تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد مقدار واتجاه القوة المحصلة لثلاث قوى تؤثر على جسم الرياضيات

جسم تؤثر عليه قوة مقدارها ١٠ نيوتن أفقيًّا، وتؤثر عليه قوة مقدارها ٢٥ نيوتن رأسيًّا لأعلى، وتؤثر عليه قوة مقدارها ٥ نيوتن بزاوية ٤٥° مع الأفقي كما هو موضح في الشكل. ما مقدار القوة المحصلة المفردة التي تؤثر على الجسم، وبأي زاوية مع الأفقي تؤثر هذه القوة المحصلة على الجسم؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

٠٦:١٦

‏نسخة الفيديو النصية

جسم تؤثر عليه قوة مقدارها ١٠ نيوتن أفقيًّا، وتؤثر عليه قوة مقدارها ٢٥ نيوتن رأسيًّا لأعلى، وتؤثر عليه قوة مقدارها خمسة نيوتن بزاوية ٤٥ درجة مع الأفقي كما هو موضح في الشكل. ما مقدار القوة المحصلة المفردة التي تؤثر على الجسم، وبأي زاوية مع الأفقي تؤثر هذه القوة المحصلة على الجسم؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

لنبدأ بتسمية القوى الثلاث ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة. لاحظ كيف أسمينا هذه القوى في صورة قوى متجهة؛ لأنها تؤثر في اتجاهين. القوة الأولى، أي ﻕ واحد، تساوي ١٠ نيوتن وتؤثر في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. يمكننا إذن القول إن متجهها يساوي ١٠ﺱ. القوة الثانية، أي ﻕ اثنان، تساوي ٢٥ نيوتن وتؤثر في الاتجاه الموجب للمحور ﺹ. لذا، سنسمي متجهها ٢٥ﺹ. لكن ماذا عن القوة ﻕ ثلاثة؟ نعلم أن مقدارها يساوي خمسة نيوتن وتؤثر بزاوية قياسها ٤٥ درجة مع الأفقي. سنحلل هذه القوة إلى مركبتيها الأفقية والرأسية. لاحظ أنه برسم هذين الخطين، نكون قد كونا مثلثًا قائم الزاوية. وهناك طريقتان لإيجاد أطوال الأضلاع المجهولة في هذا المثلث. فيمكننا استخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية.

بدلًا من ذلك، إذا لاحظنا أن قياس الزاوية الثالثة في هذا المثلث يساوي ٤٥ درجة أيضًا، فهذا يعني أن لدينا مثلثًا متساوي الساقين. وبذلك يكون طولا الضلعين القصيرين متساويين. لذا، سنستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة ﺱ. تنص نظرية فيثاغورس على أن مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصرين في المثلث القائم الزاوية يساوي مربع طول الوتر. إذن، يصبح لدينا هنا ﺱ تربيع زائد ﺱ تربيع يساوي خمسة تربيع. ويمكن تبسيط هذه المعادلة إلى اثنين ﺱ تربيع يساوي ٢٥، ثم نقسم الطرفين على اثنين. فنحصل على ﺱ تربيع يساوي ٢٥ على اثنين. وبحساب الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، نجد أن ﺱ يساوي خمسة جذر اثنين على اثنين.

لاحظ أننا لم نهتم بأخذ موجب وسالب الجذر التربيعي لـ ٢٥ على اثنين. ففي الوقت الحالي، تعبر هذه القيمة عن طولي ضلعي المثلث فقط. وسنتناول إشارات هاتين القيمتين بعد قليل. وبذلك نكون قد أوجدنا المركبتين الأفقية والرأسية للقوة الثالثة. وفي الواقع، تؤثر هاتان المركبتان في الاتجاه الموجب، وذلك لكل من مركبتي ﺱ وﺹ، على الترتيب. إذن القوة الثالثة هي خمسة جذر اثنين على اثنين ﺱ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين ﺹ.

نحن نريد إيجاد مقدار القوة المحصلة المفردة المؤثرة على الجسم. ومن ثم، نتذكر أن القوة المحصلة هي الجمع الاتجاهي للقوى الثلاث. وهو ما يساوي ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين زائد ﻕ ثلاثة. هذا يعني ١٠ﺱ زائد ٢٥ﺹ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين ﺱ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين ﺹ. نجمع المركبات الأفقية والرأسية معًا. ونجد أن القوة المحصلة تساوي ١٠ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين ﺱ زائد ٢٥ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين ﺹ.

نريد إيجاد مقدار القوة. ومقدار المتجه هو ببساطة طوله. لنفرغ بعض المساحة ونرسم شكلًا للقوة المحصلة. بتحليل القوة إلى مركبتيها الأفقية والرأسية، نلاحظ أنه يمكن إيجاد مقدار القوة مرة أخرى باستخدام نظرية فيثاغورس. وهو يساوي الجذر التربيعي لـ ١٠ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين تربيع زائد ٢٥ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين تربيع. وهذا يعطينا ٣١٫٥٨٣ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب إلى أقرب منزلة عشرية، فإن هذا يساوي ٣١٫٦. نحن نقيس المقدار بوحدة النيوتن، إذن مقدار القوة المحصلة يساوي ٣١٫٦ نيوتن.

لكننا لم ننته بعد. فنحن نريد معرفة قياس الزاوية التي تصنعها هذه القوة مع الأفقي. سنسمي هذه الزاوية 𝜃. وهذه المرة، نلاحظ أنه يمكننا استخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية لإيجاد قيمة 𝜃. نحن نعرف طولي الضلعين المقابل والمجاور، لذا سنستخدم نسبة الظل. ظا 𝜃 يساوي ٢٥ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين مقسومًا على ١٠ زائد خمسة جذر اثنين على اثنين. وهذا يساوي ٢٫١٠٨ وهكذا مع توالي الأرقام. نحسب قيمة 𝜃 بإيجاد الدالة العكسية للظل. هذا يساوي ٦٤٫٦٢ وهكذا مع توالي الأرقام، أي ٦٤٫٦ درجة لأقرب منزلة عشرية. نلاحظ من الرسم أن هذه القيمة بالفعل هي قياس الزاوية التي تصنعها القوة المحصلة مع الأفقي. وبذلك نكون قد انتهينا من الحل. فمقدار القوة المحصلة يساوي ٣١٫٦ نيوتن. وقياس الزاوية التي تصنعها مع الأفقي يساوي ٦٤٫٦ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.