فيديو السؤال: تحليل اتزان سلم يرتكز بين حائط أملس وأرض ملساء ومربوط بخيط أفقي أثناء صعود رجل عليه الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏‏ﺃﺏ سلم منتظم طوله ﻝ ووزنه ٤٠ ثقل كيلوجرامًا، يرتكز بأحد طرفيه على أرض ملساء، وبالطرف الآخر على حائط رأسي أملس. يصنع السلم زاوية قياسها ٤٥ درجة مع المستوى الأفقي، وطرفه السفلي ﺃ مربوط بخيط مثبت بنقطة تصل بين الحائط والأرض. إذا كان أقصى شد يمكن أن يتحمله الخيط هو ٦٠ ثقل كيلوجرامًا، فأوجد المسافة التي يستطيع أن يصعدها رجل وزنه ١٤٠ ثقل كيلوجرامًا على السلم قبل انقطاع الخيط.

لدينا هنا الكثير من المعطيات. لذا، أول ما سنبدأ به هو رسم هذه الحالة. ها هو السلم المنتظم، الذي يرتكز على حائط رأسي أملس وأرض ملساء. حسنًا، نعلم، من حقيقة أن السلم منتظم، أن الوزن موزع بالتساوي على السلم. يمكننا إذن القول إن قوة الوزن المتجهة لأسفل يجب أن تؤثر عند منتصف السلم بالضبط. إذن، فهي تؤثر عند منتصف المسافة ﻝ من النقطة ﺃ. ليس لدينا أي وحدات لـ ﻝ، ولا مشكلة في ذلك على الإطلاق.

نلاحظ أن السلم يصنع زاوية قياسها ٤٥ درجة مع الأفقي، ولكن نلاحظ أيضًا أن الطرف السفلي ﺃ مربوط بخيط. وهذا الخيط مثبت عند نقطة تصل بين الحائط والأرض، هنا. ومن ثم، لا بد أن يوجد شد يؤثر عند النقطة ﺃ. وبشكل أساسي، الشد في الخيط هو الذي يبقي السلم في موضعه. أقصى شد يمكن أن يتحمله الخيط هو ٦٠ ثقل كيلوجرامًا. إذن، سنستخدم بالفعل الشد الذي يساوي ٦٠ ثقل كيلوجرامًا في هذه المسألة. بعد ذلك، لدينا ذلك الرجل الذي وزنه ١٤٠ كيلوجرامًا ويصعد السلم.

نحن لا نعرف بالضبط المسافة التي يمكن أن يصعدها على السلم. فقد يصعد أقل من منتصف المسافة؛ وقد يصعد أكثر من منتصف المسافة. وسنضيف ذلك إلى المخطط أمامنا ونقول إنه يصعد مسافة قدرها ﺱﻝ على السلم. إذن، ﺱ سيكون كسرًا. سنحاول إيجاد الكسر المعبر عن الجزء من المسافة ﻝ، الذي سيتمكن الرجل من صعوده على السلم. ولكن ما القوى الأخرى التي لدينا؟ حسنًا، لا بد أن يكون لدينا قوة رد فعل لكل من الأرض والحائط على السلم. هاتان القوتان عموديتان على السطح.

إذن، لدينا قوة رد فعل عند ﺃ تؤثر مباشرة لأعلى، وقوة رد فعل عند ﺏ تؤثر يسارًا. لا توجد قوى أخرى. تذكر أن الحائط والأرض أملسان، وبالتالي لا توجد هنا قوة احتكاك. حسنًا، ماذا بعد؟ مهمتنا التالية هي تحليل القوى أفقيًا ورأسيًا. بمجرد إجراء ذلك، سنتمكن من معرفة العزوم المؤثرة حول نقطة معينة. هيا نبدأ بتحليل القوى رأسيًا. يكون الخيط على وشك أن ينقطع عندما يصل الشد فيه إلى ٦٠ ثقل كيلوجرامًا. لذا، فإننا نفترض أنه ما زال في حالة اتزان أو ربما اتزان محدود. إنه على وشك أن ينقطع. إذن في الاتجاه الرأسي، يمكننا القول إن محصلة القوى يجب أن تساوي صفرًا. أي إن محصلة ﻕﺹ تساوي صفرًا.

إذن، ما القوى المؤثرة لدينا في الاتجاه الرأسي؟ حسنًا، لدينا قوة رد الفعل عند ﺃ تؤثر لأعلى. لذا، دعونا نفترض أن الاتجاه لأعلى موجب. بعد ذلك، لدينا وزن السلم المؤثر في الاتجاه المعاكس. إذن، سنضيف سالب ٤٠. ولدينا وزن الرجل المؤثر في الاتجاه المعاكس لقوة رد الفعل. إذن، هذه القوة تساوي سالب ١٤٠. لذا، نقول إن محصلة القوى المؤثرة في الاتجاه الرأسي هي ﺭﺃ ناقص ٤٠ ناقص ١٤٠. وهذه المحصلة لا بد أن تساوي صفرًا. نبسط ذلك إلى ﺭﺃ ناقص ١٨٠ يساوي صفرًا. إذن، نجد أن ﺭﺃ، إذا أضفنا ١٨٠ إلى كلا الطرفين، يجب أن تساوي ١٨٠ أو ١٨٠ ثقل كيلوجرامًا.

والآن، لا داعي للقلق بشأن إذا ما كنت معتادًا على قياس القوى بوحدات النيوتن؛ فوحدة الثقل كيلوجرام هي مجرد طريقة أخرى للقيام بذلك. بعد ذلك، سنحلل القوى في الاتجاه الأفقي. مرة أخرى، محصلة هذه القوى ستساوي صفرًا. دعونا هذه المرة نفترض أن الاتجاه إلى اليمين موجب. لدينا شد مؤثر في هذا الاتجاه. ثم لدينا قوة رد الفعل عند ﺏ تؤثر في الاتجاه المعاكس. لذلك، فإن الشد ناقص ﺭﺏ يجب أن يساوي صفرًا. وإذا أضفنا ﺭﺏ إلى كلا الطرفين، سنجد أن الشد يجب أن يساوي ﺭﺏ. لكن تذكر أننا ذكرنا أن الشد في هذه الحالة يساوي ٦٠ ثقل كيلوجرامًا؛ حيث إنه أقصى شد يمكن أن يتحمله الخيط قبل انقطاعه. إذن، ﺭﺏ يجب أن تساوي ٦٠ أو ٦٠ ثقل كيلوجرامًا.

نضيف هذه القوة إلى المخطط، وبذلك نصبح مستعدين لحساب العزوم. تذكر أن العزم هو التأثير الدوراني لقوة ما. سنحسب العزوم حول النقطة ﺃ. يمكننا حساب العزوم حول أي نقطة على هذا السلم. لكن عمومًا، من الأفضل حسابها حول نقطة ارتكاز السلم على الأرض. فإذا حسبنا العزوم حول ﺃ، فسيكون لدينا عمليات حسابية أقل. سنفترض أن عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجب. ثم نتذكر أننا نحسب عزم أي قوة بضرب تلك القوة في المسافة العمودية على خط عمل القوة من النقطة التي نحسبه عندها. وسنرى كيف يبدو ذلك بعد قليل.

لذا، دعونا ننظر إلى جميع القوى المؤثرة على السلم. لنبدأ بالنظر إلى قوة رد الفعل عند ﺏ. لقد حسبنا تلك القوة وكانت تساوي ٦٠ ثقل كيلوجرامًا. علينا إيجاد مركبة هذه القوة العمودية على السلم. إنها تؤثر عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. إذن، سيكون عزمها موجبًا. لذا، دعونا نكبر هذا المثلث قليلًا. نلاحظ أنه مثلث قائم الزاوية وبه وتر طوله ٦٠ ثقل كيلوجرامًا. والزاوية المحصورة قياسها ٤٥ درجة. وهذا لأن قوة رد الفعل عند ﺏ موازية للأرض. ونعرف أن الزاويتين المتبادلتين متساويتان في القياس.

نريد إيجاد مركبة هذه القوة المؤثرة عموديًا على السلم. إذن، لنسم هذه المركبة ﺃ شرطة أو ﺃ شرطة ثقل كيلوجرام. هذا هو الضلع المقابل في هذا المثلث. ونعلم أن طول الوتر يساوي ٦٠. إذن يمكننا الربط بين هذين المعطيين باستخدام نسبة الجيب. ‏ جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. إذن، جا ٤٥ يساوي ﺃ شرطة على ٦٠. وبضرب كلا الطرفين في ٦٠، نجد أن ﺃ شرطة تساوي ٦٠ جا ٤٥. لكننا في الحقيقة نعلم أن جا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين. إذن ﺃ شرطة تساوي ٦٠ في جذر اثنين على اثنين أو ٣٠ جذر اثنين ثقل كيلوجرام.

بذلك نكون قد وجدنا مركبة قوة رد الفعل هذه التي تؤثر عموديًا على السلم. والآن علينا حساب عزمها. تذكر أن القوة تؤثر في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، لذلك فإن العزم موجب. هذا العزم يساوي هذه القوة مضروبة في المسافة التي تبعد عن ﺃ. إذن، هذا يساوي ٣٠ جذر اثنين مضروبًا في ﻝ.

ماذا عن القوى الأخرى؟ لننظر إلى قوة وزن الرجل. هذه المرة، قياس الزاوية المحصورة يساوي ٤٥ درجة. وطول الوتر يساوي ١٤٠ ثقل كيلوجرامًا. سنسمي الضلع الذي نريد حساب طوله، وهو مركبة هذه القوة المؤثرة عموديًا على السلم، ﺏ شرطة.

والآن في هذه المرة، علينا إيجاد طول الضلع المجاور حيث نعلم طول الوتر. لذا نستخدم نسبة جيب التمام. ‏‏جتا ٤٥ درجة يساوي ﺏ شرطة على ١٤٠. إذن، ﺏ شرطة تساوي ١٤٠ في جتا ٤٥. ولكن مرة أخرى، جتا ٤٥ يساوي جذر اثنين على اثنين. إذن، نجد أن ﺏ شرطة يساوي ١٤٠ في جذر اثنين على اثنين أو ٧٠ جذر اثنين ثقل كيلوجرام. لنحسب الآن عزم هذه القوة. وسنطرحه لأن القوة تؤثر في اتجاه عقارب الساعة. وقد ذكرنا أن هذا يبعد بمسافة ﺱﻝ عن ﺃ. إذن، العزم يساوي سالب ٧٠ جذر اثنين في ﺱﻝ.

توجد قوة أخرى علينا أخذها في الاعتبار، وهي قوة وزن السلم. إذا أضفنا مثلثًا قائم الزاوية إلى هذه القوة، فسيشبه كثيرًا المثلث القائم الزاوية السابق. لكن هذه المرة، طول الوتر يساوي ٤٠. وسنسمي الطول الذي نريد إيجاده ﺟ شرطة. ‏‏جتا ٤٥ يساوي ﺟ شرطة على ٤٠. وهكذا إذا أعدنا الترتيب، فسنحصل على ﺟ شرطة يساوي ٢٠ جذر اثنين أو ٢٠ جذر اثنين ثقل كيلوجرام. وبذلك نصبح مستعدين لإيجاد العزم. مرة أخرى، القوة تؤثر في اتجاه عقارب الساعة. إذن، فهو سالب والمسافة هي نصف ﻝ. من ثم، لدينا ٢٠ جذر اثنين في نصف ﻝ. ونحن نعلم أن هذه حالة اتزان. إذن مجموع هذه العزوم يساوي صفرًا.

والآن، سنحاول إيجاد قيمة ﺱ. لكن يوجد متغير آخر هنا؛ وهو ﻝ. ولحسن الحظ، نعلم أن ﻝ، وهو طول السلم، لا يمكن أن يساوي صفرًا. إذن، يمكننا قسمة الطرفين على ﻝ. وتصبح المعادلة لدينا هي ٣٠ جذر اثنين ناقص ٧٠ جذر اثنين في ﺱ ناقص ٢٠ جذر اثنين على اثنين يساوي صفرًا. لكن بالطبع، ٢٠ جذر اثنين على اثنين يساوي ١٠ جذر اثنين. إذن، يمكن تبسيط هذه المعادلة أكثر من ذلك لتصبح ٢٠ جذر اثنين ناقص ٧٠ جذر اثنين ﺱ يساوي صفرًا.

وفي الحقيقة، يمكننا أيضًا قسمة كلا الطرفين على جذر اثنين. ثم بإضافة ٧٠ﺱ إلى كلا الطرفين، يمكننا تبسيط المعادلة أكثر لتصبح ٢٠ يساوي ٧٠ﺱ. ولإيجاد قيمة ﺱ، نقسم الطرفين على ٧٠. إذن ﺱ يساوي ٢٠ على ٧٠، أو ﺱ يساوي سبعين. وعليه، يمكننا القول إن الرجل يمكنه أن يصعد مسافة قدرها سبعي طول السلم. وبما أن طول السلم يساوي ﻝ، يمكننا القول إن الرجل يستطيع أن يصعد سبعي ﻝ، بوحدات الطول، على السلم قبل انقطاع الخيط.

لاحظ أننا لم نحتج بالفعل إلى حساب قوة رد الفعل عند ﺃ. هذا لأننا عندما نحسب العزوم حول ﺃ، فإننا نضرب كل قوة من القوى الموجودة عند هذه النقطة في صفر. إذن، هي تساوي صفرًا. ومع ذلك، غالبًا ما يتطلب الأمر تحليل هذه القوى في اتجاه رأسي. لذا، من الصواب دائمًا إجراء ذلك لإكمال الحل.