فيديو السؤال: تكامل دالة قوة ودالة أسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل ثمانية في ﺱ أس ثلاثة ﻫ زائد سبعة في ﻫ أس سالب ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

يطلب منا السؤال إيجاد تكامل مجموع دالتين. أول ما علينا ملاحظته هو أن ﻫ مجرد عدد ثابت. إذن، فثمانية في ﺱ أس ثلاثة ﻫ هو حد لكثيرة حدود. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد تكامل هذا الحد باستخدام قاعدة القوة للتكامل طالما أن ثلاثة في ﻫ لا يساوي سالب واحد. بعد ذلك، نلاحظ أنه يمكننا أيضًا إيجاد تكامل الحد الثاني للدالة التي سنكاملها. سبعة في ﻫ أس سالب ثمانية ﺱ دالة أسية.

ومن ثم، بما أننا نعرف كيفية إيجاد تكامل كلا حدي الدالة التي سنكاملها، نقسم تكامل مجموع الدالتين إلى مجموع تكاملين. هذا يعطينا تكامل ثمانية في ﺱ أس ثلاثة ﻫ بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل سبعة في ﻫ أس سالب ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا الآن حساب تكامل هذين الحدين كل على حدة. أولًا، يمكن تكامل ثمانية في ﺱ أس ثلاثة ﻫ باستخدام قاعدة القوة للتكامل. علينا إضافة واحد إلى أس ﺱ، ثم القسمة على هذا الأس الجديد.

وأخيرًا، علينا إضافة ثابت التكامل. نضيف واحدًا إلى أس ﺱ، فنحصل على ثلاثة ﻫ زائد واحد، ثم نقسم على ثلاثة ﻫ زائد واحد. وأخيرًا، نضيف ثابت التكامل الذي سنسميه ﺙ واحد. ومن ثم، نحسب هذا التكامل لنحصل على ثمانية ﺱ أس ثلاثة ﻫ زائد واحد مقسومًا على ثلاثة ﻫ زائد واحد زائد ﺙ واحد. يمكننا الآن إيجاد التكامل الثاني. سنفعل ذلك باستخدام أحد القوانين القياسية لتكامل الدوال الأسية.

لأي ثابتين ﺃ وﻥ، حيث ﻥ لا يساوي صفرًا، تكامل ﺃ في ﻫ أس ﻥﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في ﻫ أس ﻥﺱ مقسومًا على ﻥ زائد ثابت التكامل ﺙ. كل ما علينا فعله هو القسمة على معامل ﺱ في الأس. في هذه الحالة، يمكننا أن نرى أن معامل ﺱ في الأس هو سالب ثمانية. علينا إذن قسمة الدالة التي نكاملها على سالب ثمانية ثم إضافة ثابت التكامل. وهذا يعطينا سبعة في ﻫ أس سالب ثمانية ﺱ مقسومًا على سالب ثمانية زائد ثابت التكامل ﺙ اثنين.

وأخيرًا، نكتب سبعة مقسومًا على سالب ثمانية على صورة سالب سبعة أثمان. ونجمع ثابتي التكامل، ﺙ واحد وﺙ اثنين، في ثابت جديد سنسميه ﺙ. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. فقد توصلنا إلى أن تكامل ثمانية في ﺱ أس ثلاثة ﻫ زائد سبعة في ﻫ أس سالب ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ثمانية في ﺱ أس ثلاثة ﻫ زائد واحد مقسومًا على ثلاثة ﻫ زائد واحد ناقص سبعة على ثمانية في ﻫ أس سالب ثمانية ﺱ زائد ﺙ.