نسخة الفيديو النصية
إذا كان المتجه ﺃ يساوي واحدًا، اثنين، أربعة؛ وﺏ يساوي اثنين، أربعة، سالب واحد؛ وﺟ يساوي سالب واحد، أربعة، اثنين، فأوجد حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺃ وﺏ وﺟ زائد حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺏ وﺟ وﺃ زائد حاصل الضرب القياسي لـ ﺟ وﺃ وﺏ.
عندما قرأنا كل حد في هذا المجموع، وصفناه بأنه حاصل الضرب الثلاثي القياسي. وهو كما يقرأ بالضبط. إنه حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ لدينا مع حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏ وﺟ. ومن ثم، إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال هي أن نبدأ بإيجاد كل من حواصل الضرب الاتجاهي، ثم إيجاد حواصل الضرب القياسي، وجمعها معًا.
لكن يمكننا أن نوفر على أنفسنا بعض الوقت. افترض أن المتجه ﺃ لدينا معطى على صورة ﺃﺱ، ﺃﺹ، ﺃﻉ، والمتجه ﺏ معطى على الصورة ﺏﺱ، ﺏﺹ، ﺏﻉ؛ والمتجه ﺟ على الصورة ﺟﺱ، ﺟﺹ، ﺟﻉ. حاصل الضرب الثلاثي القياسي، الذي لسنا بحاجة إلى وضعه داخل قوسين، يعطى بمحدد المصفوفة الذي يحتوي على ﺃﺱ، ﺃﺹ، ﺃﻉ، ﺏﺱ، ﺏﺹ، ﺏﻉ، ﺟﺱ، ﺟﺹ، ﺟﻉ. بهذه الطريقة، نجد أنه بإمكاننا إيجاد تعبير لحاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺃ وﺏ وﺟ. لكن ماذا عن ﺏ وﺟ، وﺃ وﺟ، وﺃ وﺏ؟
في الواقع، إذا بدلنا ترتيب صفين في محدد من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، نجد أن إشارة المحدد تتغير. لكن، عند تبديل ترتيب صفين آخرين، تعود الإشارة كما كانت. هذا يعني أن حواصل الضرب الثلاثي القياسي تكون متساوية عندما لا يتغير الترتيب الدوري للمتجهات. بمعنى آخر، حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺃ وﺏ وﺟ يساوي حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺏ وﺟ وﺃ؛ الذي يساوي بدوره حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺟ وﺃ وﺏ. ومن ثم، لا بد أن يكون المجموع الذي يطلب منا السؤال إيجاده مساويًا لثلاثة مضروبًا في حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺃ وﺏ وﺟ. سيوفر هذا لنا الكثير من الوقت لأنه يعني أنه يمكننا ببساطة إيجاد حاصل الضرب الثلاثي القياسي، ثم ضربه في ثلاثة للإجابة عن السؤال.
حاصل الضرب الثلاثي القياسي الذي نريده هو محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة التي عناصرها هي: واحد، اثنان، أربعة؛ اثنان، أربعة، سالب واحد؛ سالب واحد، أربعة، اثنان. بعد ذلك، نسترجع كيفية إيجاد محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. إننا نأخذ كل عنصر في الصف العلوي. ثم نضربه في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، التي تتبقى بعد استبعاد هذا الصف وهذا العمود. إذن، سنبدأ بضرب واحد في حاصل ضرب أربعة في اثنين ناقص حاصل ضرب سالب واحد في أربعة. بعد ذلك، نطرح اثنين مضروبًا في حاصل ضرب اثنين في اثنين ناقص حاصل ضرب سالب واحد في سالب واحد.
وأخيرًا، نضيف أربعة مضروبًا في حاصل ضرب اثنين في أربعة ناقص حاصل ضرب أربعة في سالب واحد. وبتبسيط كل طرف، نحصل على ١٢ ناقص ستة زائد ٤٨، وهو ما يساوي ٥٤. إذن، حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺃ وﺏ وﺟ هو ٥٤. وبناء على الحسابات السابقة التي أجريناها، نعرف أن إجابة هذا السؤال تساوي ثلاثة مضروبًا في هذه القيمة، أي ثلاثة في ٥٤، وهو ما يساوي ١٦٢. بهذا، نستنج أن حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺃ وﺏ وﺟ زائد حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺏ وﺟ وﺃ زائد حاصل الضرب الثلاثي القياسي لـ ﺟ وﺃ وﺏ يساوي ١٦٢.
