نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المتشابهة، باستخدام قوانين الأسس واللوغاريتمات. قبل أن نفعل ذلك، دعونا نستعرض كيف تبدو اللوغاريتمات. إذا كانت هذه عبارة عامة تمثل معادلة لوغاريتمية، فهي تتكون من عدة أجزاء. لدينا لوغاريتم، اختصاره لو. ونحن نقول غالبًا إن هذا لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يساوي ﻙ. ولوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يساوي ﻙ يكافئ رياضيًّا العبارة: ﺱ يساوي ﺏ أس ﻙ. ولوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يجعلنا نتساءل عن قوة العدد ﺏ التي تساوي ﺱ، وهي ما تساوي هنا ﻙ. إذا كان ﺏ أس ﻙ يساوي ﺱ، فإن لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يساوي ﻙ.
لكي نحل بعض المسائل التي نتعامل فيها مع أكثر من لوغاريتم واحد، ولكن عندما يكون لهذه اللوغاريتمات نفس الأساسات، علينا أن نتذكر بعض خصائص اللوغاريتمات. يمكننا البدء بقاعدة حاصل الضرب. إذا كان لدينا لوغاريتم ﺱ في ﺹ للأساس ﺏ، يمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة: لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ زائد لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ.
قاعدة القسمة مشابهة بعض الشيء. في هذه الحالة، إذا كان لدينا لوغاريتم ﺱ على ﺹ للأساس ﺏ، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة: لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ ناقص لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ. وهنا، أصبحت لدينا قاعدة القوة. إذا كان لدينا لوغاريتم ﺱ أس ﻝ للأساس ﺏ، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة: ﻝ في لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ. ثم لدينا قاعدة المحايد اللوغاريتمي. هذا هو لوغاريتم ﺏ للأساس ﺏ، وهو ما يساوي واحدًا.
تذكر أن اللوغاريتم يحاول الإجابة عن سؤال: ما القوة التي نرفع لها ﺏ لنحصل على ﺏ؟ ﺏ أس واحد يساوي ﺏ. إذن، لوغاريتم ﺏ للأساس ﺏ يساوي واحدًا. والمبدأ الأخير الذي سيساعدنا كثيرًا عند حل اللوغاريتمات ذات الأساسات المتشابهة هو ما يلي. إذا كان لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ، فإن ﺱ يساوي ﺹ.
دعونا ننظر إلى مثال نتعامل فيه مع اللوغاريتمات التي لها نفس الأساس.
أوجد قيمة ﺱ، إذا كان لوغاريتم ﺱ للأساس ستة زائد لوغاريتم ثلاثة للأساس ستة يساوي ثلاثة.
أول ما نلاحظه هنا هو أن لدينا قيمتي لوغاريتمين كلاهما للأساس ستة. عندما نتعامل مع مسائل كهذه، فإن الخطوة الأولى عادة هي تبسيط المعادلة باستخدام قوانين اللوغاريتمات. في هذه المعادلة، نجمع لوغاريتمين مختلفين لهما نفس الأساس، وهو ما يذكرنا بقاعدة حاصل الضرب التي تخبرنا بأن لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ زائد لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﺱ في ﺹ للأساس ﺏ. وهذا يعني أنه يمكننا تجميع هذين اللوغاريتمين بضرب القيم داخل اللوغاريتم. بعد ذلك، سيكون لدينا لوغاريتم ثلاثة في ﺱ للأساس ستة، أي ثلاثة ﺱ، إذن لوغاريتم ثلاثة ﺱ للأساس ستة يساوي ثلاثة.
عند هذه النقطة، لا يمكننا إجراء أي تبسيط. إذن، علينا إعادة كتابة هذا اللوغاريتم بالصورة الأسية. نتذكر أنه إذا كان لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يساوي ﻙ، فإن ﺱ يساوي ﺏ أس ﻙ. ويصبح الأساس ﺏ هو أساس المعادلة الأسية. والثلاثة هي الأس، ويساوي القيمة التي نأخذ لها اللوغاريتم. بما أن ستة تكعيب يساوي ٢١٦، إذن ثلاثة ﺱ يساوي ٢١٦. ثم نقسم كلا طرفي المعادلة على ثلاثة، لنحصل على ﺱ يساوي ٧٢.
العملية هنا هي تبسيط المعادلة، ثم إعادة كتابتها في الصورة الأسية. كان هذا مثالًا بسيطًا للغاية. لكن عندما نحل مسائل كهذه غالبًا، فإن التبسيط وإعادة الترتيب هما ما نقوم به معظم الوقت.
لنلق نظرة على بعض الأمثلة التي علينا حلها.
إذا كان لوغاريتم ﺱ زائد ثلاثة للأساس ١٢ يساوي واحدًا، فأوجد قيمة ﺱ.
لننظر إلى هذه المسألة بطريقتين مختلفتين. الطريقة الأولى هي إعادة كتابة هذا اللوغاريتم بالصورة الأسية. إذا كنا نعلم أن لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يساوي ﻙ، يمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة: ﺏ أس ﻙ يساوي ﺱ. بالنسبة إلينا، هذا سيصبح ١٢ أس واحد يساوي ﺱ زائد ثلاثة. نعرف أن ١٢ أس واحد يساوي ١٢. إذن، نطرح ثلاثة من كلا طرفي المعادلة. ونلاحظ أن تسعة يساوي ﺱ أو الطريقة الأكثر شيوعًا ﺱ يساوي تسعة.
لكن هل هناك طريقة أخرى للتفكير في هذا السؤال؟ حسنًا، إذا عرفنا أن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺏ يساوي واحدًا، يمكننا إعادة كتابة واحد في الصورة: لوغاريتم ١٢ للأساس ١٢ ؛ لأن لوغاريتم ١٢ للأساس ١٢ يساوي واحدًا. بما أننا نتعامل مع لوغاريتمين متساويين ولهما نفس الأساس، فيمكننا القول إن ﺱ زائد ثلاثة يساوي ١٢. مرة أخرى، سنطرح ثلاثة من كلا الطرفين، لنحصل على ﺱ يساوي تسعة. كلتا الطريقتين صحيحة لإعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ.
لنلق نظرة على مثال آخر.
أوجد مجموعة حل المعادلة لوغاريتم ﺱ ناقص ستة للأساس ثمانية زائد لوغاريتم ﺱ زائد ستة للأساس ثمانية يساوي لوغاريتم ٦٤ للأساس ثمانية في مجموعة الأعداد الحقيقية.
إذا نظرنا إلى المعادلة، فسنرى أننا نجمع قيمتي لوغاريتمين لهما نفس الأساس، وهو ما يعني أنه يمكننا استخدام قاعدة حاصل ضرب لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ زائد لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﺱ في ﺹ للأساس ﺏ. لكن علينا الانتباه هنا. في هذين اللوغاريتمين، قيمة ﺱ، وهي المقدار داخل اللوغاريتم الأول، ستكون ﺱ ناقص ستة؛ وقيمة ﺹ، وهي المقدار داخل اللوغاريتم الثاني، ستكون ﺱ زائد ستة. وهذا يعني أننا سنتعامل مع لوغاريتم ﺱ ناقص ستة في ﺱ زائد ستة للأساس ثمانية، وهو ما يساوي لوغاريتم ٦٤ للأساس ثمانية.
نريد التأكد من أننا نتعامل بشكل صحيح مع ما يحدث داخل اللوغاريتم، ما يعني أنه بإمكاننا ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. أو يمكننا ملاحظة أن هذا فرق بين مربعين. عندما يكون لدينا ﺱ زائد ﺃ في ﺱ ناقص ﺃ، فإنه يساوي ﺱ تربيع ناقص ﺃ تربيع. وهذا يعني بالنسبة إلينا ﺱ تربيع ناقص ستة تربيع، وهو ما يساوي ٣٦. الآن لدينا لوغاريتم ﺱ تربيع ناقص ٣٦ للأساس ثمانية يساوي لوغاريتم ٦٤ للأساس ثمانية. وبمجرد أن يكون لدينا لوغاريتم على كل من جانبي علامة التساوي ولهما نفس الأساس، يمكننا القول إن ﺱ تربيع ناقص ٣٦ يجب أن يساوي ٦٤.
لحل هذه المعادلة، نضيف ٣٦ إلى طرفي المعادلة. ونجد أن ﺱ تربيع يساوي ١٠٠. إذا أخذنا الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، فسنحصل على ﺱ يساوي موجب أو سالب ١٠. لكن مرة أخرى، علينا أن نجري بعض عمليات التحقق. بما أن قيمة ﺱ تقع داخل لوغاريتم، ونعلم أنه لا يمكننا أن نحسب لوغاريتم قيمة سالبة، إذا عوضنا بسالب ١٠ عن ﺱ، سنحاول إيجاد لوغاريتم قيمة سالبة، وهذا غير ممكن. ومن ثم، نقول إن ﺱ في الواقع لا يساوي سالب ١٠. وإذا تحققنا من موجب ١٠، فإننا نحسب لوغاريتم قيمة موجبة. إذن، يمكننا القول إن القيمة الوحيدة الممكنة لـ ﺱ هي ١٠. إذن، مجموعة الحل هي ١٠ فقط.
في المثال التالي، سنتناول لوغاريتمات حيث يكون لدينا أيضًا جذر تربيعي.
أوجد مجموعة حل لوغاريتم الجذر التربيعي لتسعة ﺱ ناقص ٢٦ للأساس ثمانية زائد لوغاريتم الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد للأساس ثمانية يساوي لوغاريتم ١٢٨ للأساس ثمانية ناقص اثنين في مجموعة الأعداد الحقيقية.
إذا كتبنا المعادلة، فسنرى أننا نتعامل مع ثلاثة حدود وهي عبارة عن لوغاريتمات للأساس ثمانية. لكن أحد الحدود ثابت. لنركز أولًا على الطرف الأيسر من المعادلة، وهو الطرف الذي به ثابت. لدينا عدة خيارات، لكنها تتطلب منا التفكير فيها بطريقة إبداعية.
إحدى طرق حل هذه المسألة هي كتابة اثنين على صورة لوغاريتم للأساس ثمانية. سنفعل ذلك بتذكر أن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺏ يساوي واحدًا. وهذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة الثابت اثنين على صورة: اثنان في لوغاريتم ثمانية للأساس ثمانية. هذا يساوي اثنين في واحد. الأمر الآخر الذي نتذكره هو أنه إذا كان لدينا ثابت مضروب في لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ، فإن ذلك يساوي لوغاريتم ﺱ أس ﻝ للأساس ﺏ. هذا يعني أن الثابت اثنين يمكن إعادة كتابته في صورة: لوغاريتم ثمانية تربيع للأساس ثمانية، وهذا مناسب تمامًا لنا. إذن، سنكتب لوغاريتم ١٢٨ للأساس ثمانية.
والآن، إذا كان لدينا لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ ناقص لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة: لوغاريتم ﺱ مقسومًا على ﺹ للأساس ﺏ. وهذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة لوغاريتم ١٢٨ للأساس ثمانية ناقص لوغاريتم ثمانية تربيع للأساس ثمانية على صورة: لوغاريتم ١٢٨ مقسومًا على ثمانية تربيع للأساس ثمانية. ثمانية تربيع يساوي ٦٤. ١٢٨ مقسومًا على ٦٤ يساوي اثنين، ما يعني أنه يمكننا تبسيط لوغاريتم ١٢٨ للأساس ثمانية ناقص اثنين إلى لوغاريتم اثنين للأساس ثمانية.
وهنا، يمكننا أن نلتفت إلى الطرف الأيمن من المعادلة. كلا الحدين هو لوغاريتم للأساس ثمانية. لكننا نأخذ لوغاريتم الجذر التربيعي لهذين المقدارين. لكن هذا سيكون مفيدًا أكثر إذا أعدنا كتابة الجذر التربيعي باستخدام الأس نصف. وبمجرد القيام بذلك، يمكننا كتابة الأس نصف بالأسفل، بحيث يكون لدينا الآن نصف في لوغاريتم تسعة ﺱ ناقص ٢٦ للأساس ثمانية زائد نصف في لوغاريتم ﺱ زائد واحد للأساس ثمانية. بما أن النصف يمثل عاملًا مشتركًا بين هذين الحدين، يمكننا إخراجه.
والآن، داخل هذين القوسين، لدينا لوغاريتمان بنفس الأساس نجمعهما معًا. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام القاعدة: لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ زائد لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﺱ في ﺹ للأساس ﺏ. سيكون لدينا الآن لوغاريتم تسعة ﺱ ناقص ٢٦ في ﺱ زائد واحد للأساس ثمانية. سنحتاج إلى التوزيع والفك هنا ليصبح لدينا تسعة ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ ناقص ٢٦ﺱ ناقص ٢٦. تسعة ﺱ ناقص ٢٦ﺱ يساوي سالب ١٧ﺱ.
في هذه المرحلة، نكون قد اقتربنا من حل المسألة. لكننا لا نعرف كيف نتصرف هنا بسبب هذا النصف. ما علينا فعله الآن هو إعادة كتابة هذا النصف على صورة أس. نريد بدلًا من ذلك أن نسمي هذا لوغاريتم تسعة ﺱ تربيع ناقص ١٧ﺱ ناقص ٢٦ أس نصف للأساس ثمانية. ونأمل أن تعرف السبب خلال لحظات. لأنه إذا فعلنا ذلك، سيصبح لدينا لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ، وهو ما يخبرنا بأن ﺱ يساوي ﺹ، ما يعني أن تسعة ﺱ تربيع ناقص ١٧ﺱ ناقص ٢٦ أس نصف يساوي اثنين.
يمكننا التخلص من الأس نصف هذا بتربيع طرفي المعادلة، فيصبح لدينا تسعة ﺱ تربيع ناقص ١٧ﺱ ناقص ٢٦ يساوي أربعة. إذا طرحنا أربعة من كلا الطرفين، فسنحصل على المعادلة التربيعية: تسعة ﺱ تربيع ناقص ١٧ﺱ ناقص ٣٠ يساوي صفرًا. يمكننا تحليل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ.
في هذه المرحلة، لا نتعامل مع أي من قواعد اللوغاريتم. نحلل ببساطة لحل المعادلة التربيعية. ولذا، نريد إيجاد الحدود التي نضربها معًا. نضرب موجب ١٠ في سالب ثلاثة ليساوي سالب ٣٠. وسالب ٢٧ زائد ١٠ يساوي سالب ١٧. بمساواة العاملين بصفر، نجد أن ﺱ يساوي سالب ١٠ على تسعة أو ﺱ يساوي ثلاثة.
لكن بسبب خصائص اللوغاريتمات، نعلم أنه لا يمكننا حساب لوغاريتم قيمة سالبة. إذا حاولنا التعويض بسالب ١٠ على تسعة في تسعة ﺱ ناقص ٢٦، فسنحصل على قيمة سالبة. وهذا يعني أن سالب ١٠ على تسعة ليس حلًّا صحيحًا لـ ﺱ. إذا استخدمنا الطريقة نفسها للتحقق من صحة العدد ثلاثة، يكون ناتج تسعة في ثلاثة ناقص ٢٦ قيمة موجبة. وإذا عوضنا بثلاثة وأربعة في ﺱ زائد واحد، مرة أخرى، فإننا نحصل على قيمة موجبة. إذن، مجموعة الحل لـ ﺱ هنا تساوي موجب ثلاثة.
في المثال الأخير، سنحل معادلة لوغاريتمية حيث يكون الأساس مجهولًا.
أوجد مجموعة حل لوغاريتم خمسة للأساس ﺱ زائد لوغاريتم ٤٠ للأساس ﺱ ناقص اثنين في لوغاريتم أربعة للأساس ﺱ يساوي اثنين زائد لوغاريتم ثمانية للأساس ﺱ في مجموعة الأعداد الحقيقية.
أولًا، نكتب المعادلة. رغم وجود بعض الطرق التي يمكننا استخدامها، دعونا نبدأ الحل من اليمين إلى اليسار. إذن، لدينا لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ زائد لوغاريتم ﺹ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﺱ في ﺹ للأساس ﺏ، ما يعني أنه يمكننا تجميع الحدين الأولين معًا ونطلق عليهما لوغاريتم خمسة في ٤٠ للأساس ﺱ، لوغاريتم ٢٠٠ للأساس ﺱ. ثم سنكتب كل ما تبقى بالأسفل.
لقد اقتربنا من تجميع لوغاريتم ٢٠٠ للأساس ﺱ واثنين في لوغاريتم أربعة للأساس ﺱ. يمكننا استخدام القاعدة التي تنص على أن ﻝ في لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﺱ أس ﻝ للأساس ﺏ، وهو ما يعني أن اثنين في لوغاريتم أربعة للأساس ﺱ يساوي لوغاريتم أربعة تربيع للأساس ﺱ. ثم نطرح اللوغاريتمين اللذين لهما نفس الأساس. ونعلم أنه عندما يكون الأمر كذلك، يمكننا قسمة كل قيمة من تلك القيم. لوغاريتم ٢٠٠ للأساس ﺱ ناقص لوغاريتم أربعة تربيع للأساس ﺱ يساوي لوغاريتم ٢٠٠ على ١٦ للأساس ﺱ.
يبدو أن هذا هو كل ما يمكننا فعله هنا في الطرف الأيمن من المعادلة. ما يمكننا فعله الآن هو نقل لوغاريتم ثمانية للأساس ﺱ إلى الطرف الأيمن من المعادلة عن طريق طرح لوغاريتم ثمانية للأساس ﺱ من طرفي المعادلة. لدينا الآن لوغاريتم ٢٠٠ على ١٦ للأساس ﺱ ناقص لوغاريتم ثمانية للأساس ﺱ. سنستخدم قاعدة الطرح مرة أخرى، ويصبح لدينا لوغاريتم ٢٠٠ على ١٦ مقسومًا على ثمانية للأساس ﺱ. نعلم أن القسمة على ثمانية هي نفسها الضرب في ثمن. وإذا قمنا بهذا التبسيط، فسنحصل على لوغاريتم ٢٥ على ١٦ للأساس ﺱ يساوي اثنين.
والآن، نريد تحويل ذلك من الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية. إذا كان لدينا لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يساوي ﻙ، يمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة: ﺱ يساوي ﺏ أس ﻙ. إذن، لدينا ٢٥ على ١٦ يساوي ﺱ تربيع. بحساب الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، نحصل على ﺱ يساوي موجب أو سالب خمسة على أربعة؛ لأن الجذر التربيعي لـ ٢٥ يساوي خمسة، والجذر التربيعي لـ ١٦ يساوي أربعة. وبما أننا نبحث فقط عن القيم التي تقع في مجموعة الأعداد الحقيقية، إذن نريد أن نقول إن ﺱ لا يمكن أن تكون سالب خمسة أرباع. لا نريد هنا التعامل مع أساس سالب؛ حيث إن ذلك سيعطي إجابة تخيلية. إذن، ﺱ يساوي خمسة أرباع فقط، وهو ما يجعل مجموعة الحل خمسة أرباع فقط.
قبل أن نختم، دعونا نراجع النقاط الأساسية. لحل المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المتشابهة، أولًا نبسط المعادلة باستخدام قوانين اللوغاريتمات. قد يكون هذا كافيًا للحل. وإذا لم يكن كذلك، فيمكننا المتابعة لإعادة كتابة اللوغاريتم على صورة أسية.
