فيديو السؤال: استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحل مسائل كلامية عن زوايا الارتفاع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ارتفاع منارة ٦٠ مترًا. وقياسا زاويتي الارتفاع بين قاربين في البحر وقمة المنارة ٢٩ درجة و٣٩ درجة، على الترتيب. إذا كان القاربان وقاعدة المنارة على استقامة واحدة، والقاربان على الجانب نفسه من المنارة، فأوجد المسافة بين القاربين لأقرب متر.

لمساعدتنا على فهم ما يحدث، سنرسم شكلًا توضيحيًّا. بداية رسمنا المنارة التي ارتفاعها ٦٠ مترًا. ثم لدينا قاربان. وهذان القاربان على استقامة واحدة مع قاعدة المنارة. إذن سيكونان بمحاذاة قاعدة المنارة. وهما يقعان على الجانب نفسه من المنارة. لذلك رسمناهما على نفس جانب المنارة وأشرنا إليهما بـ ﺃ وﺏ.

بعد ذلك نعلم أن قياسي زاويتي الارتفاع بين القاربين وقمة المنارة ٢٩ درجة و٣٩ درجة، على الترتيب. وزاوية الارتفاع هي الزاوية المتكونة بدءًا من الخط الأفقي وصولًا إلى الخط الواصل بين النقطة التي ننظر منها إلى النقطة التي نبحث عنها، وهي قمة المنارة. إذن ما كوناه هنا مثلثان قائما الزاوية. ويمكننا استخدامهما لمحاولة حل المسألة. ولكي نحل هذه المسألة، علينا إيجاد المسافة بين القاربين ﺃ وﺏ.

لإيجاد هذه المسافة، علينا أولًا إيجاد المسافة من القارب ﺃ إلى المنارة والمسافة من القارب ﺏ إلى المنارة. سنبدأ بالمسافة من القارب ﺃ إلى المنارة. وما فعلته هنا هو أنني رسمت مثلثًا قائم الزاوية باللون الأزرق هنا لمساعدتنا على رؤية ما نتعامل معه. وبما أننا نتعامل مع مثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس أو النسب المثلثية. سنستخدم النسب المثلثية لأن لدينا قياس زاوية وطول ضلع.

ما سنفعله الآن هو تسمية الأضلاع. لدينا الوتر وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو الضلع الأطول. ولدينا الضلع المقابل، وهو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٣٩ درجة. ولدينا الضلع المجاور. والضلع المجاور يقع بجانب الزاوية وأيضًا يقع بينها وبين الزاوية القائمة.

والآن ما علينا فعله هو تحديد النسبة التي سنستخدمها. لدينا طول الضلع المقابل ونريد إيجاد طول الضلع المجاور. أ أي إنه لدينا طول الضلع المقابل وقيمة الزاوية 𝜃. وبتذكر النسب المثلثية دعونا نحدد ما إذا كنا نحتاج إلى استخدام نسبة الجيب أو جيب التمام أو الظل. ويخبرنا ذلك أن ظا 𝜃، أي ظل الزاوية 𝜃، يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور.

نعوض بالقيم لدينا، نحصل إذن على ظا ٣٩ يساوي ٦٠ ؛ وهذا هو طول الضلع المقابل، مقسومًا على ﺱ؛ وهذا هو طول الضلع المجاور. بعد ذلك، نضرب طرفي المعادلة في ﺱ، ومن ثم نحصل على ﺱ في ظا ٣٩ يساوي ٦٠. ولأننا نريد إيجاد قيمة ﺱ نقسم طرفي المعادلة على ظا ٣٩. ومن ثم فإن ﺱ يساوي ٦٠ على ظا ٣٩.

لن نحسب قيمة هذا الناتج الآن لأغراض الحصول على إجابات دقيقة. سنحسب ذلك فقط عندما نحاول إيجاد الإجابة النهائية. وهي المسافة بين ﺃ وﺏ. الآن، أصبحنا نعرف قيمة ﺱ، أي المسافة من المنارة إلى ﺃ. إذن علينا إيجاد المسافة من المنارة إلى ﺏ.

كما ذكرت توًّا، نريد الآن إيجاد المسافة من المنارة، أي قاعدتها، إلى ﺏ. وقد أسميت هذه المسافة على هذا الشكل ﺹ. هذه المرة سيكون لدينا مثلث قائم الزاوية، وقد حددته باللون الأخضر. لكن قياس الزاوية التي تعنينا هذه المرة ٢٩ درجة. مرة أخرى إننا نهتم بالضلعين المقابل والمجاور؛ ولأن طول الضلع المقابل يساوي مجددًا ٦٠ مترًا، والضلع المجاور، الذي طوله هو ﺹ، هو ما نريد إيجاده، سنستخدم إذن نسبة الظل مرة أخرى.

بتطبيق ذلك، نحصل على ظا ٢٩ يساوي ٦٠ على ﺹ. ثم بإعادة الترتيب بالطريقة السابقة، نحصل على ﺹ يساوي ٦٠ على ظا ٢٩. وذلك لأننا ضربنا في ﺹ ثم قسمنا على ظا ٢٩. إذن المسافة من ﺃ إلى ﺏ ستساوي ﺹ ناقص ﺱ. وعليه فإن هذا يساوي ٦٠ على ظا ٢٩ ناقص ٦٠ على ظا ٣٩. وهذا سيعطينا الإجابة ٣٤٫١٤٩، وهكذا مع توالي الأرقام.

ما علينا فعله الآن هو تحديد الطريقة التي سنكتب بها الإجابة. بالنظر إلى السؤال، نجد أنه يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب متر. إذن، إذا قربنا ٣٤٫١٤٩ لأقرب متر، فسنحصل على ٣٤ مترًا. وذلك لأن الرقم الموجود بعد الرقم أربعة كان واحدًا، لذا يبقى العدد أربعة كما هو. إذن، يمكننا القول إن المسافة بين القاربين تساوي ٣٤ مترًا.