فيديو: حساب مجموع متسلسلة هندسية غير منتهية

أوجد ‪∑‬‏ (من 𝑟 = 8 إلى ∞) لـ ‪(35/4) (−1/2)^(𝑟 − 1)‬‏.

٠٥:٠٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد ∑ من 𝑟 يساوي ثمانية إلى ما لا نهاية لـ 35 على أربعة في سالب نصف أس 𝑟 ناقص واحد.

يمكن استخدام رمز التجميع هذا لتمثيل متسلسلة غير منتهية. إذا كانت المتسلسلة تتجه إلى ما لا نهاية، فإنها تستمر دون انتهاء؛ أي، لا تتوقف. نضع رمز ما لا نهاية أعلى رمز التجميع للإشارة إلى أن المتسلسلة غير منتهية، والعدد بالأسفل هو ما نعوض به في المقدار أولًا. إذن، 𝑟 يساوي ثمانية، ثم نستمر في التعويض بأي عدد بعد الثمانية. ومن ثم، لا نعوض بأي عدد أقل من الثمانية.

فلنفترض، على سبيل المثال، أن المتسلسلة لا تتجه إلى ما لا نهاية، ولنقل إنها تتجه إلى 10. إذن، فهي تتجه من 𝑟 يساوي ثمانية إلى 𝑟 يساوي 10. وبالتالي، يمكننا التعويض بثمانية والحصول على عدد، ثم التعويض بتسعة والحصول على عدد، ثم التعويض بـ 10 والحصول على عدد، ثم جمع كل هذه الأعداد معًا. ويصبح هذا هو المجموع الذي نريد إيجاده. ولكن بما أنها تتجه إلى ما لا نهاية، فلا يمكننا الاكتفاء بالتعويض ببضعة أعداد وحسب. بل علينا استخدام صيغة. والصيغة التي علينا استخدامها هي 𝑎 واحد على واحد ناقص 𝑟. و𝑎 واحد سيكون هو الحد الأول الذي نحصل على قيمته عند التعويض بقيمة 𝑟 الأولى، وهي ثمانية.

إذن، عندما نعوض بثمانية، سنوجد قيمة الحد الأول؛ أي، 𝑎 واحد. إن 𝑟 الذي في المقام يختلف عن 𝑟 يساوي ثمانية؛ فالأول يخبرنا بالعدد الأول الذي نعوض به. إن قيمة 𝑟 هذه هي الموجودة هنا. فلنبدأ أولًا بإيجاد 𝑎 واحد. وسنفعل ذلك بالتعويض بالعدد الأول الذي يمكننا التعويض به، ألا وهو الثمانية. 35 على أربعة في سالب نصف أس ثمانية ناقص واحد، وثمانية ناقص واحد يساوي سبعة. إذن، نريد أن نرفع سالب نصف أس سبعة، ما يعني أن نرفع سالب واحد أس سبعة واثنين أس سبعة، وهو ما يساوي سالب واحد على 128.

والآن، لنضرب هذين الكسرين. وعندما نضرب هذين الكسرين، نضرب البسطين معًا، ما يعطينا سالب 35، ونضرب المقامين معًا، ما يعطينا 512. ومن ثم، يمكننا التعويض بسالب 35 على 512 عن 𝑎 واحد. ونعلم بالفعل قيمة 𝑟، فهي سالب نصف. إذن، عوضنا عن 𝑎 واحد وعن 𝑟. وبالتالي، أصبح لدينا في المقام واحد ناقص سالب نصف، ما يعني أننا نجمع واحدًا وواحدًا على اثنين، ما يساوي واحدًا ونصف، والذي نكتبه في صورة الكسر المعتل ثلاثة على اثنين.

وعند قسمة هذين الكسرين، فنحن نغير هذا إلى عملية ضرب ونضرب في مقلوب المقام. إذن، نقلب ما بالأسفل، أي، المقام. وقبل الضرب مباشرة، نتذكر أن العدد اثنين يتكرر في العدد 512‏ ‏256 مرة. والآن، يمكننا الضرب مباشرة حيث لا يوجد شيء آخر يمكننا تبسيطه. حسنًا، يتكرر العدد اثنان في نفسه مرة واحدة، ومن ثم، يصبح لدينا سالب 35 في واحد في البسط، وهو ما يساوي سالب 35. وفي المقام، 256 في ثلاثة يساوي 768. وهذا هو الحل النهائي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.