نسخة الفيديو النصية
الدائرة الموضحة في الشكل تحتوي على مكثفات متصلة على التوالي وعلى التوازي. السعة الكهربية الكلية للدائرة 36 ميكروفاراد. ما السعة 𝐶؟
لدينا شكل يوضح دائرة بها بطارية موصلة بترتيب المكثفات هذا. يمكننا أن نلاحظ أن لهذه الدائرة فرعين متوازيين بهما مكثفات. يوجد فرع هنا يحتوي على مكثفين: أحدهما سعته 𝐶 والآخر سعته 95 ميكروفاراد. أما الفرع الآخر هو الفرع الموجود هنا الذي يحتوي على مكثف واحد فقط، بسعة 25 ميكروفاراد.
للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر كيفية إيجاد القيمة الكلية لمكثفات موصلة على التوالي وعلى التوازي. عندما نجمع مكثفات موصلة على التوالي، نجمع مقلوبات السعات الفردية، وهو ما يعطينا واحدًا على السعة الكلية. بعبارة أخرى، إذا جمعنا المكثفات الموصلة على التوالي التي سعاتها 𝐶 واحد و𝐶 اثنين و𝐶 ثلاثة، وهكذا، فإن واحدًا على السعة الكلية، 𝐶T، يساوي واحدًا على 𝐶 واحد زائد واحد على 𝐶 اثنين زائد واحد على 𝐶 ثلاثة وهكذا. عندما نجمع المكثفات الموصلة على التوازي، فإننا فقط نجمع السعات الفردية مباشرة. بعبارة أخرى، إذا كان لدينا فروع متوازية في دائرة سعاتها الفردية هي 𝐶 واحد و𝐶 اثنان و𝐶 ثلاثة وهكذا، فإن السعة الكلية 𝐶T تساوي 𝐶 واحد زائد 𝐶 اثنين زائد 𝐶 ثلاثة، وهكذا.
في الدائرة الكهربية المذكورة في السؤال، يوجد فرعان متوازيان فقط. وأكبر عدد للمكثفات الموصلة على التوالي في فرع واحد هو اثنان أيضًا. هذا يعني أننا في هذين التعبيرين، سنريد أخذ أول حدين فقط في الطرف الأيمن. وهذا يعطينا هاتين المعادلتين لجمع مكثفين موصلين على التوالي ومكثفين موصلين على التوازي. دعونا نسم الفرعين في الدائرة بـالفرع A والفرع B على الترتيب. بما أن الفرع B يحتوي على مكثف واحد فقط سعته 25 ميكروفاراد، فإن سعة الفرع B، التي سميناها 𝐶B، تساوي ببساطة هذه القيمة وهي 25 ميكروفاراد.
دعونا أيضًا نطلق على سعة الفرع A رمز 𝐶A. وهي تساوي السعة الكلية لهذين المكثفين الموصلين على التوالي. تتضمن معطيات السؤال أن السعة الكلية للدائرة تساوي 36 ميكروفاراد. سنطلق على هذه السعة 𝐶 الكلية لكي نتمكن من التفريق بينها وبين 𝐶T الذي استخدمناه في هاتين المعادلتين العامتين. 𝐶 الكلية تساوي السعة الكلية لهذين الفرعين المتوازيين في الدائرة، اللذين سعتاهما 𝐶A و𝐶B على الترتيب. باستخدام المعادلة العامة لجمع المكثفات الموصلة على التوازي، يمكننا كتابة أن 𝐶 الكلية تساوي 𝐶A زائد 𝐶B. ونحن نعرف قيمتي 𝐶 الكلية و𝐶B. إذن، يمكننا استخدام هاتين القيمتين في هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝐶A.
لفعل ذلك، علينا أن نجعل 𝐶A في طرف بمفرده في المعادلة. يمكننا فعل ذلك بطرح 𝐶B من كلا الطرفين، حيث يحذف حدا 𝐶B الموجب والسالب كل منهما الآخر في الطرف الأيمن. لدينا الآن معادلة تخبرنا كيف نوجد قيمة 𝐶A بمعلومية قيمتي 𝐶 الكلية و𝐶B. بالتعويض بقيمتي 𝐶 الكلية و𝐶B، نحصل على 𝐶A يساوي 36 ميكروفاراد ناقص 25 ميكروفاراد، وهو ما يساوي 11 ميكروفاراد. نضيف قيمة 𝐶A هذه على شكل الدائرة لكي يمكننا الآن أن نفرغ بعض المساحة على الشاشة.
والآن بعد أن أوجدنا قيمة السعة 𝐶A، لإيجاد قيمة السعة 𝐶، علينا التفكير في هذين المكثفين الموصلين على التوالي في الفرع A. بالرجوع إلى هذه المعادلة العامة لجمع المكثفات الموصلة على التوالي، نطلق على السعة المجهولة 𝐶 رمز 𝐶 واحد، وعلى السعة التي تساوي 95 ميكروفاراد رمز 𝐶 اثنين. نحن نعلم أن السعة الكلية لهذين المكثفين معًا هي السعة الكلية للفرع A، وهي قيمة 𝐶A. بعبارة أخرى، في هذه المعادلة الخاصة بالمكثفات الموصلة على التوالي، السعة الكلية 𝐶T تساوي قيمة 𝐶A. ومن ثم، فإن نسختنا من هذه المعادلة لهذه الدائرة المحددة هي واحد على 𝐶A يساوي واحدًا على 𝐶 واحد زائد واحد على 𝐶 اثنين.
لقد أوجدنا بالفعل قيمة 𝐶A، و𝐶 اثنان هو قيمة معروفة للسعة معطاة في السؤال. لإيجاد قيمة 𝐶 واحد، وهو السعة المجهولة 𝐶 التي يطلب السؤال منا إيجادها، علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل 𝐶 واحد في طرف بمفرده. الخطوة الأولى هي طرح واحد على 𝐶 اثنين من كلا طرفي المعادلة. في الطرف الأيمن، يحذف موجب واحد على 𝐶 اثنين وسالب واحد على 𝐶 اثنين كل منهما الآخر. وهذا يعطينا معادلة تنص على أن واحدًا على 𝐶A ناقص واحد على 𝐶 اثنين يساوي واحدًا على 𝐶 واحد.
في الطرف الأيسر، يمكننا إعادة كتابة الكسر الأول بضرب البسط والمقام في 𝐶 اثنين. ويمكننا إعادة كتابة الكسر الثاني بضرب البسط والمقام في 𝐶A. بعد ذلك، بما أن هذين الكسرين لهما المقام نفسه، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر في صورة 𝐶 اثنين ناقص 𝐶A مقسومًا على 𝐶 اثنين في 𝐶A.
يمكننا بعد ذلك ضرب كلا طرفي المعادلة في 𝐶 واحد و𝐶 اثنين و𝐶A. في الطرف الأيسر، نحذف الحدين 𝐶 اثنين في البسط والمقام ونفعل الأمر نفسه مع الحدين 𝐶A. في الطرف الأيمن، لدينا 𝐶 واحد في البسط والذي يحذف مع 𝐶 واحد في المقام. وبمسح هذه الحدود المحذوفة، نجد أن 𝐶 واحد مضروبًا في 𝐶 اثنين ناقص 𝐶A يساوي 𝐶 اثنين في 𝐶A. الخطوة الأخيرة هي قسمة كلا الطرفين على 𝐶 اثنين ناقص 𝐶A بحيث يحذف 𝐶 اثنان ناقص 𝐶A في البسط والمقام.
نحصل في النهاية على معادلة تنص على أن 𝐶 واحد يساوي 𝐶 اثنين مضروبًا في 𝐶A مقسومًا على 𝐶 اثنين ناقص 𝐶A. في هذه الحالة، هذه الكمية 𝐶 واحد هي قيمة السعة 𝐶 التي نريد إيجادها. بعد ذلك، بالتعويض بقيمتي 𝐶A و𝐶 اثنين، نجد أن 𝐶 يساوي 95 ميكروفاراد مضروبًا في 11 ميكروفاراد مقسومًا على 95 ميكروفاراد ناقص 11 ميكروفاراد. في البسط، 95 ميكروفاراد في 11 ميكروفاراد يساوي 1045 بوحدات ميكروفاراد تربيع. في المقام، لدينا 95 ميكروفاراد ناقص 11 ميكروفاراد، وهذا يساوي 84 ميكروفاراد.
بالنسبة إلى الوحدات في هذا التعبير، لدينا عاملا ميكروفاراد في البسط وعامل واحد في المقام. وهذا يعني أنه يمكننا حذف عامل واحد من البسط والمقام، فيتبقى لدينا الميكروفاراد كوحدة كلية. بإيجاد قيمة التعبير، نحصل على ناتج لقيمة السعة 𝐶 وهي 12.44 ميكروفاراد وهكذا مع توالي الأرقام. إذا قربنا هذا العدد لأقرب ميكروفاراد، فسنحصل على أن السعة 𝐶 تساوي 12 ميكروفاراد. وكملاحظة جانبية أخيرة، بما أن القيمة 12 تتضمن رقمين لا يحتويان على صفر، فإنه يمكننا القول أيضًا إننا قربنا الناتج لأقرب رقمين معنويين.
