فيديو الدرس: حساب الاحتمالات باستخدام النواتج المتساوية في احتمال حدوثها الرياضيات

عبر عن عدد الحالات الممثلة لحدث ما كنسبة من جميع الحالات وذلك لإيجاد احتمال حدوثه، إذا كانت النواتج المنفردة متساوية في احتمال حدوثها.

٠٩:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت جميع النواتج المحتملة من تجربة ما متساوية في احتمال حدوثها، فإن حساب احتمال وقوع حدث ما يصبح أمرًا بسيطًا لا يعدو أن يكون عدًّا للنواتج التي تكون الحدث، والتعبير عن ذلك بصورة كسر من إجمالي عدد النواتج المحتملة.

على سبيل المثال، إذا ألقينا حجر نرد منتظمًا ذا ستة أوجه، فسيكون هناك ست نواتج محتملة. قد نحصل على واحد، أو اثنين، أو ثلاثة، أو أربعة، أو خمسة، أو ستة، وكلها متساوية في احتمال حدوثها. إحدى هذه النواتج هي ثلاثة. وهناك طريقة واحدة للحصول على ثلاثة. إذن احتمال الحصول على ثلاثة هو واحد مقسومًا على إجمالي عدد النواتج، وهو ستة. إذن احتمال الحصول على ثلاثة هو واحد على ستة.

إذن عند تساوي احتمال حدوث جميع النواتج، لإيجاد احتمال وقوع حدث ما، نوجد عدد طرق الحصول على النتيجة التي نريدها ونقسمه على إجمالي عدد النواتج. تذكر، طريقة عد النواتج لإيجاد الاحتمالات لا تنجح إلا إذا كانت النواتج متساوية في احتمال حدوثها. لننظر إلى مثال لا تنطبق عليه هذه الحالة.

إذا اشترينا تذكرة يانصيب، فسيوجد احتمالان. قد تكسب، وقد تخسر. لكن في أغلب تذاكر اليانصيب، لا تكون هذه الاحتمالات متساوية. فاحتمال الخسارة يكون أكبر من احتمال الفوز. إذن، هذه النواتج المحتملة ليست متساوية في احتمال حدوثها. بالرغم من أن إجمالي عدد النواتج هو اثنان، وهناك طريقة واحدة للفوز. فإن احتمال الفوز ليس واحدًا مقسومًا على اثنين. الاحتمال ليس واحدًا على اثنين لأن هذه النواتج ليس متساوية في احتمال حدوثها. تذكر، احتمال حدوث هذا أكبر من احتمال حدوث ذلك. إذن لا يمكننا العد فقط. إذن، كالمعتاد، هناك شيء نبحث عنه، هل النواتج متساوية في احتمال حدوثها؟

حسنًا. هيا نعد الآن إلى مثال النرد، حيث جميع النواتج متساوية في احتمال حدوثها. هيا نوجد احتمال الحصول على أحد عوامل العدد ١٢، عند إلقاء حجر النرد. أول ما علينا فعله هو أن نعرف أي من هذه النواتج ستكون مضمنة في الحدث ﺃ، أي من هذه الأعداد من عوامل العدد ١٢؟ واحد هو من هذه العوامل، واثنان، وثلاثة، وأربعة، خمسة ليس منها، وستة منها. إذن هناك خمس نواتج متساوية في احتمال حدوثها تكون الحدث ﺃ. لذا فعند حساب احتمال وقوع الحدث ﺃ، أي الحصول على أحد عوامل العدد ١٢ عند إلقاء حجر النرد، نجد أن هناك خمس طرق لحدوث ذلك، أي خمس من إجمالي ست طرق محتملة لدينا، أي خمسة على ستة. وبهذه النواتج المتساوية في احتمال حدوثها، يصبح الأمر هو أن نعد الحالات فقط. هناك خمس طرق للحصول على أحد عوامل العدد ١٢ من إجمالي ست طرق مرجحة بالتساوي لوقوع النواتج في النهاية.

تسري هذه الطريقة على الحالات الأكثر تعقيدًا قليلًا أيضًا. لنقل إننا نلقي حجري نرد منتظمين ونجمع النواتج معًا. يمكننا وضع النواتج في جدول كهذا. لدينا ٣٦ نتيجة محتملة متساوية في احتمال حدوثها. إذن، وعلى سبيل المثال، قد نحصل على واحد على حجر النرد الأول وواحد على حجر النرد الثاني، ليصبح المجموع اثنين. وقد نحصل على واحد على حجر النرد الأول واثنين على حجر النرد الثاني، أي المجموع ثلاثة، وهكذا. هيا نطرح هذا السؤال، ما احتمال الحصول على تسعة؟ هناك ٣٦ نتيجة محتملة متساوية في احتمال حدوثها، في واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة منها تساوي النتيجة تسعة. إذن احتمال الحصول على تسعة هو أربعة من ٣٦، هناك أربع طرق للحصول على تسعة من إجمالي ٣٦ نتيجة محتملة متساوية في احتمال حدوثها.

هيا نطرح سؤالًا، ما احتمال الحصول على نتيجة فردية؟ حسنًا نرى أن ١٨ من ٣٦ نتيجة متساوية في احتمال حدوثها تعطينا نواتج فردية، نواتج تكون أعدادًا فردية. أي إن احتمال الحصول على عدد فردي هو ١٨ على ٣٦. يمكننا الآن تبسيط هذا العدد إلى واحد على اثنين، لكن هذا ضروري. في الاحتمالات، لا توجد مشكلة إذا تركنا الكسر بالصورة ١٨ على ٣٦. ومرة أخرى، تبدو هذه الإجابة مفيدة أكثر من واحد على اثنين بشكل ما لأنه يوجد ١٨ طريقة للحصول على ما نبحث عنه، وذلك من إجمالي ٣٦ طريقة محتملة للنواتج.

حسنًا. الآن هيا نفكر في تجربة نلقي خلالها حجري نرد منتظمين، ونضرب ناتجهما معًا. مرة أخرى، لدينا ٣٦ نتيجة محتملة متساوية في احتمال حدوثها. قد نحصل على واحد على حجر النرد الأول وواحد على حجر النرد الثاني أيضًا وهو ما ينتج عنه واحد في واحد يساوي واحدًا. أو قد نحصل على واحد على حجر النرد الأول واثنين على الحجر النرد الثاني، واحد في اثنين يساوي اثنين، وهكذا، بالنسبة للـ ٣٦ مثالًا المختلفة. عندما نكتب جميع النواتج في فضاء العينة في جدول، فإن كل خلية متساوية في احتمال حدوثها. ومرة أخرى، يمكننا عد الطرق التي نحصل بها على النواتج.

هيا نطرح السؤال مرة أخرى، ما احتمال الحصول على النتيجة تسعة؟ توجد ٣٦ نتيجة محتملة، جميعها متساوية في احتمال حدوثها. ولكن في واحدة منها فقط، وهي الحصول على ثلاثة وثلاثة، تساوي النتيجة تسعة. إذن هناك طريقة واحدة فقط من ٣٦ طريقة للحصول على تسعة.

وما احتمال الحصول على نتيجة تكون عددًا فرديًّا؟ بما أننا نضرب الأعداد على حجري النرد معًا، فإنه توجد تسع طرق فقط للحصول على نتيجة فردية، أي تسعة من ٣٦. احتمال الحصول على نتيجة تكون عددًا فرديًّا في هذه الحالة أقل بكثير مما سبق.

لتلخيص ذلك، إذا كانت جميع النواتج متساوية في احتمال حدوثها في أي تجربة، وكان لدينا فضاء العينة ﻑ وكان ﺃ هو الحدث الذي نبحث عنه، فإنه لإيجاد احتمال وقوع الحدث ﺃ، سنعد الطرق التي نحصل بها على ﺃ مقابل عدد الطرق الإجمالي للحصول على النواتج التي في فضاء العينة. ثم نعبر عن ذلك في صورة كسر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.