نسخة الفيديو النصية
طول الأسلاك التي تحمل التيار من محطة طاقة إلى محطة فرعية 7.25 كيلومترات. الأسلاك مصنوعة من نحاس مقاومته النوعية 1.7 في 10 أس سالب ثمانية أوم متر. التيار المار خلال الأسلاك شدته 450 مللي أمبير. يجب ألا تزيد القدرة المبددة بواسطة الأسلاك عن 15 وات. ما أقل مساحة مقطع لازمة للأسلاك لنقل هذا التيار؟ أوجد إجابتك بالصيغة العلمية لأقرب منزلة عشرية.
يتناول السؤال الأسلاك التي تحمل التيار من محطة طاقة إلى محطة فرعية. ودعونا نفترض أن هذا هو أحد هذه الأسلاك. تتضمن المعطيات أن طول هذه الأسلاك يساوي 7.25 كيلومترات، ورمزنا لهذا الطول بالرمز 𝑙. ونعلم من المعطيات أيضًا أن المقاومة النوعية 𝜌 للنحاس الذي صنعت منه هذه الأسلاك تساوي 1.7 في 10 أس سالب ثمانية أوم متر. ونعلم من المعطيات أيضًا أن شدة التيار 𝐼 المار عبر الأسلاك تساوي 450 مللي أمبير. وآخر معلومة ذكرت في المعطيات أن القدرة المبددة بواسطة الأسلاك يجب ألا تزيد على 15 وات. ورمزنا لأقصى قدرة مبددة بالرمز 𝑃.
وفقًا لجميع هذه المعطيات، يطلب منا السؤال إيجاد أقل مساحة مقطع لازمة للأسلاك التي تنقل التيار. ودعونا نرمز لأقل مساحة مقطع بالرمز 𝐴. للإجابة عن هذا السؤال، لعلنا نتذكر أن المقاومة النوعية للسلك ترتبط بخاصية أخرى، وهي مقاومة السلك، من خلال معادلة تتضمن أيضًا طول السلك ومساحة مقطعه. على وجه التحديد، المقاومة 𝑅 لسلك تساوي مقاومته النوعية مضروبة في طوله مقسومًا على مساحة مقطعه.
إذا ضربنا طرفي المعادلة في 𝐴 على 𝑅، فسنلاحظ أنه في الطرف الأيسر يلغى 𝑅 في البسط مع 𝑅 في المقام. وفي الوقت نفسه، يلغى A في البسط مع A في المقام في الطرف الأيمن. وهذا يعطينا معادلة تكون فيها مساحة المقطع 𝐴 في طرف بمفردها. وهي 𝐴 تساوي المقاومة النوعية 𝜌 مضروبة في الطول 𝑙 مقسومًا على المقاومة 𝑅. ونعلم من المعطيات قيمتي 𝜌 و𝑙 في الطرف الأيمن من هذه المعادلة. ولكننا لا نعلم قيمة المقاومة 𝑅. ولكننا نعلم من معطيات السؤال قيمة كل من شدة التيار المار عبر الأسلاك، 𝐼، وأقصى قدرة مبددة، 𝑃.
دعونا نتذكر أن القدرة 𝑃 المبددة بواسطة سلك أو مكون في دائرة كهربية تساوي مربع شدة التيار، 𝐼، المار عبره مضروبًا في المقاومة 𝑅. ويمكننا أن نجعل 𝑅 في طرف بمفرده بقسمة الطرفين على 𝐼 تربيع بحيث يلغى 𝐼 تربيع في البسط مع 𝐼 تربيع في المقام. وبعد ذلك، بتبديل الطرفين الأيسر والأيمن من المعادلة، نحصل على 𝑅 يساوي 𝑃 مقسومة على 𝐼 تربيع. وإذا استخدمنا قيمتي شدة التيار، 𝐼، المار عبر السلك وأقصى قدرة مبددة بواسطة السلك، 𝑃، في هذه المعادلة، فسنحسب أقصى مقاومة، 𝑅، لهذا السلك.
لكي نحسب المقاومة بوحدة الأوم، لا بد أن تكون القدرة بوحدة الوات وشدة التيار بوحدة الأمبير. ولكن، حاليًّا قيمة 𝐼 معطاة بوحدة المللي أمبير. ولتحويل هذه الوحدة إلى وحدة الأمبير، يمكننا أن نتذكر أن المللي أمبير يساوي واحدًا على ألف من الأمبير. وهذا يعني أنه للتحويل من المللي أمبير إلى الأمبير، نقسم على العامل 1000، ومن ثم فإن شدة التيار، 𝐼، تساوي 450 مقسومًا على 1000 أمبير. وهذا يساوي 0.45 أمبير.
أصبحنا جاهزين الآن للتعويض بقيمة شدة التيار هذه وقيمة القدرة 𝑃 في هذه المعادلة لحساب المقاومة 𝑅. وعندما نفعل ذلك، نجد أن 𝑅، وهي أقصى مقاومة لهذه الأسلاك، تساوي 15 وات مقسومًا على 0.45 أمبير تربيع. وبإيجاد قيمة هذا المقدار، نجد أن المقاومة 𝑅 تساوي 74.0740 دوري أوم. وإذا حولنا انتباهنا مجددًا إلى معادلة مساحة المقطع 𝐴، فسنلاحظ أنه أصبح لدينا الآن قيم الكميات الثلاث في الطرف الأيمن من المعادلة. ويجدر بنا أن نلاحظ أننا نقسم على أقصى قيمة للمقاومة 𝑅 التي يمكن أن تمتلكها الأسلاك. وهذا يعني أنه كلما كانت قيمة R أكبر، فسنحصل على قيمة 𝐴 أصغر. إذن، بالتعويض في هذه المعادلة بأقصى مقاومة للأسلاك، سنحسب أقل مساحة مقطع مسموح بها لهذه الأسلاك، وهو المطلوب منا إيجاده بالضبط.
قبل أن نعوض بالقيم التي لدينا، علينا تحويل وحدة قياس أخرى. لدينا المقاومة النوعية 𝜌 بوحدة الأوم متر، والمقاومة 𝑅 بوحدة الأوم، والطول 𝑙 بوحدة الكيلومتر. ولحساب المساحة 𝐴 بوحدة المتر المربع، علينا تحويل قيمة 𝑙 من الكيلومتر إلى المتر. ولفعل ذلك، لعلنا نتذكر أن الكيلومتر الواحد يساوي 1000 متر. وهذا يعني أنه لتحويل وحدة الطول من الكيلومتر إلى المتر، نضرب في العامل 1000. إذن، 𝑙 يساوي 7.25 في 1000 متر. وهذا يساوي 7250 مترًا.
أصبح بإمكاننا الآن التعويض بقيم المقاومة النوعية 𝜌 والطول 𝑙 والمقاومة 𝑅 في هذه المعادلة لحساب قيمة 𝐴. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على هذا المقدار هنا. وبالنظر إلى وحدات القياس، يمكننا أن نلاحظ أن وحدة الأوم تلغى من البسط والمقام. ويتبقى لدينا عاملا متر في البسط، وهو ما يعطينا وحدة المتر المربع. وبإيجاد قيمة المقدار، نجد أن مساحة المقطع 𝐴 تساوي 1.663875 في 10 أس سالب ستة متر مربع.
يجدر بنا أن نلاحظ أن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة بالصيغة العلمية لأقرب منزلة عشرية. وهذه القيمة التي حسبناها مكتوبة بالصيغة العلمية بالفعل. ومن ثم، كل ما علينا فعله الآن هو التقريب لأقرب منزلة عشرية. وعندما نفعل ذلك، نقرب الناتج لأعلى فيصبح 1.7 في 10 أس سالب ستة متر مربع. إذن، إجابة السؤال هي أن أقل مساحة مقطع لازمة لهذه الأسلاك تساوي 1.7 في 10 أس سالب ستة متر مربع.
