نسخة الفيديو النصية
هل الفرق بين السرعات المناظرة للخطوط الموضحة على التمثيل البياني الآتي للمسافة مقابل الزمن ثابت لأي خطين متجاورين؟
في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن. وهو تمثيل بياني يوضح المسافة على المحور الرأسي أو المحور 𝑦 مقابل الزمن على المحور الأفقي أو المحور 𝑥. يمكننا ملاحظة أن هناك أربعة خطوط مختلفة موضحة على هذا التمثيل البياني. مطلوب منا في هذا السؤال المقارنة بين السرعات التي تمثلها هذه الخطوط. سنسمي السرعة الممثلة بالخط الأزرق 𝑉𝑏، والسرعة الممثلة بالخط الأحمر 𝑉𝑟، والسرعة الممثلة بالخط الأخضر 𝑉𝑔، والسرعة الممثلة بالخط البرتقالي 𝑉𝑜. مطلوب منا هنا تحديد إذا ما كان الفرق بين السرعات ثابتًا لأي خطين متجاورين على التمثيل البياني. وإذا كان التغير في السرعة ثابتًا لأي خطين متجاورين، فهذا يعني أن الفرق بين سرعتي كل زوج من الخطوط المتجاورة لا بد أن يكون ثابتًا أيضًا.
نلاحظ من التمثيل البياني أن الخط الأزرق والخط الأحمر متجاوران. والفرق بين سرعتيهما هو 𝑉𝑏، أي السرعة الممثلة بالخط الأزرق، ناقص 𝑉𝑟، وهي السرعة الممثلة بالخط الأحمر. الخط الأحمر يجاور أيضًا الخط الأخضر. وإذا كان التغير في السرعة ثابتًا لأي خطين متجاورين، فإن الفرق بين سرعة الخط الأزرق وسرعة الخط الأحمر، أي 𝑉𝑏 ناقص 𝑉𝑟، لا بد أن يساوي الفرق بين سرعة الخط الأحمر وسرعة الخط الأخضر. وهذا يساوي 𝑉𝑟 ناقص 𝑉𝑔.
وبالمثل، يمكننا ملاحظة أن الخطين الأخضر والبرتقالي متجاوران أيضًا. لذا، إذا كان التغير في السرعة ثابتًا بالفعل بين الخطوط المتجاورة، فإن 𝑉𝑔 ناقص 𝑉𝑜، أي الفرق بين سرعة الخط الأخضر وسرعة الخط البرتقالي، يجب أن يساوي الفرق بين كل سرعتين من السرعات الأخرى.
للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد كل من هذه الفروق الثلاثة بين السرعات. بعد ذلك، يمكننا المقارنة بين هذه الفروق الثلاثة لنعرف إذا ما كانت هذه العبارة صحيحة أم لا. إذا وجدنا أنها صحيحة، فسنعلم عندئذ أن الفرق بين السرعات ثابت لأي خطين متجاورين. وعلى العكس، إذا وجدنا أن هذه العبارة غير صحيحة، فسنعلم حينها أن الفرق بين السرعات ليس ثابتًا لأي خطين متجاورين.
لإيجاد هذه الفروق الثلاثة، سنبدأ بإيجاد قيمة كل سرعة من السرعات الأربعة المختلفة. دعونا نتذكر أن سرعة أي جسم تعرف بأنها معدل التغير في المسافة التي يقطعها الجسم بالنسبة إلى الزمن. هذا يعني أنه إذا تحرك جسم مسافة مقدارها Δ𝑑 في زمن مقداره Δ𝑡، فإن السرعة المتوسطة لهذا الجسم، والتي سنشير إليها بـ 𝑉، تساوي Δ𝑑 مقسومًا على Δ𝑡.
يمكننا أيضًا كتابة هذا الكسر بطريقة أخرى. إذا تحرك الجسم في الفترة بين 𝑡 واحد و𝑡 اثنين من المسافة 𝑑 واحد إلى المسافة 𝑑 اثنين، فإن السرعة المتوسطة لهذا الجسم، أي 𝑉، تساوي 𝑑 اثنين ناقص 𝑑 واحد مقسومًا على 𝑡 اثنين ناقص 𝑡 واحد. وبما أن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يوضح المسافة على المحور الرأسي مقابل الزمن على المحور الأفقي، فإذا كانت 𝑡 واحد، 𝑑 واحد، و𝑡 اثنان، 𝑑 اثنان إحداثيات نقطتين على خط مستقيم مرسوم على تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن، فإن هذا يعني أن معادلة السرعة 𝑉 هذه تساوي التغير في الإحداثي الرأسي بين هاتين النقطتين مقسومًا على التغير في الإحداثي الأفقي بين نفس النقطتين. بعبارة أخرى، هذه المعادلة تساوي ميل الخط المستقيم المرسوم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن.
يمكننا القول إذن إن سرعة أي جسم تساوي ميل الخط المرسوم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. الخط المستقيم هو خط له نفس الانحدار عند جميع النقاط الواقعة على نفس الخط. بعبارة أخرى، إنه خط ذو ميل ثابت. وبما أن ميل الخط المرسوم على تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن يشير إلى سرعة الجسم، فإن أي خط مستقيم على تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن يمثل جسمًا يتحرك بسرعة ثابتة. يمكننا ملاحظة أن جميع الخطوط الأربعة الموضحة على هذا التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن هي خطوط مستقيمة. وهذا يعني أن قيم هذه السرعات الأربعة جميعًا ستكون ثابتة. عندما يتحرك جسم بسرعة ثابتة، فإن سرعته المتوسطة تساوي سرعته عند أي نقطة أثناء الحركة. إذن باستخدام معادلة السرعة المتوسطة هذه، يمكننا الحصول على سرعة كل خط من هذه الخطوط الأربعة.
لإيجاد كل سرعة من هذه السرعات الأربعة، سنختار نقطتين على كل خط يكون لهما الإحداثيات 𝑡 واحد، 𝑑 واحد، و𝑡 اثنان، 𝑑 اثنان. بعد ذلك، يمكننا التعويض بقيمتي الزمن والمسافة في هذه المعادلة لحساب السرعة لكل حالة. دعونا الآن نفرغ بعض المساحة حتى نتمكن من فعل ذلك. نلاحظ أن جميع الخطوط الأربعة الموضحة على هذا التمثيل البياني تمر بنقطة الأصل. يعني هذا أن قيمة الزمن عند هذه النقطة تساوي صفر ثانية، وقيمة المسافة تساوي صفر متر. يمكننا استخدام نقطة الأصل لتكون هي النقطة الأولى على جميع هذه الخطوط الأربعة. إذن، في جميع الحالات الأربعة، سيكون 𝑡 واحد يساوي صفر ثانية، و𝑑 واحد تساوي صفر متر.
لاختيار النقطة الثانية الواقعة على كل خط، يمكننا ملاحظة أنه عند قيمة الزمن التي تساوي ثماني ثوان، يتقاطع كل خط من الخطوط الأربعة ليس فقط مع الخط الرأسي عند ثماني ثوان، ولكن أيضًا مع خط أفقي من شبكة الرسم. لذا، سنختار هذه النقطة على الخط الأزرق، وهذه النقطة على الخط الأحمر، وهذه النقطة على الخط الأخضر، وهذه النقطة على الخط البرتقالي. جميع هذه النقاط الأربعة تقع عند زمن مقداره ثماني ثوان. وهذه هي قيمة 𝑡 اثنين لجميع الخطوط الأربعة. هذا يعني أنه بالنسبة إلى النقطتين المحددتين على كل خط، الكمية الوحيدة التي تختلف بين الخطوط الأربعة هي 𝑑 اثنان. وهي المسافة المقطوعة عند النقطة الثانية. سنشير إلى هذه المسافة الثانية بـ 𝑑 اثنين 𝑏 للخط الأزرق، و𝑑 اثنين 𝑟 للخط الأحمر، و𝑑 اثنين 𝑔 للخط الأخضر، و𝑑 اثنين 𝑜 للخط البرتقالي.
إذا بدأنا بالخط الأزرق وتحركنا أفقيًّا من النقطة الثانية وصولًا إلى محور المسافة، فسنجد أن المسافة 𝑑 اثنين 𝑏 تساوي ثمانية أمتار. وإذا تحركنا بعد ذلك من النقطة الثانية على الخط الأحمر، فسنصل إلى محور المسافة عند القيمة ستة أمتار. ومن ثم، هذه هي قيمة الكمية 𝑑 اثنين 𝑟. بفعل الشيء نفسه مع النقطة الثانية على الخط الأخضر، نجد أن قيمة 𝑑 اثنين 𝑔 تساوي أربعة أمتار. وبتكرار نفس العملية مع الخط البرتقالي، نجد أن قيمة 𝑑 اثنين 𝑜 تساوي مترين. والآن، لحساب السرعة لكل خط من الخطوط الموضحة على التمثيل البياني، علينا التعويض بقيم 𝑡 واحد و𝑑 واحد و𝑡 اثنين، بالإضافة إلى قيمة 𝑑 اثنين المحددة لكل خط في هذه المعادلة.
دعونا نبدأ بالخط الأزرق، أي أننا سنحسب السرعة 𝑉𝑏. بناء على هذه المعادلة العامة، نعلم أن 𝑉𝑏 تساوي 𝑑 اثنين 𝑏 ناقص 𝑑 واحد مقسومًا على 𝑡 اثنين ناقص 𝑡 واحد. وبالتعويض عن 𝑑 اثنين 𝑏 بثمانية أمتار، وعن 𝑑 واحد بصفر متر، وعن 𝑡 اثنين بثماني ثوان، وعن 𝑡 واحد بصفر ثانية، نحصل على هذا التعبير للسرعة 𝑉𝑏. في البسط، لدينا ثمانية أمتار ناقص صفر متر، وهذا يساوي ثمانية أمتار. وفي المقام، لدينا ثماني ثوان ناقص صفر ثانية، وهذا يساوي ثماني ثوان. وهكذا نجد أن 𝑉𝑏 تساوي ثمانية أمتار مقسومًا على ثماني ثوان. وبحساب ذلك، نجد أنها تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية.
ننتقل الآن إلى السرعة التالية ونتبع الخطوات نفسها مع الخط الأحمر، أي أننا سنحسب السرعة 𝑉𝑟. ستبدو معادلة السرعة 𝑉𝑟 تقريبًا مثل معادلة السرعة 𝑉𝑏. الفرق الوحيد هو أنه بدلًا من 𝑑 اثنين 𝑏، سيكون لدينا 𝑑 اثنان 𝑟 للسرعة 𝑉𝑟. نعوض عن 𝑑 اثنين 𝑟 بستة أمتار، ثم نعوض بالقيم الثلاث الأخرى لدينا لنحصل على هذا التعبير للسرعة 𝑉𝑟. في البسط، لدينا ستة أمتار ناقص صفر متر وهذا يساوي ستة أمتار. وفي المقام، لدينا ثماني ثوان ناقص صفر ثانية، وهذا يساوي ثماني ثوان. إذن 𝑉𝑟 تساوي ستة أمتار مقسومًا على ثماني ثوان، وبحساب ذلك نجد أنه يساوي 0.75 متر لكل ثانية.
دعونا نطبق الخطوات نفسها على الخط الأخضر، أي أننا سنوجد السرعة 𝑉𝑔. هذه المرة، سيكون لدينا في معادلة السرعة إلى جانب الكميات الثلاث نفسها، وهي 𝑡 واحد و𝑑 واحد و𝑡 اثنان، الكمية 𝑑 اثنان 𝑔. بالتعويض بالقيم لدينا، نحصل على هذا التعبير العددي لـ 𝑉𝑔. ومن ثم، نوجد قيمة هذا التعبير لنحصل على الناتج 0.5 متر لكل ثانية. آخر سرعة علينا إيجادها هي 𝑉𝑜، وهي السرعة الممثلة بالخط البرتقالي. إنها تساوي 𝑑 اثنين 𝑜 ناقص 𝑑 واحد مقسومًا على 𝑡 اثنين ناقص 𝑡 واحد. وبالتعويض بقيم هذه الكميات الأربع، نحصل على هذا التعبير للسرعة 𝑉𝑜. وبحساب ذلك نجد أن هذه السرعة تساوي 0.25 متر لكل ثانية.
هكذا نكون قد أوجدنا السرعات الأربع التي تعبر عنها الخطوط الأربعة المختلفة الموضحة على هذا التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. دعونا الآن نستخدام قيم السرعات هذه لحساب الفروق بين سرعات الخطوط المتجاورة. الفرق الأول لدينا يساوي 𝑉𝑏 ناقص 𝑉𝑟. إذا عوضنا عن 𝑉𝑏 بمتر واحد لكل ثانية وعن 𝑉𝑟بـ 0.75 متر لكل ثانية، نجد أن هذا الفرق يساوي 0.25 متر لكل ثانية. الفرق الثاني يساوي 𝑉𝑟 ناقص 𝑉𝑔. وبالتعويض بالقيمتين 0.75 متر لكل ثانية و0.5 متر لكل ثانية، نجد أن هذا الفرق يساوي 0.25 متر لكل ثانية.
ننتقل الآن إلى الفرق الأخير لدينا، وهو يساوي 𝑉𝑔 ناقص 𝑉𝑜. إذا عوضنا بالقيمتين 0.5 متر لكل ثانية و0.25 متر لكل ثانية، نجد أن هذا الفرق يساوي أيضًا 0.25 متر لكل ثانية. إذن، وجدنا أن الفروق الثلاثة لها نفس القيمة، وهي 0.25 متر لكل ثانية. وبما أن الفرق بين سرعتي كل زوج من الخطوط المتجاورة الموضحة على التمثيل البياني له نفس القيمة، فإن إجابة هذا السؤال هي نعم. الفرق بين السرعات المناظرة للخطوط الموضحة على هذا التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن ثابت لأي خطين متجاورين.
