعداد المركبة فسنخصص لها فيديو آخر.

فلنبدأ إذن بجمع الأعداد المركبة. في السؤال الذي أمامنا هنا، نريد أن نجمع العدد المركب اثنين زائد أربعة ‪𝑖‬‏ مع العدد المركب ثلاثة زائد سبعة ‪𝑖‬‏. قبل مباشرة الحل، لنتذكر سريعًا بنية العدد المركب، حيث إن العدد المركب يتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي. وإذا نظرنا إلى العدد المركب الأول هنا، وهو اثنان زائد أربعة ‪𝑖‬‏، نجد أن الجزء الحقيقي من هذا العدد المركب هو اثنان، والجزء التخيلي هو زائد أربعة ‪𝑖‬‏. إن عملية جمع هذين العددين المركبين، عملية مباشرة جدًا. وما علينا إلا أن نتذكر أن علينا التعامل مع الأجزاء الحقيقية والتخيلية، كل على حدة. أولًا، إذا نظرنا إلى الجزأين الحقيقيين، فسنجد العدد اثنين في العدد المركب الأول، وسنضيفه إلى العدد ثلاثة في العدد المركب الثاني، لنحصل على جزء حقيقي يساوي خمسة. والآن إذا نظرنا إلى الجزأين التخيليين، فسنجد موجب أربعة ‪𝑖‬‏ في العدد المركب الأول وموجب سبعة ‪𝑖‬‏ في الثاني. وبجمعهما معًا، سنحصل على جزء تخيلي يساوي موجب ‪11𝑖‬‏. إذن إجابة مسألة الجمع هذه هي خمسة زائد ‪11𝑖‬‏.

لنتناول الآن مثالًا يوضح كيفية طرح عددين مركبين، وهي الكيفية نفسها التي تتم بها عملية الجمع. السؤال الذي أمامنا يقول إن لدينا العدد المركب خمسة زائد ستة ‪𝑖‬‏، ونريد أن نطرح منه العدد المركب ثلاثة ناقص اثنين ‪𝑖‬‏. بالطريقة نفسها التي استخدمناها في الجمع، سننظر أولًا إلى الأجزاء الحقيقية. في العدد المركب الأول، لدينا خمسة، وفي العدد المركب الثاني لدينا ثلاثة، لذا سنحسب خمسة ناقص ثلاثة، لنحصل على اثنين، وهو الجزء الحقيقي لهذا العدد المركب. والآن إذا نظرنا إلى الجزء التخيلي، نجد أن لدينا موجب ستة ‪𝑖‬‏، وسنطرح منه سالب اثنين ‪𝑖‬‏. بطرح سالب اثنين ‪𝑖‬‏، فإننا في الواقع نضيف اثنين ‪𝑖‬‏، لنحصل على جزء تخيلي يساوي موجب ثمانية ‪𝑖‬‏. إذن فالتعامل مع الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعدد المركب كل على حدة، يعطينا ناتجًا لعملية الطرح هذه، يساوي اثنين زائد ثمانية ‪𝑖‬‏.

لننظر الآن إلى سؤال أكثر تعقيدًا. لدينا هنا عددان مركبان علينا جمعهما معًا، لكن كليهما يتضمن أقواسًا. العدد الأول هو اثنان في واحد زائد ثلاثة ‪𝑖‬‏، وسنضيف إليه أربعة في سالب اثنين زائد ستة ‪𝑖‬‏. إذن فالخطوة الأولى هي فك الأقواس. وإذا فككناها بشكل صحيح، فسنحصل على اثنين زائد ستة ‪𝑖‬‏ للعدد المركب الأول، ثم سنحصل على سالب ثمانية زائد ‪24𝑖‬‏ للعدد المركب الثاني. عند فك الأقواس، فإن أربعة في سالب اثنين يعطي سالب ثمانية.

وبما أننا فككنا الأقواس، فما علينا الآن سوى جمع الجزأين الحقيقيين معًا، وجمع الجزأين التخيليين معًا كما فعلنا في الأمثلة السابقة. إذا نظرنا إلى الجزأين الحقيقيين، فسنجد أن لدينا اثنين وسالب ثمانية، ونحصل منهما على الجزء الحقيقي سالب ستة. وإذا نظرنا إلى الجزأين التخيليين، موجب ستة ‪𝑖‬‏ زائد ‪24𝑖‬‏، فسنحصل منهما على الجزء التخيلي موجب ‪30𝑖‬‏، ليكون الناتج النهائي سالب ستة زائد ‪30𝑖‬‏. إذن فما فعلناه هنا، للتذكير فقط، هو أننا فككنا الأقواس أولًا ثم جمعنا الحدود الحقيقية والتخيلية مثلما فعلنا في الأمثلة السابقة.

لننظر الآن إلى مثال يوضح كيفية ضرب عددين مركبين. سنرى كيف نضرب العدد المركب أربعة زائد اثنين ‪𝑖‬‏ في العدد المركب واحد زائد ثلاثة ‪𝑖‬‏. ولكي نفعل ذلك، علينا استخدام حقيقة أساسية ومهمة جدًا عن الأعداد المركبة، وهي أن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. لذا فقد كتبتها على يمين الشاشة باللون الأحمر. إذ سأحتاج إلى الاسترشاد بها أثناء الحل.

إذن الخطوة الأولى هي فك الأقواس، وهناك طرق مختلفة يمكننا استخدامها لفعل ذلك. يستخدم البعض الرمز المختصر «‪FOIL‬‏» الذي يعني ضرب الحدين الأول في الأول، ثم الطرفين، ثم الوسطين، ثم الحدين الأخيرين، لتسهيل تذكر جميع الحدود التي تضرب. اختيار الطريقة عائد إليك، لكن عليك التأكد من ضرب كل حد من القوس الأول في كل حد من القوس الثاني.

وهذا هو ما فعلناه هنا. لقد فككنا الأقواس، وأصبح لدينا أربعة حدود: أربعة، زائد ‪12𝑖‬‏، زائد اثنين ‪𝑖‬‏، زائد ستة ‪𝑖‬‏ تربيع. وعندما نتذكر حقيقة أن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد، سنكون قادرين على تبسيط هذا الحد الأخير. فإذا كان ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد، فلا بد أن ستة ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب ستة. لذا يمكننا التعويض عن هذا الحد الأخير بسالب ستة، فيصبح لدينا أربعة زائد ‪12𝑖‬‏ زائد اثنين ‪𝑖‬‏. ثم لدينا سالب ستة. ما علينا الآن سوى ترتيب حدود المقدار الناتج. وكما فعلنا في الأمثلة السابقة، نجمع الأجزاء الحقيقية معًا والأجزاء التخيلية معًا، فالجزء الحقيقي هو أربعة ناقص ستة، يساوي سالب اثنين. وموجب ‪12𝑖‬‏ زائد اثنين ‪𝑖‬‏، يساوي موجب ‪14𝑖‬‏، ليصبح الناتج النهائي لعملية الضرب هذه، هو سالب اثنين زائد ‪14𝑖‬‏.

فنراجع خطوات الحل. أولًا، فككنا الأقواس باستخدام الطريقة التي نفضلها، ثم استحضرنا الحقيقة الأساسية التي تقول إن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد، واستخدمناها لتبسيط الحد الأخير. وأخيرًا، جمعنا الأجزاء الحقيقية معًا والأجزاء التخيلية معًا، لنحصل على الناتج النهائي لعملية الضرب هذه.

هناك عملية أخرى نستخدم فيها ضرب الأعداد المركبة، وهي عملية تربيع العدد المركب. على سبيل المثال، لدينا العدد المركب ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏، ونريد تربيعه. عند تربيع عدد مركب، أو أي مقدار مكون من حدين، فالطريقة الفضلى هي كتابة الأقواس مرتين. وذلك لكي تنتبه إلى أنك لا تقوم بتربيع الحدود منفردة، بل إنك في الحقيقة تفك زوجين من الأقواس. إذن ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏ في ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏.

والآن يمكننا تطبيق الطريقة نفسها التي طبقناها في المثال السابق. إذن يمكننا فك هذه الأقواس لنحصل على أربعة حدود. وهي: تسعة، زائد ثلاثة ‪𝑖‬‏، زائد ثلاثة ‪𝑖‬‏، زائد ‪𝑖‬‏ تربيع. ولا ننسى أن ‪𝑖‬‏ تربيع هنا يمكن تبسيطه إلى سالب واحد باستخدام هذه الحقيقة الأساسية الخاصة بالأعداد المركبة. بالتعويض عن ‪𝑖‬‏ تربيع بسالب واحد، يصبح لدينا الآن تسعة زائد ثلاثة ‪𝑖‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑖‬‏ ناقص واحد. ثم يمكننا جمع الجزأين الحقيقيين معًا والجزأين التخيليين معًا كما فعلنا في الأمثلة السابقة، لنحصل على ناتج نهائي لعملية الضرب هذه، يساوي ثمانية زائد ستة ‪𝑖‬‏.

الخطوة الأساسية التي علينا تذكرها هي هذه الخطوة، حيث كتبنا ما بين الأقواس مرتين، للتأكد من ضرب كل شيء داخل القوس الأول في كل شيء داخل القوس الثاني. ها قد انتهينا. كان ذلك ملخصًا لكيفية إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركبة. شرحنا كيف نجمع، وكيف نطرح، وكيف نضرب. أما قسمة الأعداد المركبة فسنخصص لها فيديو آخر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.