نسخة الفيديو النصية
أجب عن الأسئلة الآتية فيما يخص المقدارين الكسريين خمسة ﺱ تكعيب ناقص ٤٥ﺱ على ١٢ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ و١٥ﺱ ناقص ٤٥ على ثلاثة ﺱ تربيع. أوجد ناتج قسمة خمسة ﺱ تكعيب ناقص ٤٥ﺱ على ١٢ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ على ١٥ﺱ ناقص ٤٥ على ثلاثة ﺱ تربيع. هل ناتج قسمة خمسة ﺱ تكعيب ناقص ٤٥ﺱ على ١٢ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ على ١٥ﺱ ناقص ٤٥ على ثلاثة ﺱ تربيع مقدار كسري؟ هل ينطبق ذلك على ناتج قسمة أي مقدار كسري على مقدار كسري آخر؟
لدينا مقداران كسريان، ونريد قسمة أحدهما على الآخر. لقسمة هذا المقدار الكسري على مقدار كسري آخر، علينا الضرب في المقلوب. هذا يعطينا خمسة ﺱ تكعيب ناقص ٤٥ﺱ على ١٢ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ في ثلاثة ﺱ تربيع على ١٥ﺱ ناقص ٤٥.
في هذه المرحلة، يمكننا التبسيط. يمكننا إعادة كتابة بسط المقدار الكسري الأول على الصورة خمسة ﺱ في ﺱ تربيع ناقص تسعة. لكن كما نلاحظ، لدينا فرق بين مربعين، لذا يمكننا فك ﺱ تربيع ناقص تسعة إلى العاملين ﺱ زائد ثلاثة في ﺱ ناقص ثلاثة. وفي مقام المقدار الكسري الأول، يمكننا أخذ العامل المشترك أربعة ﺱ، ليتبقى لدينا أربعة ﺱ في ثلاثة ﺱ ناقص واحد. ويظل بسط المقدار الثاني ثلاثة ﺱ تربيع. يمكننا إعادة كتابة المقام على الصورة ١٥ في ﺱ ناقص ثلاثة. يوجد لدينا العامل ﺱ ناقص ثلاثة في البسط والمقام. ولدينا العامل ﺱ في البسط والمقام.
ثم نلاحظ أن لدينا ١٥ في المقام. وفي البسط، لدينا خمسة في ثلاثة. وبما أن خمسة في ثلاثة يساوي ١٥، و١٥ على ١٥ يساوي واحدًا، فهذا يعني أن لدينا في البسط ﺱ زائد ثلاثة في ﺱ تربيع. يمكننا كتابة ذلك على الصورة ﺱ تربيع في ﺱ زائد ثلاثة. وفي المقام، لدينا أربعة في ثلاثة ﺱ ناقص واحد. بذلك نكون قد انتهينا من الخطوة الأولى. عندما نقسم هذين المقدارين، نحصل على ﺱ تربيع في ﺱ زائد ثلاثة على أربعة في ثلاثة ﺱ ناقص واحد.
بالنسبة إلى الجزء الثاني من السؤال، علينا معرفة إذا ما كان هذا الناتج مقدارًا كسريًّا أم لا. تعريف المقدار الكسري هو أنه مقدار يحتوي على كثيرة حدود في البسط والمقام. لدينا هنا كثيرة حدود في البسط، وكثيرة حدود في المقام، وهو ما يعني أن الناتج مقدار كسري.
هل ينطبق هذا على ناتج قسمة أي مقدار كسري على مقدار كسري آخر؟
للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نفكر في مثال مضاد. لنر إذا ما كان بإمكاننا التفكير في أي حالة لا يكون فيها ناتج قسمة مقدار كسري على مقدار كسري آخر هو في حد ذاته مقدارًا كسريًّا. لنستخدم الثابت خمسة أرباع باعتباره المقدار الكسري الأول. والمقدار الكسري الثاني هو صفر على ﺩﺱ، أي صفر على دالة ما في المتغير ﺱ. عندما نحاول القسمة على صفر على ﺩﺱ، فإننا نضرب في ﺩﺱ على صفر. ونحصل في النهاية على صفر في المقام، وهذا غير معرف ولا يمثل مقدارًا كسريًّا. إذن بإيجاد مثال مضاد، يمكننا القول إن هذه العبارة لا تنطبق على قسمة أي مقدار كسري على مقدار كسري آخر.
للتلخيص، أخذنا مقدارين كسريين، وقسمنا أحدهما على الآخر. وكان الناتج نفسه مقدارًا كسريًّا. لكننا وجدنا رغم ذلك أن هذا لن يكون صحيحًا دائمًا.
