فيديو: إيجاد نهاية دالة كسرية عند اللانهاية

أوجد ‪lim_(𝑥 → ∞) (−2𝑥³ + 7𝑥² + 8𝑥 + 2)/(4𝑥⁴ + 𝑥³ − 2𝑥² − 6𝑥 +7)‬‏.

٠٥:٠٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية سالب اثنين 𝑥 تكعيب زائد سبعة 𝑥 تربيع زائد ثمانية 𝑥 زائد اثنين، الكل مقسومًا على أربعة 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية أربعة زائد 𝑥 تكعيب ناقص اثنين 𝑥 تربيع ناقص ستة 𝑥 زائد سبعة، عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية.

الخطوة الأولى هي أن نقسم كلًا من البسط والمقام على أعلى قوة أسية نراها لـ 𝑥. وهي في هذه الحالة 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية أربعة. وبذلك، نتمكن من وضع كسور منفصلة في البسط والمقام. ويمكننا الآن استخدام قوانين الأسس لتبسيط الحدود. على سبيل المثال، سالب اثنين 𝑥 تكعيب على 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية أربعة يصبح سالب اثنين على 𝑥. والآن يمكننا استخدام خاصية خارج القسمة للنهايات، وهي أن نهاية خارج القسمة تساوي خارج قسمة النهايات طالما أن المقام ليس صفرًا.

والآن يمكننا حساب النهايات في البسط والمقام كل على حدة. بدءًا بالبسط، نستخدم القاعدة التي تقول إن نهاية مجموع عدد من الدوال يساوي مجموع نهايات هذه الدوال. ولا ينطبق هذا فقط على جمع دالتين. بل ينطبق أيضًا على جمع أي عدد من الدوال. والآن أصبح لدينا نهايات أكثر في البسط. لكن، أصبح من الأيسر إيجاد قيمة كل منها. ونستخدم أيضًا خاصية الضرب في عدد ثابت للنهايات التي تنص على أن نهاية ثابت مضروبًا في دالة يساوي الثابت مضروبًا في نهاية هذه الدالة. على سبيل المثال، يمكننا استخدام هذه الخاصية لإعادة كتابة النهاية الأولى في البسط، مع التعويض عن 𝐾 بسالب اثنين والتعويض بالدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 لتصبح واحدًا على 𝑥. يصبح ذلك إذن سالب اثنين مضروبًا في نهاية واحد على 𝑥، عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية. يخرج سالب اثنين إلى خارج النهاية.

نجري هذا التغيير ونفعل الشيء نفسه مع بقية الحدود في البسط. والآن أصبحت جميع النهايات في البسط في الصورة التالية: نهاية واحد على 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑛، حيث 𝑛 عدد صحيح، عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية. ويمكننا استخدام خاصية القوى للنهايات لكتابة جميع هذه النهايات بدلالة نهايات دالة المقلوب. وبما أن الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 هي دالة المقلوب واحد على 𝑥، وبما أن 𝑛 يساوي اثنين، فإن النهاية المشار إليها تصبح نهاية واحد على 𝑥 الكل تربيع، عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية.

ويمكننا فعل شيء مماثل للحدين التاليين. والآن أصبحت النهايات الأربع في البسط نهاية واحد على 𝑥 عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية. وهناك خاصية أخرى للنهايات تعطينا قيمة هذه النهاية. وهي أن نهاية دالة المقلوب واحد على 𝑥، عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية، تساوي صفرًا. فهذه النهاية تساوي صفرًا. ومن ثم، سالب اثنين في هذه النهاية يساوي صفرًا. يمكننا إذن التخلص من هذا الحد. والأمر مشابه في الحد التالي. النهاية تساوي صفرًا. وبالتالي، فإن تربيع النهاية يساوي صفرًا. وسبعة في مربع النهاية يساوي صفرًا. فنتخلص من هذا الحد أيضًا. والأمر مشابه تمامًا بالنسبة إلى الحدين التاليين. فكلاهما صفر. ومن ثم، فالبسط بأكمله يساوي صفرًا.

نلتفت الآن إلى المقام. ونطبق خصائص الجمع، والضرب في عدد ثابت، والقوى، كما فعلنا في البسط، لنحصل على هذا. وكما حدث في البسط، فإن جميع الحدود التي تتضمن نهاية دالة المقلوب واحد على 𝑥، عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية، تختفي. لكن بخلاف البسط، لا يزال لدينا حد واحد، وهو نهاية أربعة عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية. ونحتاج خاصية أخرى من خصائص النهايات، وهي أن نهاية دالة ثابتة عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية، تساوي عددًا ثابتًا. في الحقيقة هذا صحيح أيًا كان ما يقترب منه 𝑥، كالحال مع خاصية القوى. على أي حال، نرى أن نهاية أربعة، عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية، هي أربعة. ومن ثم، يصبح الكسر صفرًا على أربعة.

من الجيد أن المقام ليس صفرًا. وإلا كان سيصبح لدينا صيغة غير معينة. كما أن خاصية خارج القسمة التي استخدمناها منذ قليل تكون صحيحة فقط في حال كانت قيمة النهاية في المقام ليست صفرًا. وبما أن صفرًا على أربعة يساوي صفرًا، فإن قيمة النهاية التي كنا نبحث عنها، وهي نهاية سالب اثنين 𝑥 تكعيب زائد سبعة 𝑥 تربيع زائد ثمانية 𝑥 زائد اثنين، الكل مقسومًا على أربعة 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية أربعة زائد 𝑥 تكعيب ناقص اثنين 𝑥 تربيع ناقص ستة 𝑥 زائد سبعة، عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية، هي صفر.

كانت الخطوة الأهم في حل هذه المسألة هي قسمة كل من البسط والمقام على 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية أربعة، التي كانت أعلى قوة أسية نراها لـ 𝑥. وبعد ذلك، كان كل ما علينا فعله هو تطبيق كثير من خصائص النهايات: وهي خصائص خارج القسمة، والجمع، والضرب في عدد ثابت، وخاصية القوى. ثم استخدمنا نهايتين معروفتين: هما نهاية دالة المقلوب عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية، ونهاية دالة ثابتة. ويمكننا استخدام النهج نفسه لإثبات نتيجة أعم، وهي أن نهاية دالة كسرية درجة المقام فيها أعلى من درجة البسط، عند اقتراب 𝑥 من اللانهاية، تساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.