فيديو السؤال: استخدام معادلة الاستمرارية لتمثيل سريان مائع غير قابل للانضغاط الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يسري ماء سرعته ‪𝑣‬‏ واحد تساوي 1.25 متر لكل ثانية بانسيابية في أنبوب أسطواني نصف قطره ‪𝑟‬‏ واحد يساوي 0.325 متر كما هو موضح في الشكل. يسري الماء في الأنبوب لمدة 0.955 ثانية قبل سريانه بانسيابية في أنبوب أسطواني آخر نصف قطره ‪𝑟‬‏ اثنان يساوي 0.118 متر، وطوله ‪𝐿‬‏ اثنان يساوي 0.975 متر. ما طول الأنبوب الأول؟ ما الفترة الزمنية بين دخول الماء وخروجه من الأنبوب الثاني؟

لنبدأ بالجزء الأول من هذا السؤال، الذي يسأل «ما طول الأنبوب الأول؟» نحن نعلم من المعطيات أن الماء يسري عبر الأنبوب الأول بسرعة ‪𝑣‬‏ واحد. إذا أردنا ملاحظة الماء منذ لحظة دخوله الأنبوب الأول إلى لحظة خروجه منه، فسيكون قد مرت فترة زمنية محددة. سنسمي هذه الفترة الزمنية ‪Δ𝑇‬‏ واحد. هذا هو الزمن الذي يستغرقه الماء للسريان في الأنبوب الأول. نحن نعلم أن المسافة التي يقطعها شيء ما تساوي سرعته مضروبة في الزمن الذي يتحرك خلاله بهذه السرعة. إذن، المسافة التي يقطعها الماء، وهي ‪𝐿‬‏ واحد، تساوي سرعته، وهي ‪𝑣‬‏ واحد، مضروبة في الفترة الزمنية ‪Δ𝑇‬‏ واحد.

يخبرنا السؤال بأن ‪𝑣‬‏ واحدًا تساوي 1.25 متر لكل ثانية، ويسري الماء في الأنبوب لمدة 0.955 ثانية. إذن، ‪Δ𝑇‬‏ واحد تساوي 0.955 ثانية. وهاتان القيمتان معطاتان بوحدات النظام الدولي للوحدات؛ لذلك لن يتعين علينا تحويلهما قبل التعويض بهما في المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝐿‬‏ واحد. وبالتعويض بهما، نحصل على ‪𝐿‬‏ واحد يساوي 1.25 متر لكل ثانية مضروبًا في 0.955 ثانية. وبحساب قيمة ذلك، نحصل على ‪𝐿‬‏ واحد يساوي 1.19 متر لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، طول الأنبوب الأول يساوي 1.19 متر لأقرب منزلتين عشريتين.

ما الفترة الزمنية بين دخول الماء وخروجه من الأنبوب الثاني؟

مثلما فعلنا مع الأنبوب الأول، يمكننا ملاحظة الأنبوب الثاني لفترة زمنية، وهي من لحظة دخول الماء الأنبوب الثاني إلى لحظة خروجه منه. سنسمي هذه الفترة الزمنية ‪Δ𝑇‬‏ اثنين. ويمكن حسابها عن طريق طول الأنبوب الثاني، ‪𝐿‬‏ اثنين، وسرعة الماء الذي يسري عبره، ‪𝑣‬‏ اثنين. نحن نعلم أن الزمن الذي يستغرقه شيء ما ليقطع مسافة معينة يساوي هذه المسافة مقسومة على السرعة التي يتحرك بها. أو في هذه الحالة، الزمن الذي يستغرقه الماء للسريان عبر الأنبوب الثاني يساوي طول الأنبوب الثاني، ‪𝐿‬‏ اثنين، مقسومًا على سرعة الماء عبر الأنبوب الثاني، ‪𝑣‬‏ اثنين. لكن قيمة ‪𝑣‬‏ اثنين مجهولة؛ لذا عليك أولًا أن تحسب قيمة ‪𝑣‬‏ اثنين. سنحتفظ بمعادلة ‪Δ𝑇‬‏ اثنين هنا على اليمين.

يمكننا حساب سرعة الماء في الأنبوب الثاني باستخدام معادلة الاستمرارية في الموائع، التي تنص على أن كثافة المائع مضروبة في مساحة مقطع الأنبوب الذي يسري فيه مضروبة في سرعة المائع تساوي قيمة ثابتة. هذا يعني أن كثافة الماء مضروبة في مساحة مقطع الأنبوب الذي يسري فيه مضروبة في سرعة الماء في الأنبوب الأول تساوي كثافة الماء مضروبة في مساحة مقطع الأنبوب الثاني الذي يسري فيه مضروبة في سرعة الماء في الأنبوب الثاني. ولأن المائع في الأنبوب هو الماء، يمكننا القول إن كثافته ثابتة. وهذا لأنه يمكن افتراض أن الماء غير قابل للانضغاط. هذا يعني أن كثافة الماء في الأنبوب الأول تساوي كثافة الماء في الأنبوب الثاني، التي سنفترض أنها تساوي الكثافة الكلية التي سنسميها ‪𝜌‬‏.

يمكننا استخدام ذلك لتبسيط المعادلة. سنقسم الطرفين على ‪𝜌‬‏؛ حيث نلاحظ أن ‪𝜌‬‏ تحذف من الطرفين الأيسر والأيمن، وبذلك يتبقى لدينا مساحة مقطع الأنبوب الأول مضروبة في سرعة الماء في الأنبوب الأول تساوي مساحة مقطع الأنبوب الثاني مضروبة في سرعة الماء في الأنبوب الثاني. ويمكننا إعادة ترتيب ذلك للحصول على سرعة الماء في الأنبوب الثاني، أي ‪𝑣‬‏ اثنين، من خلال قسمة طرفي المعادلة على مساحة مقطع الأنبوب الثاني، ‪𝐴‬‏ اثنين، وبذلك تحذف ‪A‬‏ اثنان من الطرف الأيمن. وهذا يعطينا معادلة تعبر عن سرعة الماء في الأنبوب الثاني. يمكننا كتابة ذلك بمزيد من الترتيب. ‏‪𝑣‬‏ اثنان تساوي ‪𝐴‬‏ واحدًا مقسومة على ‪𝐴‬‏ اثنين مضروبًا في ‪𝑣‬‏ واحد.

نظرًا لأن الأنبوبين أسطوانيان، يمكننا كتابة مساحة مقطع الأنبوب الأول، أي ‪𝐴‬‏ واحد، تساوي ‪𝜋‬‏ مضروبًا في نصف قطر الأنبوب الأول تربيع، وهو ‪𝑟‬‏ واحد تربيع. وبالمثل، مساحة مقطع الأنبوب الثاني، أي ‪𝐴‬‏ اثنين، تساوي ‪𝜋‬‏ مضروبًا في نصف قطر الأنبوب الثاني تربيع، وهو ‪𝑟‬‏ اثنان تربيع. و‪𝐴‬‏ واحد مقسومة على ‪𝐴‬‏ اثنين يساوي ‪𝜋𝑟‬‏ واحدًا تربيع مقسومًا على ‪𝜋𝑟‬‏ اثنين تربيع. وبحذف ‪𝜋‬‏ من الطرف الأيمن، نجد أن ‪𝐴‬‏ واحدًا مقسومة على ‪𝐴‬‏ اثنين يساوي ‪𝑟‬‏ واحدًا تربيع مقسومًا على ‪𝑟‬‏ اثنين تربيع. ويمكننا التعويض بذلك في معادلة إيجاد قيمة ‪𝑣‬‏ اثنين. إذن، ‪𝑣‬‏ اثنان تساوي ‪𝑟‬‏ واحدًا تربيع مقسومًا على ‪𝑟‬‏ اثنين تربيع مضروبًا في ‪𝑣‬‏ واحد.

يخبرنا السؤال أن ‪𝑟‬‏ واحدًا يساوي 0.325 متر، و‪𝑟‬‏ اثنين يساوي 0.118 متر. ونحن نعلم بالفعل أن ‪𝑣‬‏ واحدًا تساوي 1.25 متر لكل ثانية. وهذه القيم كلها معطاة بوحدات النظام الدولي. لذا يمكننا الاستمرار والتعويض بهذه القيم في المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑣‬‏ اثنين؛ لنحصل على ‪𝑣‬‏ اثنين تساوي 0.325 متر مربع مقسومًا على 0.118 متر مربع مضروبًا في 1.25 متر لكل ثانية. وبحساب قيمة ذلك، نحصل على ‪𝑣‬‏ اثنين تساوي 9.48 أمتار لكل ثانية لأقرب منزلتين عشريتين.

يمكننا الآن استخدام ‪𝐿‬‏ اثنين يساوي 0.975 متر المعطاة في السؤال، و‪𝑣‬‏ اثنين تساوي #9.48 أمتار لكل ثانية التي حسبناها لإيجاد قيمة ‪Δ𝑇‬‏ اثنين. مرة أخرى، نجد أن جميع القيم معطاة بوحدات النظام الدولي؛ لذا لا داعي للقلق بشأن تحويل أي منها قبل التعويض بها لإيجاد قيمة ‪Δ𝑇‬‏ اثنين. ‏‪Δ𝑇‬‏ اثنان تساوي 0.975 متر مقسومًا على 9.48 أمتار لكل ثانية. بحساب قيمة ذلك، نحصل على ‪Δ𝑇‬‏ اثنين تساوي 0.103 ثانية لأقرب ثلاث منازل عشرية. إذن، الفترة الزمنية بين دخول الماء وخروجه من الأنبوب الثاني تساوي 0.103 ثانية لأقرب ثلاث منازل عشرية.