فيديو الدرس: قيم الدوال المثلثية بالزوايا المرجعية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

.قيم الدوال المثلثية التي تتضمن الزوايا المرجعية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد الزاوية المرجعية وأصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي، وسنتعلم كيف نستخدمهما لإيجاد قيم الدوال المثلثية.

للقيام بذلك، علينا أولًا أن نتذكر كيف نوجد قيم الدوال المثلثية. وهي: جيب الزاوية، وجيب تمام الزاوية. يمكننا حساب قيم الدوال المثلثية باستخدام المثلثات القائمة الزاوية. لكن لكي نتوسع في هذه الدوال، علينا استخدام دائرة الوحدة. وهي دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا، ومركزها عند نقطة الأصل. يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة الدوال المثلثية. على سبيل المثال، دعونا نرسم الزاوية ١٥٠ درجة في الوضع القياسي. حسنًا، تذكر أنه لرسم زاوية في الوضع القياسي، نبدأ من المحور ﺱ الموجب؛ حيث تقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة إذا كانت الزاوية موجبة، وفي اتجاه دوران عقارب الساعة إذا كانت الزاوية سالبة.

نعلم بعد ذلك أن نقطة التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية ودائرة الوحدة توضح قيمة الجيب وجيب التمام عند هذه الزاوية. يوضح لنا الإحداثي ﺱ جيب تمام هذه الزاوية، ويوضح الإحداثي ﺹ جيب هذه الزاوية. إذن، ستكون إحداثيات نقطة التقاطع هي: جتا ١٥٠ درجة، وجا ١٥٠ درجة. نريد تحديد هذه القيم، لذا علينا إيجاد قيم هذه الإحداثيات. لفعل ذلك، نتذكر أولًا أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة الزاوية التالية. هذه الزاوية قياسها ٣٠ درجة؛ لأن ١٥٠ درجة زائد ٣٠ درجة يساوي ١٨٠ درجة.

إذا أسقطنا خطًّا رأسيًّا من نقطة التقاطع إلى المحور ﺱ، فسنكون مثلثًا قائم الزاوية. ولمساعدتنا في إجراء العمليات الحسابية، قد يساعدنا رسم هذا المثلث القائم الزاوية بمفرده. أولًا، نلاحظ أن وتر هذا المثلث القائم الزاوية هو نصف قطر الدائرة. وتذكر أنه بما أن هذه هي دائرة الوحدة، فإن نصف قطرها يساوي واحدًا. ومن ثم فإن وتر المثلث هو واحد. بعد ذلك، نلاحظ أن قاعدة هذا المثلث القائم الزاوية وارتفاعه معطيان بالإحداثيين ﺱ وﺹ لنقطة التقاطع.

لكن تذكر أن الأطوال لا يمكن أن تكون سالبة. وبما أننا في الربع الثاني، فإن الإحداثي ﺱ سيكون سالبًا، في حين أن الإحداثي ﺹ سيكون موجبًا. لكي نكون أكثر أمانًا، فسنحسب القيمة المطلقة لكل من هذين الإحداثيين. تذكر أن هذا يعني أننا سنأخذ القيمة غير السالبة. يمكننا بعد ذلك تحديد قيم هذه المقادير عن طريق تطبيق حساب المثلثات في المثلث القائم الزاوية الذي نحن بصدده. إذا أسمينا أضلاعنا بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة، فسنجد أن القيمة المطلقة لـ جا ١٥٠ درجة هي الضلع المقابل للزاوية، وأن القيمة المطلقة لـ جتا ١٥٠ درجة هي الضلع المجاور للزاوية.

نحن الآن جاهزون لإيجاد المقادير لهذه القيم. أولًا، تذكر أن جيب الزاوية الحادة يساوي نسبة طول الضلع المقابل والوتر في مثلث قائم الزاوية. في المثلث القائم الزاوية، طول الضلع المقابل له قيمة مطلقة تساوي ١٥٠ درجة، وطول الوتر يساوي واحدًا. إذن، خارج قسمة هاتين القيمتين يساوي جا ٣٠ درجة. ونحن نعلم أن القسمة على الواحد لا تغير القيمة، وأن ٣٠ درجة هي زاوية خاصة. نعرف كيفية إيجاد قيمة جا ٣٠ درجة. إنه يساوي نصفًا. يمكننا إثبات ذلك باستخدام المثلثات المتساوية الأضلاع.

لكننا لم ننته بعد. تذكر أننا توصلنا إلى أن هذا فقط يساوي القيمة المطلقة لـ جا ١٥٠ درجة. ما توصلنا إليه هنا هو طول المثلث القائم الزاوية. وبذلك نكون قد وجدنا أن طول هذا الضلع في المثلث القائم الزاوية يساوي نصفًا. وجا ١٥٠ درجة هو الإحداثي ﺹ لنقطة التقاطع. وبما أننا نلاحظ أنها تقع في الربع الثاني، فإننا نعرف أنها موجبة. ومن ثم، نحسب القيمة الموجبة. وبذلك نكون قد أوضحنا أن جا ١٥٠ درجة يساوي نصفًا.

يمكننا تكرار الخطوات نفسها لإيجاد قيمة جتا ١٥٠ درجة. هذه المرة، علينا أن نوجد نسبة الضلع المجاور والوتر. باستخدام حساب المثلثات، نجد أن جتا ٣٠ درجة يساوي القيمة المطلقة لـ جتا ١٥٠ درجة مقسومًا على واحد. مرة أخرى، نعلم أن القسمة على واحد لا تغير القيمة. ويمكننا إيجاد قيمة جتا ٣٠ درجة. إنه يساوي الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على اثنين. لكن تذكر أن عليك الانتباه. ما توصلنا إليه هو طول قاعدة المثلث القائم الزاوية، في حين أن جتا ١٥٠ درجة يساوي الإحداثي ﺱ لنقطة التقاطع. يمكننا أن نرى أن هذه القيمة سالبة. ولذا، سنحتاج إلى أخذ القيمة السالبة. بذلك نكون قد أوضحنا أن جتا ١٥٠ درجة يساوي سالب الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على اثنين.

يمكننا اتباع الطريقة نفسها لإيجاد الدوال المثلثية للعديد من القيم المختلفة. على سبيل المثال، إذا طلب منا إيجاد قيمة جا سالب ٤٠٥ درجات، فسنبدأ برسم سالب ٤٠٥ درجات في الوضع القياسي، وبما أن الزاوية سالبة، فعلينا قياس الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة. نعلم أن الدورة الكاملة الواحدة في اتجاه عقارب الساعة تساوي سالب ٣٦٠ درجة. علينا بعد ذلك التحرك بمقدار إضافي قيمته ٤٥ درجة في اتجاه عقارب الساعة. هذا يعطينا الزاوية التالية. وجدير بالتكرار هنا أن الضلع النهائي لزاوية في الوضع القياسي ليس فريدًا. على سبيل المثال، يمكننا قياس زاوية أخرى في اتجاه دوران عقارب الساعة من نفس الضلع النهائي للزاوية التي قياسها سالب ٤٠٥ درجات.

إحدى طرق تحديد هذه القيمة هي إضافة المضاعفات الصحيحة لـ ٣٦٠. نرى أن سالب ٤٠٥ زائد اثنين في ٣٦٠ يساوي ٣١٥ درجة. سيكون لهاتين الزاويتين الضلع النهائي نفسه عند رسمه في الوضع القياسي. ونحن نريد استخدام هذا الضلع لتحديد قيمة جا سالب ٤٠٥ درجات. لعلنا نتذكر أن هذا يعطى بإحداثيات نقطة التقاطع بين طول الضلع النهائي ودائرة الوحدة. الإحداثي ﺱ يساوي جتا سالب ٤٠٥ درجات، والإحداثي ﺹ يساوي جا سالب ٤٠٥ درجات. نريد تحديد قيمة الإحداثي ﺹ هذا بالطريقة نفسها، باستخدام حساب المثلثات.

نرسم خطًّا عموديًّا من نقطة التقاطع إلى المحور ﺱ، وهو ما يعطينا مثلثًا قائم الزاوية. لمساعدتنا في إيجاد قيمة ما نريد، سنرسم المثلث خارج الدائرة. نلاحظ مرة أخرى أن وتر هذا المثلث القائم الزاوية هو نصف قطر الدائرة. وبما أن هذه هي دائرة الوحدة، فإن نصف قطرها يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن وتر المثلث القائم الزاوية يساوي واحدًا. وارتفاع هذا المثلث القائم يساوي القيمة المطلقة للإحداثي ﺹ لنقطة التقاطع. هذه هي القيمة المطلقة لـ جا سالب ٤٠٥ درجات. تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا إضافة القاعدة إلى الشكل، لكن هذا غير مطلوب للإجابة عن هذا السؤال.

نحن نريد تطبيق حساب المثلثات لإيجاد قيمة لهذا المقدار. ولفعل ذلك، نحتاج إلى معرفة قياس إحدى الزوايا. توجد بضع طرق مختلفة لإجراء ذلك. لنفكر فقط في القيمة ٣١٥ درجة. بما أن هاتين الزاويتين لهما الضلع النهائي نفسه، يمكننا استخدام أي من هاتين القيمتين. وعادة ما يكون من الأسهل استخدام القيم الموجبة التي تقع بين صفر درجة و٣٦٠ درجة. نلاحظ بعد ذلك أن إحدى الزوايا المجهولة في المثلث تحقق دورة كاملة عند إضافتها للزاوية ٣١٥ درجة. إذا أطلقنا على هذه الزاوية 𝜃، فسيكون لدينا: 𝜃 زائد ٣١٥ درجة يساوي دورة كاملة. بعبارة أخرى، يساوي ٣٦٠ درجة.

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة 𝜃 بطرح ٣١٥ درجة من الطرفين. نجد أن 𝜃 تساوي ٤٥ درجة. يمكننا إضافة ذلك إلى المثلث القائم الزاوية. يمكننا بعد ذلك استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد قيمة جا سالب ٤٠٥ درجات. نبدأ بتسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٤٥ درجة. ونلاحظ أن لدينا طول الضلع المقابل وطول الوتر. إذن علينا استخدام نسبة الجيب. بتطبيق حساب المثلثات، نحصل على: جا ٤٥ درجة يساوي القيمة المطلقة لـ جا سالب ٤٠٥ درجات مقسومًا على واحد.

يمكننا تبسيط ذلك. أولًا، جا ٤٥ درجة يساوي الجذر التربيعي لاثنين مقسومًا على اثنين. ونعلم أن القسمة على واحد لن تغير القيمة. وأخيرًا، تذكر أن هذه القيمة تعطينا ارتفاع المثلث القائم الزاوية، ومع ذلك فإننا نحاول إيجاد قيمة الإحداثي ﺹ لنقطة التقاطع. بتطبيق حساب المثلثات، أوضحنا أن ارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية يساوي جذر اثنين على اثنين. لكن يمكننا ملاحظة وجود المثلث في الربع الرابع؛ إذن قيمة الإحداثي ﺹ ستكون سالبة. ومن ثم، علينا أخذ سالب هذه القيمة. نعرف أن جا سالب ٤٠٥ درجات يساوي سالب جذر اثنين مقسومًا على اثنين.

في هذا المثال، لإيجاد قيمة جا سالب ٤٠٥ درجات، بدأنا بإيجاد قياس زاوية موجبة مكافئة بين صفر درجة و٣٦٠ درجة. ثم أوجدنا قيمة 𝜃، وهي الزاوية الحادة التي يكونها الضلع النهائي مع المحور ﺱ. يمكننا إيجاد قيمة جيب الزاوية أو جيب تمام الزاوية بالطريقة نفسها. نوجد، في البداية، زاوية مكافئة في الوضع القياسي ما بين صفر درجة و٣٦٠ درجة، ثم نوجد الزاوية الحادة التي يكونها الضلع النهائي مع المحور ﺱ. وسنسمي هذين النوعين من الزوايا. أولًا، إذا كانت 𝜃 زاوية في الوضع القياسي، فإن الزاوية التي تقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بين الضلع الابتدائي والضلع النهائي للزاوية 𝜃، وهي أقل من الدورة الكاملة، تعرف بأصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي لـ 𝜃.

على سبيل المثال، أوضحنا أن الزاوية التي قياسها ٣١٥ درجة يكون لها الضلع النهائي نفسه للزاوية التي قياسها سالب ٤٠٥ درجات في الوضع القياسي. وهذا يعني أن الزاوية التي قياسها ٣١٥ درجة هي أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي للزاوية سالب ٤٠٥ درجات. ونستخدم هذه الزاوية لتساعدنا في إيجاد قيمة الدوال المثلثية عند سالب ٤٠٥ درجات. وبالمثل، إذا كانت 𝜃 زاوية في الوضع القياسي، فإننا نطلق على الزاوية الحادة التي تكون بين الضلع النهائي للزاوية 𝜃 والمحور ﺱ زاوية مرجعية لـ 𝜃. على سبيل المثال، أوضحنا أنه عند رسم زاوية قياسها سالب ٤٠٥ درجات في الوضع القياسي، فإن ضلعها النهائي يكون زاوية قياسها ٤٥ درجة مع المحور ﺱ. إذن، يمكننا القول إن الزاوية المرجعية لسالب ٤٠٥ درجات تساوي ٤٥ درجة. واستخدمنا هاتين الزاويتين للمساعدة في إيجاد قيمة الدوال المثلثية عند هذه القيمة.

هناك أربعة احتمالات مختلفة لأصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي وللقيمة المرجعية. وتتعلق هذه الاحتمالات بـ «أي من الأرباع الأربعة يقع فيها الضلع النهائي للزاوية؟». أولًا، إذا كان الضلع النهائي يقع في الربع الأول، فإن أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي ستكون زاوية حادة، وسيكون للزاوية المرجعية القياس نفسه. إذا كان الضلع النهائي في الربع الثاني، فستكون أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي زاوية منفرجة، والزاوية المرجعية ستساوي ١٨٠ درجة ناقص أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي. إذا كان الضلع النهائي للزاوية في الربع الثالث، فسنجد أن أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي ستكون بين ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة. ومع ذلك فإن الزاوية المرجعية ستكون هذه الزاوية الحادة فقط. وهي أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي ناقص ١٨٠ درجة. وأخيرًا، إذا كان الضلع النهائي في الربع الرابع، فإن قياس أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي سيكون بين ٢٧٠ درجة و٣٦٠ درجة، والزاوية المرجعية هي الزاوية اللازمة لإكمال الدورة. وهذا ما يعني أنها تساوي ٣٦٠ درجة ناقص أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي.

لنتناول الآن مثالًا لتحديد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي.

بمعلومية الزاوية سالب اثنين ‏𝜋‏‎ على ثلاثة، أوجد أصغر قياس موجب للزاوية.

يطلب منا السؤال تحديد قياس أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي لسالب اثنين ‏𝜋‏‎ على ثلاثة. نبدأ بتذكر أن أصغر زاوية ستكون في الوضع القياسي، وسيكون لها الضلع النهائي نفسه، ويتعين فيها أن تكون بين صفر واثنين ‏𝜋‏‎. ولإيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي، سنبدأ برسم سالب اثنين ‏𝜋‏‎ على ثلاثة في الوضع القياسي. أولًا، بما أن الزاوية هنا سالبة، فهذا يعني أن علينا قياس الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة من المحور ﺱ الموجب. قد يساعدنا كذلك قياس كل زاوية من الزوايا القائمة. وبالتحرك في اتجاه دوران عقارب الساعة من المحور ﺱ الموجب، يكون لدينا سالب ‏𝜋‏‎ على اثنين، وسالب ‏𝜋‏‎، وسالب ثلاثة ‏𝜋‏‎ على اثنين.

وباستخدام المعاملات أو إجراء العمليات الحسابية، نجد أن سالب اثنين ‏𝜋‏‎ على ثلاثة تقع بين سالب ‏𝜋‏‎ على اثنين وسالب ‏𝜋‏‎. بعبارة أخرى، يقع الضلع النهائي في الربع الثالث. ونريد إيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي. تذكر أن هذه المسافة تقاس بالوضع القياسي وهي بين صفر واثنين ‏𝜋‏‎. ومن ثم، فهي تقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة. ويجب أن يكون لها الضلع النهائي نفسه. هذا يعطينا الرسم التالي. ونلاحظ أن قياس هذه الزاوية مع قياس سالب اثنين ‏𝜋‏‎ على ثلاثة، يكونان معًا دورة كاملة. بعبارة أخرى، إن قياس أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي زائد اثنين ‏𝜋‏‎ على ثلاثة يجب أن يساوي اثنين ‏𝜋‏‎.

ثم يمكننا إيجاد قياس أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي بطرح اثنين ‏𝜋‏‎ على ثلاثة من طرفي المعادلة. فنجد أن قياس أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي يساوي اثنين ‏𝜋‏‎ ناقص اثنين ‏𝜋‏‎ على ثلاثة، ويمكننا إيجاد قيمة ذلك عن طريق ملاحظة أن اثنين ‏𝜋‏‎ يساوي ستة ‏𝜋‏‎ على ثلاثة. نطرح اثنين ‏𝜋‏‎ على ثلاثة من هذا المقدار لنحصل على: أربعة ‏𝜋‏‎ على ثلاثة، وهذه هي الإجابة النهائية. ومن ثم، استطعنا أن نوضح أن قيمة أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي للزاوية سالب اثنين ‏𝜋‏‎ على ثلاثة، تساوي أربعة ‏𝜋‏‎ على ثلاثة.

لنتناول الآن مثالًا نستخدم فيه أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي والزاوية المرجعية لإيجاد قيمة دالة مثلثية دون استخدام الآلة الحاسبة.

أوجد قيمة جا ١١‏𝜋‏‎ على ستة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة جا زاوية بالراديان. نلاحظ أن ١١‏𝜋‏‎ على ستة ليس زاوية حادة؛ لذا لا يمكننا إيجاد قيمته باستخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية. بدلًا من ذلك، علينا أن نتذكر أنه يمكننا إيجاد قيمة الدوال المثلثية، برسم الزاوية في الوضع القياسي ثم استخدام التقاطع مع دائرة الوحدة. للقيام بذلك، علينا إيجاد إحداثيات نقطة التقاطع بين الضلع النهائي للزاوية في الوضع القياسي ودائرة الوحدة. سنبدأ برسم الزاوية في الوضع القياسي.

تذكر أن هذه الزاوية تقاس بالتحرك عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من المحور ﺱ الموجب. ولتحديد الجانب الذي يقع عنده الضلع النهائي، سنضيف الزوايا القائمة إلى الشكل الموجود أمامنا الذي نلاحظ فيه أن الدورة الكاملة الواحدة تساوي اثنين ‏𝜋‏‎. إذا أوجدنا قيمة ١١ على ستة، فسنجد أنها تساوي ١٫٨٣ دوريًّا. فهي تقع بين ثلاثة على اثنين واثنين. بضرب هذه المتباينة في ‏𝜋‏‎، نجد أن الزاوية التي لدينا لا بد من أن تقع في الربع الرابع. هذا يعطينا الشكل التالي.

تذكر أن إحداثيات نقطة التقاطع بين الضلع النهائي ودائرة الوحدة ستساعدنا في إيجاد قيمة الدالة المثلثية عند هذه الزاوية، وفي هذه الحالة تكون إحداثيات نقطة التقاطع هي: جتا ١١‏𝜋‏‎ على ستة، وجا ١١‏𝜋‏‎ على ستة. هذا يعني أنه مطلوب منا تحديد الإحداثي ﺹ لنقطة التقاطع هذه. للقيام بذلك، سنرسم خطًّا عموديًّا من نقطة التقاطع إلى المحور ﺱ. يمكننا، بعد ذلك، استخدام طول هذا الخط لإيجاد قيمة جا ١١‏𝜋‏‎ على ستة.

ولمساعدتنا في تحديد هذه القيمة، دعونا نفصل المثلث القائم الزاوية هذا عن الشكل. نحن نريد تحديد ارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية. وللقيام بذلك، نلاحظ أنه يمكننا إيجاد وتر المثلث. حيث نرى أنه نصف قطر الدائرة. ولأنها دائرة الوحدة؛ فإن طول أي نصف قطر بها يساوي واحدًا. بعد ذلك، نعلم أن ارتفاع المثلث يساوي جا ١١‏𝜋‏‎ على ستة. لكن علينا أن ننتبه إلى أن قيمة الإحداثي ﺹ هذا سالبة. ولذا، بدلًا من ذلك، فسنكتبه على صورة القيمة المطلقة لـ جا ١١‏𝜋‏‎ على ستة ليصبح ذا قيمة موجبة.

وأخيرًا، يمكننا تحديد أحد قياسات زوايا المثلث القائم الزاوية. يمكننا أن نلاحظ أن هذه الزاوية عند إضافتها إلى الزاوية ١١‏𝜋‏‎ على ستة يكونان معًا دورة كاملة، وهو ما يعني أن قياس هذه الزاوية يساوي اثنين ‏𝜋‏‎ ناقص ١١‏𝜋‏‎ على ستة. وإذا حسبنا ذلك، فسنحصل على: ‏𝜋‏‎ على ستة. وجدير بالملاحظة أن هذه الزاوية لها اسم محدد. حيث تعرف بالزاوية المرجعية ١١‏𝜋‏‎ على ستة. إنها الزاوية الحادة التي يصنعها الضلع النهائي مع المحور ﺱ. لدينا الآن قياس زاوية وطول ضلع واحد في المثلث القائم الزاوية، ونريد إيجاد طول الضلع الآخر في المثلث القائم الزاوية. وهو ما يمكننا إيجاده باستخدام حساب المثلثات.

تذكر أن جيب الزاوية في المثلث القائم الزاوية هو النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الوتر في المثلث القائم الزاوية. وفي هذه الحالة، يخبرنا هذا أن جا ‏𝜋‏‎ على ستة يساوي القيمة المطلقة لـ جا ١١‏𝜋‏‎ على ستة الكل مقسوم على واحد. ويمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار. أولًا، القسمة على واحد لا تغير القيمة. ثم إن ‏𝜋‏‎ على ستة هي زاوية خاصة. ونعلم أن جا ‏𝜋‏‎ على ستة يساوي نصفًا. في الحقيقة، يمكننا إثبات ذلك باستخدام المثلثات المتساوية الأضلاع. وعليه، نكون قد أثبتنا أن ارتفاع المثلث القائم الزاوية يساوي نصفًا.

لكننا لم ننته بعد. تذكر أنه مطلوب منا إيجاد قيمة جا ١١‏𝜋‏‎ على ستة، وهي الإحداثي ﺹ لنقطة التقاطع بين الضلع النهائي ودائرة الوحدة. ولهذا السبب علينا تذكر إشارة القيمة المطلقة. يمكننا أن نلاحظ في الشكل أن إحداثيات تقاطع هذه النقطة هي إحداثي ﺹ السالب. هذا يعني أن علينا أخذ القيمة السالبة للإجابة، لنحصل على: جا ١١‏𝜋‏‎ على ستة يساوي سالب نصف، وهي الإجابة النهائية. وهكذا تمكنا من إثبات أن جا ١١‏𝜋‏‎ على ستة يساوي سالب نصف من خلال رسم الزاوية ١١‏𝜋‏‎ على ستة في الوضع القياسي، وإيجاد قياس الزاوية المرجعية، وهو ‏𝜋‏‎ على ستة، ثم استخدام حساب المثلثات.

قبل أن ننتهي من هذا الفيديو، ثمة أمر آخر تجدر بنا الإشارة إليه بشأن هذه الطريقة. يمكننا استخدام هذه الطريقة لحساب مقلوب الدوال المثلثية أيضًا؛ على سبيل المثال، إذا طلب منا إيجاد قيمة قتا ١١‏𝜋‏‎ على ستة. سنبدأ بتذكر أن قاطع التمام يساوي واحدًا مقسومًا على جيب هذه الزاوية. وعرفنا أيضًا كيف نوجد جيب الزاوية؛ نوجد قياس الزاوية المرجعية ثم نستخدم حساب المثلثات. لقد وجدنا بالفعل أن جا ١١‏𝜋‏‎ على ستة يساوي سالب نصف. يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيمة لإيجاد قيمة قتا ١١‏𝜋‏‎ على ستة. إنها تساوي واحدًا مقسومًا على سالب نصف، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح سالب اثنين.

دعونا الآن نراجع بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، إذا كانت 𝜃 زاوية في الوضع القياسي، فإن الزاوية التي تقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بين الضلع الابتدائي والضلع النهائي للزاوية 𝜃؛ وهي أقل من الدورة الكاملة، تعرف بأصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي لـ 𝜃. وهذا مفيد؛ لأن أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي لها الضلع النهائي نفسه، ومن ثم فإن إيجاد قيمة الدوال المثلثية لأصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي لن يغير قيمتها. وبعد ذلك، تسمى الزاوية الحادة بين الضلع النهائي لـ 𝜃 والمحور ﺱ بالزاوية المرجعية لها. تجدر الإشارة هنا إلى أننا نفترض أن الزاوية غير ربعية؛ لأنها بخلاف ذلك لن تحتوي على زاوية مرجعية، وسنستخدم الزاوية القائمة بدلًا من ذلك. وأخيرًا، عرفنا أنه يمكننا إيجاد قيم زوايا مكافئة للدوال المثلثية برسم الزاوية في وضع قياسي، ثم استخدام أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي والزاوية المرجعية.