فيديو السؤال: إيجاد معادلة العمودي على منحنى دالة بمعلومية ميل المماس للمنحنى الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ميل المماس لمنحنى هو سالب أربعة ﺱ زائد أربعة الكل مقسوم على ثلاثة ﺹ زائد ثلاثة، ويمر المنحنى بالنقطة سالب اثنين، سالب ثلاثة. أوجد معادلة العمودي على المنحنى عند النقطة التي الإحداثي ﺱ لها هو سالب اثنين.

في هذا السؤال، لدينا ميل المماس للمنحنى بدلالة ﺱ وﺹ. ونتذكر أن هذا سوف يعطينا ميل المنحنى. ونعلم أيضًا من السؤال أن المنحنى يمر بالنقطة سالب اثنين، سالب ثلاثة. ومطلوب منا إيجاد معادلة العمودي على هذا المنحنى عند النقطة التي الإحداثي ﺱ لها هو سالب اثنين. ويبدو أنه توجد طريقة بسيطة جدًّا للإجابة عن هذا السؤال.

لدينا نقطة على المنحنى الإحداثي ﺱ لها يساوي سالب اثنين. ونريد إيجاد معادلة العمودي على المنحنى عند ﺱ يساوي سالب اثنين. ويمكننا إيجاد ميل المماس عند هذه النقطة باستخدام التعبير المعطى. ومن ثم، فإن ميل العمودي سيساوي سالب مقلوب هذه القيمة، وسيكون ذلك صحيحًا. بعد ذلك، يمكننا استخدام القيمة الناتجة لإيجاد معادلة العمودي على هذا المنحنى عند النقطة سالب اثنين، سالب ثلاثة.

لكن، ثمة أمر واحد نفترضه عند استخدام هذه الطريقة. سنفترض أن النقطة الوحيدة الموجودة على المنحنى التي الإحداثي ﺱ لها يساوي سالب اثنين هي النقطة سالب اثنين، سالب ثلاثة. بعبارة أخرى، سنفترض أننا نمثل الدالة بيانيًّا. لكن يمكننا إثبات أن هذه ليست الحالة التي لدينا في هذا السؤال. لكي نفعل ذلك، هيا نبدأ بالمعادلة المعطاة لميل هذا المنحنى، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب أربعة ﺱ زائد أربعة الكل مقسوم على ثلاثة ﺹ زائد ثلاثة. نريد استخدام هذا التعبير للحصول على معادلة لإيجاد قيم ﺹ. وبما أن لدينا ميل هذا المنحنى، وهو معدل التغير في ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، إذن علينا إيجاد المشتقة العكسية. وسنفعل ذلك باستخدام التكامل غير المحدد.

هيا إذن نعد ترتيب هذه المعادلة. دعونا نبدأ بضرب كلا الطرفين في ثلاثة ﺹ زائد ثلاثة. وبإجراء ذلك ثم التوزيع على القوسين، سنحصل على: ثلاثة ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ زائد ثلاثة ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب أربعة ﺱ زائد أربعة. والآن سنجري التكامل لكلا طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى ﺱ. ولعلنا نتذكر أنه يمكننا إجراء التكامل لكل حد على حدة. هذا يعطينا تكامل ثلاثة ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل ثلاثة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي تكامل سالب أربعة ﺱ زائد أربعة بالنسبة إلى ﺱ.

علينا الآن حساب كل تكامل على حدة. في التكامل الأول، يمكننا ملاحظة التعبير: ﺹ مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ. ونتذكر أن إيجاد التكامل غير المحدد لتعبير ما يعني أننا نوجد المشتقة العكسية لهذا التعبير. ويمكننا أيضًا أن نتذكر التطبيق التالي لقاعدة السلسلة. مشتقة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ تساوي اثنين مضروبًا في ﺹ مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ. بعبارة أخرى، يمكننا استخدام هذه القاعدة لإيجاد المشتقة العكسية لهذا التعبير.

الفرق الوحيد بين هذين التعبيرين هو المعامل الثابت في بداية التعبير. إذن، ليس علينا إلا أن نضرب كلا طرفي المعادلة في ثلاثة على اثنين. ومن ثم، نكون بذلك قد أوضحنا أنه إذا اشتققنا ثلاثة على اثنين ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ، فسنحصل على ثلاثة ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ. بعبارة أخرى، هذه هي المشتقة العكسية لهذا التعبير. ونتذكر أنه يكون لدينا بالفعل ثابت التكامل عند حساب هذا التكامل. ومع ذلك، يمكننا تجميع ثوابت التكامل كلها في نهاية التعبير.

والآن، دعونا ننتقل إلى حساب التكامل الثاني لدينا. بما أن التكامل غير المحدد لتعبير ما يعطينا المشتقة العكسية العامة لهذا التعبير، فإنه يمكننا ملاحظة أن هذا يساوي ثلاثة ﺹ؛ لأن مشتقة ثلاثة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ثلاثة في ﺩﺹ على ﺩﺱ. يمكننا الآن الانتقال إلى التكامل غير المحدد الثالث لدينا. بما أن هذا هو تكامل دالة كثيرة الحدود في المتغير ﺱ، فإنه يمكننا استخدام قاعدة القوة للتكامل. نتذكر أن هذه القاعدة تنص على أنه لأي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻥ؛ حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. ومن ذلك، نلاحظ أننا نضيف واحدًا إلى الأس ونقسم على هذا الأس الجديد.

يمكننا استخدام هذه الطريقة لإيجاد تكامل الحد الأول. سنكتب ﺱ على صورة: ﺱ أس واحد، ونضيف واحدًا إلى الأس للحصول على أس جديد، وهو اثنان، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. هذا يعطينا: سالب أربعة ﺱ تربيع على اثنين. ويمكننا إجراء الأمر نفسه لإيجاد تكامل الحد الثاني؛ حيث إن أربعة يساوي أربعة في ﺱ أس صفر. لكن من الأسهل تذكر أن ميل الدالة الخطية يعطى بالمعامل الثابت للمتغير. على وجه التحديد، مشتقة أربعة ﺱ ستساوي أربعة. إذن، أربعة ﺱ يمثل المشتقة العكسية لأربعة. وأخيرًا، نتذكر أن علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ. وبتبسيط ذلك، نكون قد أوجدنا أن ثلاثة على اثنين ﺹ تربيع زائد ثلاثة ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد ﺙ.

في الواقع، يمكننا تبسيط هذه المعادلة قليلًا. بما أن جميع المعاملات التي لدينا هي أعداد صحيحة ما عدا المعامل الأول؛ حيث إنه عدد نسبي، فإنه يمكننا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في اثنين. وهذا يعطينا: ثلاثة ﺹ تربيع زائد ستة ﺹ يساوي سالب أربعة ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ زائد اثنين ﺙ. لكننا نتذكر أن ﺙ هو ثابت التكامل، إذن اثنان ﺙ هو أيضًا ثابت. لذا، يمكننا إعادة تسميته. ومن أجل التبسيط، سنعيد تسميته بـ ﺙ. والآن، بعد أن حصلنا على معادلة المنحنى، هيا نفرغ بعض المساحة. تذكر أننا أوجدنا هذه المعادلة لمحاولة تحديد جميع النقاط الموجودة على المنحنى التي يساوي الإحداثي ﺱ لها سالب اثنين. هذا يعني أن علينا التعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في هذه المعادلة، ثم الحل لإيجاد قيم ﺹ.

لكن قد تواجهنا مشكلة هنا. فلا تزال قيمة ﺙ لدينا مجهولة. ولكن، يمكننا إيجاد قيمة ﺙ هذه؛ حيث إننا نعرف من معطيات السؤال أن النقطة سالب اثنين، سالب ثلاثة تقع على المنحنى. ومن ثم، يمكننا التعويض بـ ﺹ يساوي سالب ثلاثة، وﺱ يساوي سالب اثنين في هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺙ. هذا يعطينا: ثلاثة في سالب ثلاثة تربيع زائد ستة في سالب ثلاثة يساوي سالب أربعة مضروبًا في سالب اثنين تربيع زائد ثمانية مضروبًا في سالب اثنين زائد ﺙ.

بإيجاد قيمة كل حد، نحصل على: ٢٧ ناقص ١٨ يساوي سالب ١٦ ناقص ١٦ زائد ﺙ. وبحساب ذلك وإعادة الترتيب لإيجاد قيمة ﺙ، نجد أن ﺙ يساوي ٤١. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة ﺙ هذه في معادلة المنحنى لدينا. ومن ثم، هذا يعطينا معادلة للمنحنى بدلالة المتغيرين ﺱ وﺹ فقط.

والآن يمكننا تحديد كل النقاط الواقعة على هذا المنحنى التي يساوي الإحداثي ﺱ لها سالب اثنين، وذلك بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في معادلة المنحنى ثم الحل لإيجاد قيم ﺹ. بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في معادلة المنحنى، نحصل على: ثلاثة ﺹ تربيع زائد ستة ﺹ يساوي سالب أربعة مضروبًا في سالب اثنين تربيع زائد ثمانية في سالب اثنين زائد ٤١. وبحساب قيمة ذلك والتبسيط، نحصل على: ثلاثة ﺹ تربيع زائد ستة ﺹ يساوي تسعة، وهي معادلة تربيعية في المتغير ﺹ. يمكننا تبسيط ذلك قليلًا بملاحظة أن الحدود الثلاثة تشترك في العامل ثلاثة. وبإعادة ترتيب ذلك، نحصل على المعادلة: ﺹ تربيع زائد اثنين ﺹ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. ويمكننا حل هذه المعادلة عن طريق التحليل.

بما أن ثلاثة مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب ثلاثة، وثلاثة زائد سالب واحد يساوي اثنين، إذن يمكننا تحليل ذلك لنحصل على: ﺹ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺹ ناقص واحد يساوي صفرًا. ولكي يكون حاصل ضرب عاملين مساويًا للصفر، يجب أن يساوي أحد هذين العاملين صفرًا. ومن ثم، نحصل على قيمتين ممكنتين للإحداثي ﺹ لنقطتين على المنحنى قيمة الإحداثي ﺱ لكل منهما تساوي سالب اثنين. وعليه، نجد أنه إما أن ﺹ يساوي سالب ثلاثة، وإما أن ﺹ يساوي واحدًا. إذن، علينا إيجاد معادلتي العموديين على المنحنى عند هاتين النقطتين.

لإجراء ذلك، هيا نبدأ بالنقطة المعطاة لنا في السؤال، وهي النقطة سالب اثنين، سالب ثلاثة. في البداية، سنعوض بإحداثيات هذه النقطة في التعبير لدينا لإيجاد ميل المماس عند هذه النقطة. وهذا يعطينا أن ميل المماس عند هذه النقطة يساوي سالب أربعة في سالب اثنين زائد أربعة الكل مقسوم على ثلاثة مضروبًا في سالب ثلاثة زائد ثلاثة.

يمكننا الآن حساب قيمة هذا التعبير. وإذا فعلنا ذلك، فسوف نجد أنها تساوي سالب اثنين. لعلنا نتذكر أن هذا هو ميل المماس عند هذه النقطة. وعلينا إيجاد ميل العمودي. ومن ثم، يمكننا إيجاده بتذكر أن ميل العمودي يساوي سالب مقلوب ميل المماس عند هذه النقطة. بعبارة أخرى، هذا الميل يساوي سالب واحد في سالب اثنين أس سالب واحد، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على نصف.

وبذلك نكون قد أوجدنا ميل هذا العمودي. نحن نعلم أيضًا أن هذا العمودي يمر بالنقطة سالب اثنين، سالب ثلاثة. وهذا يعني أنه بإمكاننا إيجاد معادلة هذا العمودي. ولذلك، سوف نستخدم صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم. وهذه الصيغة تخبرنا أن ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد؛ حيث إن الخط المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد، وميله ﻡ.

بالتعويض بإحداثيات النقطة والميل الذي يساوي نصفًا، نحصل على: ﺹ ناقص سالب ثلاثة يساوي نصفًا في ﺱ ناقص سالب اثنين. ويمكننا بعد ذلك تبسيط هذه المعادلة وإعادة ترتيبها لتصبح على صورة المعادلة العامة للخط المستقيم. وبذلك، نحصل على: اثنان ﺹ ناقص ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا. لكن هذا يعطينا معادلة العمودي الأول فقط. وعلينا أيضًا إيجاد معادلة العمودي عند النقطة سالب اثنين، واحد.

إذن، لنفرغ بعض المساحة ونتبع العملية نفسها لإيجاد معادلة العمودي عند هذه النقطة. سوف نبدأ بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين وﺹ يساوي واحدًا في تعبير ميل المماس. إذا فعلنا ذلك، فسنحصل على: سالب أربعة في سالب اثنين زائد أربعة الكل مقسوم على ثلاثة في واحد زائد ثلاثة، وهو ما يمكننا حسابه. نلاحظ أن هذا يساوي اثنين. وميل العمودي عند هذه النقطة سيساوي سالب مقلوب هذه القيمة. وسالب مقلوب اثنين يساوي سالب نصف. وأخيرًا، يمكننا التعويض بقيمة الميل هذه وبإحداثيات هذه النقطة في معادلة الخط المستقيم لإيجاد معادلة العمودي عند هذه النقطة.

وبذلك، نجد أن ﺹ ناقص واحد يساوي سالب نصف مضروبًا في ﺱ ناقص سالب اثنين. وإذا بسطنا هذه المعادلة ثم أعدنا كتابتها على الصورة العامة، فسنحصل على: اثنان ﺹ زائد ﺱ يساوي صفرًا. ومن ثم، هذا يعطينا معادلتي كل من العموديين عند النقطتين الواقعتين على المنحنى اللتين قيمة الإحداثي ﺱ لهما تساوي سالب اثنين. هاتان المعادلتان هما: اثنان ﺹ زائد ﺱ يساوي صفرًا، واثنان ﺹ ناقص ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا.