فيديو الدرس: الخطوط المستقيمة المتوازية والقاطعة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

سنتناول في هذا الفيديو الخطوط المستقيمة المتوازية والقاطعة. وتحديدًا الزوايا المتكونة والعلاقات بينها. تذكر أن الخطوط المستقيمة المتوازية هي خطوط لا تتقابل أبدًا، أيًا كانت مسافة امتداد كل منها. تظل المسافة بينهما ثابتة دائمًا. أما الخط المستقيم القاطع فهو خط يقطع خطين أخريين عند نقطتين مختلفتين. وفي أشكال الخطوط المتوازية التي لدينا هنا، يعد الخطان الأخضر والبرتقالي مثالين على الخطوط المستقيمة القاطعة؛ لأنهما يقطعان هذه الخطوط المتوازية عند نقطتين مختلفين. وينتج عن هذا الخط المستقيم القاطع ثماني زوايا. وهي هذه الزوايا الثمانية هنا. وما يهمنا هو العلاقات بين أزواج محددة من الزوايا.

هناك أربعة أنواع من أزواج الزوايا سنتناولها هنا. سنسمي كلًا منها، ثم نفهم العلاقات بينها. النوع الأول يسمى الزاويتين المتناظرتين. وهما الزاويتان الواقعتان في المكان نفسه، عند النقطتين حيث يقطع الخط المستقيم القاطع الخطين المستقيمين المتوازيين. مثال على ذلك، الزاويتان المميزتان باللون الأحمر. تقع كل منهما أعلى الخطين المتوازيين وعلى يمين الخط المستقيم القاطع. وبالمثل، الزاويتان المميزتان باللون الأخضر. فإنهما في المكان نفسه حيث يقطع الخط المستقيم القاطع الخطين المتوازيين. ومن ثم هما زوج آخر من الزوايا المتناظرة. وبإمكاني أيضًا تناول الزاويتين المميزتين باللون الأزرق، أو الزاويتين المميزتين باللون البرتقالي. إذن، لدينا أربعة أزواج من الزوايا المتناظرة في الشكل.

والحقيقة الأساسية هنا هي أن كل زاويتين متناظرتين متساويتان في القياس. أي إن هاتين الزاويتين الحمراوين متساويتان في القياس، والزاويتين الزرقاوين متساويتان في القياس، وهكذا. إذن، الزاويتان المتناظرتان متساويتان في القياس، أو نقول: إنهما متطابقتان. النوع الثاني من الزوايا التي سنتناوله هو ما يسمى بالزاويتين المتبادلتين داخليًا. ومثال على الزاويتين المتبادلتين داخليًا هاتان الزاويتان هنا. كلمة «متبادلتين» تعني أنهما تقعان على جهتين مختلفتين من الخط المستقيم القاطع، وكلمة «داخليًا» تعني أنهما داخل الخطين المتوازيين، أي بينهما. ومثال آخر على هذا النوع من الزوايا هو الزوج الذي ميزته باللون الأزرق هنا. الحقيقة الأساسية حول الزاويتين المتبادلتين داخليًا هي أنهما أيضًا متساويتان في القياس، أو متطابقتان. إذن، هذا هو النوع الثاني من الزوايا.

والنوع الثالث الذي سنتناوله هو الزاويتان المتجاورتان داخليًا. ومثال على هذه الزوايا هاتان الزاويتان هنا. كلمة «متجاورتين» تعني أنهما على الجهة نفسها من الخط المستقيم القاطع، أي إنهما متجاورتان بشكل ما. وكلمة «داخليًا» كما ذكرنا تعني أنهما داخل الخطين المتوازيين، أي بينهما. ومثال آخر على الزوايا المتجاورة داخليًا هو الذي ميزته باللون الأزرق هنا. والحقيقة الأساسية حول هذا النوع هي أن الزاويتين غير متساويتين في القياس. يمكنك ملاحظة أن إحدى الزاويتين زاوية حادة، والأخرى منفرجة؛ أي إنهما بالتأكيد غير متساويتين في القياس. ولكنهما متكاملتان، وهو ما يعني أن مجموع قياسي هاتين الزاويتين يساوي ١٨٠ درجة. وهذا هو النوع الثالث من الزوايا. إن الزاويتين المتجاورتين داخليًا هما زاويتان متكاملتان.

والنوع الأخير الذي سنتناوله هو ما يعرف بالزاويتين المتبادلتين خارجيًا. ويمكنك الاستنتاج من الاسم أن كلمة «متبادلتين» تعني أنهما في جهتين مختلفتين من المستقيم القاطع، وكلمة «خارجيًا» تعني أنهما خارج الخطين المتوازيين. هاتان الزاويتان إذن زاويتان متبادلتان خارجيًا. والزاويتان اللتان ميزتهما باللون الأزرق هما مثال آخر لهذا النوع. والحقيقة الأساسية حول هاتين الزاويتين هي أنهما مثال آخر للزوايا المتساوية في القياس، أو المتطابقة. إذن هذا هو النوع الرابع من الزوايا الذي نتناوله هنا.

عليك الآن أن تتذكر الأسماء المحددة للأزواج المختلفة من الزوايا. كما عليك أن تتذكر ما إذا كانت متطابقة أم متكاملة. إذا واجهت صعوبة في تحديد ما إذا كانت الزاويتان متطابقتين أم متكاملتين، فانظر إلى نوع كل زاوية. إذا كانت كل منهما، على سبيل المثال، زاوية حادة، فهما متطابقتان. والأمر نفسه إذا كانت كل منهما زاوية منفرجة. أما إذا كانت إحداهما منفرجة والأخرى حادة، فلا يمكن أن تكونا متساويتين في القياس. إذن، ستكونان زاويتين متكاملتين في هذه الحالة، في حال نتجا عن مستقيم قاطع لخطين متوازيين. فلنبدأ بحل أول مسألة على ذلك.

لدينا شكل مرسوم هنا، والمطلوب هو إيجاد قياس الزاوية ﺃ، المحددة في الشكل. ونعلم أن قياس الزاوية في الأعلى هو ١٢٠ درجة.

عادة يكون أمامنا الكثير من الطرق لحل المسألة. وسأستخدم طريقتين مختلفتين لفهم الأساليب المختلفة التي يمكنك اتباعها. وبالنظر إلى الزاويتين المحددتين، نجد أنهما لا تندرجان تحت أي فئة من الفئات المذكورة سابقًا، وهو ما يعني أننا سنقوم بخطوتين، وربما أكثر، وليس خطوة واحدة؛ لأنه لا يمكنني على الفور تحديد انتمائهما لنوع محدد من الزوايا. حسنًا، الطريقة الأولى هي أن ننظر إلى هذه الزاوية أولًا، وأشير إليها بالحرف ﺏ. إذا نظرت إلى الشكل وتذكرت الأسماء المختلفة التي ذكرناها من قبل لأزواج الزوايا المختلفة، فستجد أن الزاوية ﺏ تناظر الزاوية التي قياسها ١٢٠ درجة؛ لأن الزاويتين تقعان في الجهة نفسها ولكن في مكانين مختلفين حيث يقطع الخط المستقيم القاطع الخطين المتوازيين.

كما قلنا من قبل، إذا كانت الزاويتان متناظرتين، فإنهما متطابقتان، أي إن قياس الزاوية ﺏ لا بد أن يكون ١٢٠ درجة أيضًا. إذن، الجزء الأول من الحل هو كتابة قياس الزاوية ﺏ، والسبب في كونه كذلك. ولإيجاد قياس الزاوية ﺃ، ليس علينا معرفة أي حقائق حول الزوايا والخطوط المتوازية. نحتاج فقط حقيقة أساسية عن الزوايا الواقعة على خط مستقيم واحد، وهي أن مجموع قياساتها ١٨٠ درجة، أو إنها زوايا متكاملة. فإذا كنت أعرف أن قياس الزاوية ﺏ هو ١٢٠ درجة، يمكنني إيجاد قياس الزاوية ﺃ بالطرح من ١٨٠. إذن، قياس الزاوية ﺃ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ١٢٠ درجة، أي ٦٠ درجة. وقد استخدمت مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم واحد. وهذه إحدى الطرق الممكنة لإيجاد قياس هذه الزاوية.

الطريقة الأخرى هي إيجاد قياس هذه الزاوية أولًا، وسأسميها الزاوية ﺟ. الزاوية ﺟ تقع في موضع خاص بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ١٢٠ درجة. ومرة أخرى، لا يتعلق الأمر بإحدى حقائق الزوايا والمستقيمات المتوازية. بل يتعلق بإحدى الحقائق العامة للزوايا، أن الزاوية ﺟ متقابلة بالرأس مع هذه الزاوية. والزاويتان المتقابلتان بالرأس، تكونان متطابقتين، ويعني ذلك أن قياس الزاوية ﺟ لا بد أنه ١٢٠ درجة أيضًا. إذن، هذه هي أول خطوة في الحل. وبالنظر إلى الزاوية ﺟ والزاوية ﺃ، نلاحظ أنهما تنتميان إلى نوع خاص من الزوايا ذكرناها منذ قليل. فهما تقعان بين الخطين المتوازيين وفي الجهة نفسها من الخط المستقيم القاطع، إذن فهما زاويتان متجاورتان داخليًا. وقد ذكرنا حقيقة أساسية للزاويتين المتجاورتين داخليًا، وهي أنهما متكاملتان، أي إن مجموع قياسيهما ١٨٠ درجة.

إذن، يمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺃ بطرح قياس الزاوية ﺟ من ١٨٠. وبذلك نجد أن قياس الزاوية ﺃ هو ٦٠ درجة. والسبب، كما قلنا، أنهما زاويتان متجاورتان داخليًا. إذن كما ترى، فإن العمليات الحسابية التي تضمنها الحل متطابقة في الطريقتين، ولكن تختلف الأسباب حسب الزاوية التي نوجد قياسها أولًا. وثمة طرق أخرى لإجراء ذلك. فهناك أساليب كثيرة مختلفة يمكنك استخدامها لحل مثل هذه المسائل.

حسنًا، في المسألة التالية، لدينا أيضًا شكل به خطان متوازيان وخط مستقيم قاطع، والمطلوب هو إيجاد قيمة ﺱ. بالنظر إلى الشكل، نجد أن ﺱ ضمن قياس هاتين الزاويتين.

ولا نعرف قيمة ﺱ. عادة يتضمن هذا النوع من المسائل تكوين معادلات وحلها. وهو بالضبط ما سنفعله هنا. أولًا، علينا تحديد نوع الزاويتين المذكورتين لدينا. بالنظر إلى الشكل، نجد أن الزاويتين لدينا تقعان داخل الخطين المتوازيين، أي بينهما، وفي الجهة نفسها من المستقيم القاطع. إذن، فهما زاويتان متجاورتان داخليًا. تذكر، الحقيقة الأساسية لهذا النوع هي أن الزاويتين متكاملتان، أي إن مجموع قياسيهما ١٨٠ درجة. ومن ثم يمكننا كتابة المعادلة. بجمع قياسي الزاويتين معًا، يفترض أن نحصل على ١٨٠ درجة. إذن لدينا المعادلة أربعة ﺱ ناقص ١٠ زائد اثنين ﺱ زائد ١٠ يساوي ١٨٠.

علينا الآن حل هذه المعادلة. بالنظر إلى الطرف الأيمن، نجد لدينا أربعة ﺱ زائد اثنين ﺱ، أي ستة ﺱ، ولدينا سالب ١٠ زائد ١٠، فيلغي كل منهما الآخر. ويتبقى لنا من هذا ستة ﺱ يساوي ١٨٠. الخطوة الأخيرة لحل هذه المعادلة هي قسمة الطرفين على ستة. ومن ثم نحصل على ﺱ يساوي ٣٠، وهو حل المسألة. إذن، لحل المسألة، نظرنا إلى الشكل، وحددنا نوع الزاويتين لدينا باستخدام الحقيقة التي نعرفها عنهما، وهي أنهما متكاملتان، ثم كونا معادلة وحللناها لإيجاد قيمة ﺱ.

حسنًا، المسألة التالية ستكون الأخيرة.

لدينا شكل، والمطلوب هو حساب قياس الزاوية ﺟﺩﻫ.

بالنظر إلى الشكل، نجد أن هذه الزاوية قد تكونت بالانتقال من ﺟ إلى ﺩ إلى ﻫ، وهي هذه الزاوية التي حددتها باللون الأخضر. قد ترغب في النظر إلى الشكل بنفسك وتحديد أسلوب الحل الذي ستتبعه. لا توجد طريقة واضحة ومباشرة لكيفية حساب قياس الزاوية ﺟﺩﻫ. ما سأفعله هو البحث عن أي زوايا أخرى يمكننا إيجاد قياسها مباشرة. ويمكنك ملاحظة أن ﺃﺏﺟﺩ شكل رباعي نعرف قياس ثلاثة من زواياه. كما نعرف أيضًا أن مجموع قياسات زوايا الشكل الرباعي هو ٣٦٠ درجة، وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد قياس الزاوية الأخيرة، ﺏﺃﺩ، باستخدام هذه المعلومة.

إذن سأبدأ بذلك. قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي ٣٦٠ ناقص ٨٥ ناقص ١٤٠ ناقص ٥٠. إذن، قياس هذه الزاوية هو ٨٥ درجة. وكما ذكرنا، سبب ذلك هو أن الشكل الرباعي مجموع قياسات زواياه ٣٦٠ درجة. فلنر كيف يساعدنا ذلك في إيجاد قياس الزاوية ﺟﺩﻫ. لدينا زوج من الخطوط المتوازية في الشكل. ونعرف هذا لوجود هذه الأسهم عليها. وقد يساعدنا أن نمد كلًا منهما قليلًا. وبذلك قد تتمكن من رؤية الأمر بشكل أوضح. وربما تلاحظ وجود علاقة بين هذه الزاوية والزاوية التي قياسها ٨٥ درجة، التي أوجدنا قياسها للتو، والمميزة باللون الأزرق.

بالنظر إلى الشكل، تدرك أنهما زاويتان متبادلتان داخليًا. إذن، يجب أن تكونا متطابقتين. قد يساعدك أن تميل برأسك قليلًا أو إذا كنت تستخدم جهازًا لوحيًا أو ما شابه. فقم بإمالة الشاشة حتى ترى ذلك بشكل أوضح. ونفهم من ذلك أن قياس الزاوية ﺃﺩﻭ، حيث ﻭ هي النقطة التي مددنا إليها هذا المستقيم المتوازي، يساوي ٨٥ درجة أيضًا؛ لأنه كما ذكرنا الزاويتان متبادلتان داخليًا. إذن، يمكنني كتابة قياس الزاوية ٨٥ على الشكل أيضًا. ومعلومة جانبية حول هذه النقطة، إن وجود زاوية أخرى قياسها ٨٥ درجة في الشكل الرباعي هو مجرد مصادفة. لن يكون هذا صحيحًا دائمًا.

وأخيرًا، علينا إيجاد قياس الزاوية ﺟﺩﻫ. ما تراه في هذا الجزء من الشكل هو أن الزوايا الثلاث، الزاوية الزرقاء والزاوية التي قياسها ٥٠ درجة والزاوية الخضراء، تقع على الخط المستقيم معًا. إذن، مجموع قياسات الزوايا الثلاث يجب أن يكون ١٨٠ درجة. وبذلك، يمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺟﺩﻫ بحساب ١٨٠ ناقص ٥٠ ناقص ٨٥. ونحصل على ٤٥ درجة قياس هذه الزاوية، وتذكر أن السبب هو أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم واحد هو ١٨٠ درجة.

إذن في هذه المسألة، لم نتمكن من إيجاد قياس الزاوية المطلوبة مباشرة. بل كان علينا أولًا إيجاد قياسات زوايا أخرى على الشكل، ثم استخدام خصائص الزوايا الناتجة عن قطع الخطوط المستقيمة المتوازية لإيجاد قياس الزاوية المطلوبة.

لتلخيص ما فعلناه، تناولنا أربعة أنواع مختلفة للزوايا الناتجة عن قطع الخطوط المستقيمة المتوازية، وعلينا أن نتمكن من التعرف عليها وتسميتها. ورأينا أيضًا كيفية تطبيق خصائص هذه الأنواع لإيجاد قياسات زوايا مجهولة في أشكال مختلفة.