نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص التناسب لإيجاد قيمة مجهولة في علاقة تناسب، وإثبات عبارات جبرية.
نقول إن عددين أو أكثر في تناسب إذا كانت النسب بين أزواج الأعداد متساوية. على سبيل المثال، حدود البسط والمقام للكسور المتكافئة تكون متناسبة. دعونا نتخيل أن لدينا النسبة سبعة إلى ١٤ تساوي النسبة ٢١ إلى ﺱ. إحدى الطرق التي يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة ﺱ هي حساب معامل تناسب النسبة الأولى. القيمة ﻡ هذه تساوي ١٤ مقسومًا على سبعة، وهذا يساوي اثنين. يجب أن يكون معامل التناسب هو نفسه للنسبة الثانية. ومن ثم، فإن ﺱ على ٢١ يساوي اثنين. بضرب كلا الطرفين في ٢١، نجد أن ﺱ يساوي ٤٢. إذن، النسبة سبعة إلى ١٤ تساوي النسبة ٢١ إلى ٤٢. دعونا نتناول الآن تعريفًا أكثر منهجية لذلك.
إذا كانت النسبة ﺃ إلى ﺏ تساوي النسبة ﺟ إلى ﺩ، فإننا نقول إن ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ قيم متناسبة. وبما أن ﺃ على ﺏ يساوي ﺟ على ﺩ، فإن ﺃﺩ يساوي ﺏﺟ. يطلق على القيم ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ حدود التناسب. ونسميها الأول المتناسب والثاني المتناسب والثالث المتناسب والرابع المتناسب. يعرف الحدان الخارجيان ﺃ وﺩ بالطرفين، ويعرف الحدان الداخليان ﺏ وﺟ بالوسطين. هذا يعني أنه يمكننا التفكير في المعادلة ﺃﺩ يساوي ﺏﺟ على أنها حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين. سنتناول الآن مثالًا علينا فيه استخدام هذه الخاصية.
إذا كانت النسبة بين ثمانية وثلاثة هي نفس النسبة بين ٩٦ وﺱ، فأوجد قيمة ﺱ.
دعونا نبدأ بتذكر أنه إذا كانت النسبتان بين زوجين من الأعداد متساويتين، فإن هذه الأعداد تكون متناسبة. هذا يعني أن خارجي قسمة هذين الزوجين من الأعداد متساويان. إذن، ثمانية على ثلاثة يساوي ٩٦ على ﺱ. يمكننا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ثلاثة ﺱ. بذلك، نحصل في الطرف الأيمن على ثمانية ﺱ. ونحصل في الطرف الأيسر على ٩٦ مضروبًا في ثلاثة، وهذا يساوي ٢٨٨. الخطوة الأخيرة لحساب قيمة ﺱ هي قسمة كلا الطرفين على ثمانية. هذا يعطينا ٣٦. إذن، إذا كانت النسبة بين ثمانية وثلاثة هي نفس النسبة بين ٩٦ وﺱ، فإن قيمة ﺱ تساوي ٣٦.
تجدر الإشارة إلى أنه في مثل هذه الأسئلة، يمكننا استخدام النتيجة الآتية. إذا كان ﺃ على ﺏ يساوي ﺟ على ﺩ، فإن ﺃﺩ يساوي ﺏﺟ. إذن، حاصل ضرب ثمانية وﺱ لا بد أن يساوي حاصل ضرب ثلاثة و٩٦.
حسنًا، دعونا نتناول الآن قائمة من ثلاثة أو أربعة حدود في تناسب متسلسل. نقول إن أي قائمة من الحدود تكون في تناسب متسلسل إذا كانت النسبة بين كل حدين متتاليين ثابتة. ويمكن أن يكون أي عدد من الكميات في تناسب متسلسل. لكننا في هذا الفيديو سنتناول ثلاثة أو أربعة حدود.
إذا كانت الحدود الثلاثة ﺃ وﺏ وﺟ في تناسب متسلسل، فإن ﺃ على ﺏ يساوي ﺏ على ﺟ. وهذا يعني أيضًا أن ﺃﺟ يساوي ﺏ تربيع؛ حيث يطلق على الحد الأوسط، وهو ﺏ، الوسط المتناسب أو الوسط، ويطلق على الحدين ﺃ وﺟ الطرفان. وإذا كانت الحدود الأربعة ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ في تناسب متسلسل، فإن ﺃ على ﺏ يساوي ﺏ على ﺟ، وهذا يساوي أيضًا ﺟ على ﺩ، ويعرف ﺃ وﺩ بالطرفين، ويعرف ﺏ وﺟ بالوسطين. يمكننا كذلك تسمية هذه الحدود بالأول المتناسب والثاني المتناسب والثالث المتناسب والرابع المتناسب.
دعونا نتناول الآن مثالًا على كل نوع من هذين النوعين.
إذا كان ﺏ الوسط المتناسب بين ﺃ وﺟ، فأي من الآتي يساوي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع على ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع؟ هل هو (أ) ﺃ على ﺟ، أم(ب) ﺟ على ﺃ، أم (ج) اثنان ﺃ على ﺟ، أم (د) اثنان ﺟ على ﺃ؟
دعونا نبدأ بتذكر أنه إذا كانت ثلاثة أعداد في تناسب متسلسل؛ حيث ﺏ هو الوسط المتناسب بين ﺃ وﺟ، فإن ﺃ على ﺏ يساوي ﺏ على ﺟ. وبالضرب التبادلي، نحصل على ﺃﺟ يساوي ﺏ تربيع. المقدار الذي علينا تبسيطه في هذا السؤال هو ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع على ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. سنبدأ بالتعويض عن ﺏ تربيع بـ ﺃﺟ. ومن ثم، نحصل في البسط على ﺃ تربيع زائد ﺃﺟ، ونحصل في المقام على ﺃﺟ زائد ﺟ تربيع.
الخطوة الآتية هي أن نأخذ ﺃ عاملًا مشتركًا في البسط، وﺟ عاملًا مشتركًا في المقام. بذلك، يتبقى لدينا ﺃ مضروبًا في ﺃ زائد ﺟ على ﺟ مضروبًا في ﺟ زائد ﺃ. وبما أن الجمع عملية إبدالية، يمكننا حذف العامل المشترك ﺃ زائد ﺟ. وهكذا، نحصل على مقدار مبسط، وهو ﺃ على ﺟ. إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (أ). إذا كان ﺏ الوسط المتناسب بين ﺃ وﺟ، فإن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع على ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع يساوي ﺃ على ﺟ.
في المثال الآتي، سنستخدم خواص أربعة أعداد في تناسب.
إذا كانت ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ قيمًا متناسبة، فأي من الاختيارات الآتية يساوي الجذر التربيعي لستة ﺃ تربيع ناقص تسعة ﺏ تربيع على ستة ﺟ تربيع ناقص تسعة ﺩ تربيع؟ هل هو (أ) ﺃ على ﺩ، أم (ب) ﺃ على ﺟ، أم (ج) ﺟ على ﺃ، أم (د) ﺩ على ﺏ؟
دعونا نبدأ بتذكر أننا إذا قلنا إن ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ قيم متناسبة، فإن هذا يكافئ قولنا إن النسبة ﺃ إلى ﺏ تساوي النسبة ﺟ إلى ﺩ. وعلى وجه التحديد، سيكون معاملا التناسب لهما متساويين. إذن، ﺃ يساوي ﻡ مضروبًا في ﺏ، وﺟ يساوي ﻡ مضروبًا في ﺩ؛ حيث ﻡ هو ثابت ما. سنبدأ بالتعويض عن ﺃ وﺟ بهذين المقدارين. وهذا يعطينا الجذر التربيعي لستة مضروبًا في ﻡﺏ تربيع ناقص تسعة ﺏ تربيع على ستة مضروبًا في ﻡﺩ تربيع ناقص تسعة ﺩ تربيع.
يمكننا إعادة كتابة بسط الكسر داخل الجذر التربيعي على الصورة ستة ﻡ تربيع ﺏ تربيع ناقص تسعة ﺏ تربيع. يمكن أيضًا إعادة كتابة المقام على الصورة ستة ﻡ تربيع ﺩ تربيع ناقص تسعة ﺩ تربيع. يمكننا بعد ذلك أن نأخذ ﺏ تربيع عاملًا مشتركًا في البسط، وﺩ تربيع عاملًا مشتركًا في المقام. بعد أن نفعل ذلك، يمكننا حذف العامل المشترك ستة ﻡ تربيع ناقص تسعة. ومن ثم، يبسط المقدار لدينا إلى الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع على ﺩ تربيع. بتذكر أنه يمكننا حساب الجذر التربيعي للبسط والمقام، كل على حدة، نبسط هذا المقدار إلى ﺏ على ﺩ.
في هذه المرحلة، نلاحظ أن هذا ليس أحد الخيارات الأربعة المعطاة. ومن ثم، سنتناول معادلتي التناسب اللتين كتبناهما سابقًا. بقسمة هاتين المعادلتين، نجد أن ﺃ على ﺟ يساوي ﻡﺏ على ﻡﺩ. وبما أن العامل المشترك ﻡ ثابت لا يساوي صفرًا، فيمكننا حذفه، ويتبقى لدينا ﺃ على ﺟ يساوي ﺏ على ﺩ. إذن، نستنتج أن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب). إذا كانت ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ قيمًا متناسبة، فإن الجذر التربيعي لستة ﺃ تربيع ناقص تسعة ﺏ تربيع على ستة ﺟ تربيع ناقص تسعة ﺩ تربيع يساوي ﺃ على ﺟ.
قبل أن نتناول مثالًا أخيرًا، سنتحدث عن خاصية أخرى من خواص التناسب. تنص خاصية تناسب مجموع المقدمات ومجموع التوالي على أنه إذا كانت ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ قيمًا متناسبة، فإن ﺃ على ﺏ يساوي ﺟ على ﺩ، وهذا يساوي أيضًا ﺃ زائد ﺟ على ﺏ زائد ﺩ. هذا يعني أنه يمكننا ببساطة جمع حدود البسط وحدود المقام للكسور المتكافئة على حدة دون التأثير على قيمة أي منها. والآن، دعونا نتناول مثالًا عمليًّا على ذلك.
إذا كان ﺃ على سبعة يساوي ﺏ على أربعة يساوي ﺟ على ١٤ يساوي ستة ﺃ ناقص سبعة ﺏ زائد اثنين ﺟ على ثلاثة ﺱ، فأوجد قيمة ﺱ.
للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا تذكر أنه إذا كانت الأعداد الأربعة ﺙ وﺱ وﺹ وﻉ متناسبة، فإن ﺙ على ﺱ يساوي ﺹ على ﻉ يساوي ﺙ زائد ﺹ على ﺱ زائد ﻉ. في هذا السؤال، لدينا ثلاثة كسور متكافئة، وهي ﺃ على سبعة، وﺏ على أربعة، وﺟ على ١٤. ومطلوب منا إيجاد قيمة مجهول في الكسر الرابع.
لكن لا يمكننا تطبيق هذه الخاصية مباشرة؛ لأننا سنحصل على المعادلة الموضحة التي لا يمكننا حلها لإيجاد قيمة ﺱ. بدلًا من ذلك، سنوجد الكسور المكافئة لكل من ﺃ على سبعة، وﺏ على أربعة، وﺟ على ١٤، بحيث يطابق كل بسط أحد الحدود في بسط الطرف الأيسر. بضرب بسط الكسر الأول ومقامه في ستة، نجد أن ﺃ على سبعة يساوي ستة ﺃ على ٤٢. وباتباع الطريقة نفسها، نجد أن ﺏ على أربعة يساوي سالب سبعة ﺏ على سالب ٢٨. وﺟ على ١٤ يساوي اثنين ﺟ على ٢٨.
لدينا الآن ستة ﺃ على ٤٢ يساوي سالب سبعة ﺏ على سالب ٢٨ يساوي اثنين ﺟ على ٢٨ يساوي ستة ﺃ ناقص سبعة ﺏ زائد اثنين ﺟ على ثلاثة ﺱ. بتطبيق خاصية تناسب مجموع المقدمات ومجموع التوالي على الكسور الثلاثة الأولى، نحصل على ستة ﺃ ناقص سبعة ﺏ زائد اثنين ﺟ على ٤٢ ناقص ٢٨ زائد ٢٨. نحن نعلم أن هذا يساوي ستة ﺃ ناقص سبعة ﺏ زائد اثنين ﺟ على ثلاثة ﺱ. بما أن بسطي طرفي المعادلة متساويان، فلا بد أن يكون مقاماهما متساويين أيضًا. وعليه، فإن ثلاثة ﺱ يساوي ٤٢ ناقص ٢٨ زائد ٢٨. يمكن تبسيط ذلك إلى ثلاثة ﺱ يساوي ٤٢. وبقسمة طرفي المعادلة على ثلاثة، نجد أن ﺱ يساوي ١٤.
إذا كان ﺃ على سبعة يساوي ﺏ على أربعة يساوي ﺟ على ١٤ يساوي ستة ﺃ ناقص سبعة ﺏ زائد اثنين ﺟ على ثلاثة ﺱ، فإن قيمة ﺱ تساوي ١٤.
سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. إذا كان ﺹ يتناسب طرديًّا مع ﺱ، فإن ﺹ يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ؛ حيث يعرف الثابت ﻡ بأنه معامل التناسب. إذا كانت النسبتان ﺃ إلى ﺏ وﺟ إلى ﺩ متساويتين، فإن ﺃ على ﺏ يساوي ﺟ على ﺩ. وبالضرب التبادلي، نحصل على ﺃ مضروبًا في ﺩ يساوي ﺏ مضروبًا في ﺟ. هناك طريقة أخرى لكتابة ذلك، وهي على النحو الآتي. إذا كانت ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ قيمًا متناسبة، فإن ﺃﺩ يساوي ﺏﺟ. علمنا أيضًا أن ﺃ على ﺏ يساوي ﺟ على ﺩ يساوي ﺃ زائد ﺟ على ﺏ زائد ﺩ. عرفنا أيضًا أنه إذا كان الحدود الثلاثة ﺃ وﺏ وﺟ في تناسب متسلسل، فإن ﺃ على ﺏ يساوي ﺏ على ﺟ، وهذا يعني أن ﺃﺟ يساوي ﺏ تربيع، مع ملاحظة أننا نقول إن الحدود في تناسب متسلسل إذا كانت النسبة بين كل حدين متتاليين ثابتة.
