تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: اشتقاق الدوال المركبة من الدوال اللوغاريتمية والجذرية باستخدام قاعدتي السلسلة وحاصل الضرب

أحمد لطفي

أوجد المشتقة الأولى لـ ﺹ = (لو ٤ﺱ)^٩ + جذر (٣ﺱ) لو ﺱ^٩.

٠٦:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى لـ ص بتساوي لوغاريتم أربعة س الكل أُس تسعة زائد، الجذر التربيعي لتلاتة س، مضروبة في لوغاريتم س أُس تسعة.

في البداية هنفتكر قواعد الاشتقاق. فعندنا أول قاعدة إن لو عندنا ر س بتساوي أ مضروبة في د س أُس ن. فـ ر شرطة س هتساوي أ مضروبة في ن مضروبة في د س أُس ن ناقص واحد، مضروبة في مشتقة الدالة د س. ولو عايزين نوجد مشتقة حاصل ضرب دالتين. يعني محتاجين نوجد د على د س لـ ع س مضروبة في ق س، فهتساوي الدالة ع س مضروبة في مشتقة الدالة ق س. زائد مشتقة الدالة ع س مضروبة في الدالة ق س. ولو عايزين نوجد مشتقة دالة لوغاريتمية. يعني لو عندنا الدالة ب س بتساوي لوغاريتم ع للأساس أ. فـ ب شرطة س هتساوي واحد على، ع مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي لـ أ. مضروبة في د ع على د س.

وبالتالي لو عايزين نوجد المشتقة الأولى لـ ص بتساوي لوغاريتم أربعة س الكل أُس تسعة زائد، الجذر التربيعي لتلاتة س، مضروبة في لوغاريتم س أُس تسعة. فهنقول ص شرطة بتساوي … أول حاجة مشتقة لوغاريتم أربعة س الكل أُس تسعة، هنعتبر إن اللوغاريتم أربعة س هي دالة، ومرفوعة لأُس تسعة. وبالتالي مشتقتها هتساوي … هنكتب الأُس اللي هو تسعة. مضروبة في الدالة اللي هي لوغاريتم أربعة س أُس … هننّقص التسعة واحد، يعني هيكون عندنا تسعة ناقص واحد.

مضروبة في مشتقة الدالة، يعني مشتقة لوغاريتم أربعة س. ومشتقة لوغاريتم أربعة س هتساوي واحد على، ما بداخل اللوغاريتم اللي هو أربعة س، مضروب في اللوغاريتم الطبيعي لأساس اللوغاريتم. يعني اللوغاريتم الطبيعي لعشرة. في مشتقة ما بداخل اللوغاريتم، يعني مشتقة أربعة س. ومشتقة أربعة س هتساوي أربعة. يبقى كده قدِرنا نوجد مشتقة لوغاريتم أربعة س الكل أُس تسعة.

محتاجين نوجد مشتقة الجذر التربيعي لتلاتة س، مضروبة في لوغاريتم س أُس تسعة. فهنعتبر إن هم عبارة عن دالتين مضروبين في بعض. أول دالة هي الجذر التربيعي لتلاتة س. وتاني دالة هي لوغاريتم س أُس تسعة. فمشتقة المقدار: الجذر التربيعي لتلاتة س، مضروبة في لوغاريتم س أُس تسعة، هيكون عندنا. الدالة الأولى اللي هي الجذر التربيعي لتلاتة س، مضروبة في مشتقة الدالة التانية.

مشتقة لوغاريتم س أُس تسعة. هتكون عبارة عن واحد على، ما بداخل اللوغاريتم اللي هو س أُس تسعة، مضروب في اللوغاريتم الطبيعي لأساس اللوغاريتم. وأساس اللوغاريتم هو عشرة. مضروب في مشتقة ما بداخل اللوغاريتم، يعني مشتقة س أُس تسعة. وَ س أُس تسعة مشتقتها، هنكتب الأُس اللي هو تسعة، مضروب في س. هننقّص الأُس واحد، يعني هيكون تسعة ناقص واحد. يبقى كده كتبنا الدالة الأولى في مشتقة الدالة التانية.

زائد … مشتقة الدالة الأولى في الدالة التانية. مشتقة الجذر التربيعي لتلاتة س، ممكن نعتبرها على صورة: تلاتة س الكل أُس نُصّ. وبالتالي هيكون عندنا دالة، ومرفوعة لأُس. يعني مشتقة تلاتة س الكل أُس نُصّ، هنكتب الأُس اللي هو نُصّ. مضروب في الدالة اللي هي تلاتة س. وهننقّص من الأُس واحد، يعني هيكون عندنا نُصّ ناقص واحد. في مشتقة الدالة نفسها. ومشتقة تلاتة س هتساوي تلاتة. الكل مضروب في الدالة التانية اللي هي لوغاريتم س أُس تسعة.

وبالتالي هيكون عندنا ص شرطة بتساوي تسعة مضروبة في لوغاريتم أربعة س أُس تسعة ناقص واحد. تسعة ناقص واحد، يعني هتساوي تمنية. في واحد على، أربعة س في اللوغاريتم الطبيعي لعشرة، في أربعة. نقدر نختصر أربعة مع أربعة. زائد الجذر التربيعي لتلاتة س في، واحد على، س أُس تسعة في اللوغاريتم الطبيعي لعشرة، في تسعة س أُس تسعة ناقص واحد. تسعة ناقص واحد هتساوي تمنية. ونقدر نختصر س أُس تمنية مع س أُس تسعة، وهيتبقّى عندنا س في المقام. زائد نُصّ مضروبة في تلاتة س الكل أُس نُصّ ناقص واحد. نُصّ ناقص واحد، هتساوي سالب نُصّ. مضروب في تلاتة في لوغاريتم س أُس تسعة.

ويبقى ص شرطة هتساوي تسعة في لوغاريتم أربعة س الكل أُس تمنية، مقسومة على س في اللوغاريتم الطبيعي لعشرة. زائد تسعة في الجذر التربيعي لتلاتة س الكل مقسوم على س في اللوغاريتم الطبيعي لعشرة. زائد تلاتة في لوغاريتم س أُس تسعة الكل مقسوم على اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة س. بالنسبة لآخر مقدار اللي هو تلاتة في لوغاريتم س أُس تسعة الكل مقسوم على اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة س. هنضرب البسط والمقام في الجذر التربيعي لتلاتة س.

وبالتالي هيكون عندنا … يعني ص شرطة هتساوي تسعة مضروبة في لوغاريتم أربعة س الكل أُس تمنية، مقسومة على اللوغاريتم الطبيعي لعشرة في س. زائد تسعة في الجذر التربيعي لتلاتة س، مقسومة على اللوغاريتم الطبيعي لعشرة في س. زائد … بالنسبة لآخر مقدار، عندنا في البسط تلاتة في لوغاريتم س أُس تسعة في الجذر التربيعي لتلاتة س. وعندنا في المقام اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة س في الجذر التربيعي لتلاتة س. بالنسبة للمقام الجذر التربيعي لتلاتة س في الجذر التربيعي لتلاتة س، هيساوي تلاتة س. وبالتالي نقدر نختصر تلاتة من البسط والمقام. فهيكون عندنا في البسط الجذر التربيعي لتلاتة س، مضروبة في لوغاريتم س أُس تسعة. وفي المقام عندنا اتنين مضروبة في س.

وبالتالي تبقى ص شرطة هتساوي. وبالتالي تبقى ص شرطة هتساوي تسعة مضروبة في لوغاريتم أربعة س أُس تمنية الكل مقسوم على اللوغاريتم الطبيعي لعشرة مضروبة في س. زائد تسعة في الجذر التربيعي لتلاتة س الكل مقسوم على اللوغاريتم الطبيعي لعشرة في س. زائد الجذر التربيعي لتلاتة س مضروبة في لوغاريتم س أُس تسعة الكل مقسوم على اتنين س.