نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نستخدم التكامل لإيجاد حلول خاصة لمسائل القيمة الابتدائية التي تتضمن معادلات تفاضلية على الصورة ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي الدالة ﺩ(ﺱ). المعادلة التفاضلية هي معادلة تحتوي على مشتقات أو تفاضلات. هذه المشتقات تكون على الصورة ﺹ شرطة يساوي ﺩ(ﺱ) أو ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي دالة ما في المتغير ﺱ. سنبدأ بالنظر إلى كيف يمكن أن تساعدنا التكاملات لإيجاد حل عام لهذه المعادلات قبل تناول مقدمة لما تفعله قيمة ابتدائية بهذه المعادلات.
فلنبدأ بمراجعة كيف يمكن أن يساعدنا التكامل في المعادلات التفاضلية. إليك معادلة تفاضلية بسيطة. ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة. بعبارة أخرى، هناك دالة ما، ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، عند اشتقاقها بالنسبة إلى ﺱ تكون مشتقتها ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة. لكننا نتذكر أن التكامل والتفاضل عمليتان عكسيتان إحداهما للأخرى. بعبارة أخرى، إذا كاملنا هذه الدالة، أي المشتقة بالنسبة إلى ﺱ، فسينتهي بنا الأمر بالحل العام للمعادلة التفاضلية. نحصل على الدالة الأصلية ﺹ التي تتضمن ثابت التكامل ﺙ.
إذن في هذه الحالة، ﺹ سيساوي التكامل غير المحدد لثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة بالنسبة إلى ﺱ. نتذكر بعد ذلك أنه لمكاملة حد من حدود كثيرة الحدود، نضيف واحدًا إلى الأس ثم نقسم على هذا العدد الجديد. وذلك بفرض أن الأس لا يساوي سالب واحد. إذن، تكامل ثلاثة ﺱ تربيع يساوي ثلاثة ﺱ تكعيب مقسومًا على ثلاثة. وتكامل أربعة يساوي أربعة في ﺱ أس واحد مقسومًا على واحد. وبالطبع، بما أننا نتعامل مع تكامل غير محدد، يكون لدينا ثابت التكامل ﺙ. وبتبسيط ذلك، نجد أن ﺹ يساوي ﺱ تكعيب زائد أربعة ﺱ زائد ﺙ.
هذا هو الحل العام للمعادلة التفاضلية. ولكن ماذا عن الحل الخاص لها؟ بعبارة أخرى، كيف نحسب قيمة ﺙ؟ حسنًا، نحتاج إلى قيمة ابتدائية. لنلق نظرة على مسألة بسيطة للقيمة الابتدائية.
أوجد الحل الخاص للمعادلة التفاضلية الآتية التي فيها ﺹ (صفر) تساوي ١٢. ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثمانية ﺱ زائد ثلاثة.
تذكر أنه يمكننا إيجاد حل عام للمعادلة التفاضلية ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثمانية ﺱ زائد ثلاثة بالقيام أولًا بالعملية العكسية للاشتقاق. سنكامل الدالة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. إذن، ﺹ يساوي التكامل غير المحدد لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. أو ﺹ يساوي تكامل ثمانية ﺱ زائد ثلاثة بالنسبة إلى ﺱ. وبعد ذلك، نتذكر أن تكامل حد من حدود كثيرة حدود على الصورة ﺃﺱ أس ﻥ، حيث ﺃ وﻥ ثابتان حقيقيان وﻥ لا يساوي سالب واحد، يساوي ﺃﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ.
ببساطة، نضيف واحدًا إلى الأس، ثم نقسم على ذلك العدد الجديد. هذا يعني أن تكامل ثمانية ﺱ يساوي ثمانية ﺱ تربيع على اثنين. بعد ذلك، تكامل ثلاثة يساوي ثلاثة ﺱ. وبالطبع؛ بما أن هذا تكامل غير محدد، نضع ثابت التكامل ﺙ. إذن، لقد حصلنا على الحل العام للمعادلة التفاضلية لدينا، وهو ﺹ يساوي أربعة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد ﺙ.
فلنعد الآن إلى السؤال. في المعطيات، ﺹ (صفر) يساوي ١٢. بعبارة أخرى، عند نقطة ما في المعادلة ﺹ يساوي ﺩ(ﺱ)، عندما ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي ١٢. فلنعوض بهاتين القيمتين في معادلتنا ونر ما سيحدث. نحصل على ١٢ يساوي أربعة في صفر تربيع زائد ثلاثة في صفر زائد ﺙ. حسنًا، نبسط هذه المعادلة كلها إلى ١٢ يساوي ﺙ. وهذا رائع لأننا الآن نعرف قيمة الثابت. وبذلك، يمكننا القول إن ﺹ يساوي أربعة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد ١٢.
وهذا يعرف بالحل الخاص. وﺹ (صفر) تساوي ١٢ هي قيمة ابتدائية. تسمى تلك المسائل في بعض الأحيان بمسائل القيمة الابتدائية لأنها تسمح لنا بإيجاد حل خاص من خلال إعطائنا قيمة مخرجة عند قيمة محددة لـ ﺱ.
لنلق الآن نظرة على مثال آخر.
أوجد حل المعادلة التفاضلية الآتية حيث ﺹ (صفر) يساوي واحدًا. ﺩﺹ على ﺩﺱ ناقص ﺱ ناقص ﺱ تربيع يساوي صفرًا.
في هذا السؤال، لدينا معادلة تفاضلية وقيمة ابتدائية. وهي أنه عندما ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي واحدًا. الآن، قبل النظر في حل هذه المعادلة التفاضلية، سنحتاج إلى إجراء خطوة وسيطة. سنعيد الترتيب لكي نجعل ﺩﺹ على ﺩﺱ في طرف وحده. ليس من الصعب تحقيق ذلك. نضيف ﺱ وﺱ تربيع إلى كلا طرفي المعادلة التفاضلية لنحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد ﺱ. والآن، تذكر أنه يمكننا إيجاد حل عام للمعادلة التفاضلية ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد ﺱ بإجراء العملية العكسية للاشتقاق. سنكامل بالنسبة إلى ﺱ. إذن، ﺹ ستساوي تكامل ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ أو تكامل ﺱ تربيع زائد ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
تذكر أنه لإيجاد تكامل حد من حدود كثيرة حدود، نضيف واحدًا إلى الأس، ثم نقسم على تلك القيمة الجديدة. إذن، تكامل ﺱ تربيع يساوي ﺱ تكعيب على ثلاثة. نرى بعد ذلك أن تكامل ﺱ يساوي ﺱ تربيع على اثنين. وبما أننا نتعامل مع تكاملات غير محددة، نعرف أننا نحتاج إلى ثابت التكامل ﺙ. إذن، ﺹ يساوي ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ﺱ تربيع على اثنين زائد ﺙ. وبذلك حصلنا على الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية. لكننا لم نستخدم بعد المعلومة التي تخبرنا بأن ﺹ (صفر) يساوي واحدًا. سنعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي واحدًا في هذا الحل العام. وبذلك، نجد أن واحدًا يساوي صفرًا تكعيب على ثلاثة زائد صفر تربيع على اثنين زائد ﺙ. ونبسط هذه المعادلة كلها إلى واحد يساوي ﺙ. إذن وجدنا أن ﺙ يساوي واحدًا. والحل الخاص لمعادلتنا التفاضلية هو ﺹ يساوي ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ﺱ تربيع على اثنين زائد واحد.
الآن، من المهم أن ندرك أنه يمكننا أيضًا تطبيق هذه الخطوات في أمثلة أكثر تعقيدًا.
أوجد الدالة ﺩ، علمًا بأن ﺩ شرطة (ﺱ) تساوي اثنين قا ﺱ في ظا ﺱ زائد أربعة قا ﺱ، عندما يكون ﺱ أكبر من سالب 𝜋 على اثنين وأقل من 𝜋 على اثنين وﺩ (سالب 𝜋) على ثلاثة تساوي سالب اثنين.
في هذا السؤال، لدينا معادلة تفاضلية. تذكر أن هذه مجرد معادلة تتضمن مشتقات. فلدينا هنا ﺩ شرطة (ﺱ). ولدينا أيضًا قيمة ابتدائية. عندما ﺱ يساوي سالب 𝜋 على ثلاثة، فإن ﺩ(ﺱ) تساوي سالب اثنين. نحاول الآن إيجاد الدالة ﺩ. نتذكر أن التكامل والاشتقاق عمليتان عكسيتان. إذن، الدالة الأصلية ﺩ(ﺱ) ستساوي تكامل ﺩ شرطة (ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. وهذا يساوي تكامل اثنين قا ﺱ في ظا ﺱ زائد أربعة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
والآن، هذا يحتاج إلى تبسيط. أولًا، دعونا نفك الأقواس التي بداخل التكامل بالتوزيع. وبذلك، نجد أن الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي تكامل اثنين قا ﺱ، ظا ﺱ زائد ثمانية قا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا تبسيط ذلك قليلًا بتذكر أن تكامل مجموع دالتين يساوي مجموع تكامل كل دالة على حدة. إذن، ﺩ(ﺱ) تساوي تكامل اثنين قا ﺱ، ظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل ثمانية قا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
قد يبدو هذا معقدًا للغاية. لكن، لنتذكر بعض المشتقات. إننا نعرف أن مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي قا ﺱ ظا ﺱ. كما نعرف أن مشتقة ظا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي قا تربيع ﺱ. هذا يعني أن المشتقة العكسية لـ قا ﺱ ظا ﺱ يجب أن تكون قا ﺱ. والمشتقة العكسية لـ قا تربيع ﺱ يجب أن تكون ظا ﺱ. وبذلك، فإن تكامل اثنين قا ﺱ، ظا ﺱ يجب أن يكون اثنين قا ﺱ. وبالطبع، فهذا تكامل غير محدد. لذا سنضيف ثابتًا للتكامل، ﺙ واحد. بعد ذلك، تكامل ثمانية قا تربيع ﺱ يجب أن يكون ثمانية ظا ﺱ. وسنضيف ثابتًا آخر للتكامل، ﺙ اثنين. وبجمع ثابتي التكامل هذين، نجد أن ﺩ(ﺱ) تساوي اثنين قا ﺱ زائد ثمانية ظا ﺱ زائد ﺙ.
هذا هو الحل العام للمعادلة التفاضلية لدينا. ولكننا لم نستخدم بعد الحقيقة التي تخبرنا أنه عندما ﺱ يساوي سالب 𝜋 على ثلاثة، فإن قيمة الدالة تساوي سالب اثنين. إذن، فلنعوض بهاتين القيمتين. وبذلك، نحصل على سالب اثنين يساوي اثنين قا سالب 𝜋 على ثلاثة زائد ثمانية ظا سالب 𝜋 على ثلاثة زائد ﺙ. فلنتذكر حقيقة أن قا سالب 𝜋 على ثلاثة يساوي واحدًا على جتا سالب 𝜋 على ثلاثة. وبالتالي، اثنان قا سالب 𝜋 على ثلاثة يجب أن يساوي اثنين على جتا سالب 𝜋 على ثلاثة، وهو ما يعطينا أربعة. بعد ذلك، ثمانية ظا سالب 𝜋 على ثلاثة يساوي سالب ثمانية جذر ثلاثة. إذن، سالب اثنين يساوي أربعة ناقص ثمانية جذر ثلاثة زائد ﺙ.
فلنطرح أربعة من كلا طرفي هذه المعادلة ونضف ثمانية جذر ثلاثة لكلا الطرفين. نجد أن ﺙ يساوي ثمانية جذر ثلاثة ناقص ستة. وبذلك نكون قد حصلنا على الحل الخاص لمعادلتنا التفاضلية، وهو ﺩ(ﺱ) تساوي اثنين قا ﺱ زائد ثمانية ظا ﺱ زائد ثمانية جذر ثلاثة ناقص ستة.
والآن، القوة الحقيقة لهذه العملية تتضح في الأمثلة السياقية. فلنلق نظرة على أحدها.
العجلة، ﺟ متر لكل ثانية تربيع، لجسيم عند زمن ﻥ ثانية، تعطى بالمعادلة ﺟ يساوي سالب ثلاثة جا أربعة ﻥ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. السرعة الابتدائية للجسيم تساوي ثلاثة أمتار لكل ثانية والإزاحة الابتدائية للجسيم تساوي سالب مترين. أوجد معادلة الإزاحة، ﻑ، للجسيم عند الزمن ﻥ ثانية.
فلنبدأ بتذكر العلاقة بين العجلة والسرعة والإزاحة. فلنقل إن لدينا دالة للإزاحة، ﻑ، بدلالة ﻥ. إن سرعة الجسيم تساوي معدل تغير إزاحته بالنسبة إلى الزمن. وبالطبع، عند التفكير في معدل التغير، فإننا في الحقيقة نفكر في المشتقات. إذن، يمكننا القول إن ﻉ يساوي ﺩﻑ على ﺩﻥ. وبالمثل، فإن العجلة تعرف بأنها معدل تغير السرعة بالنسبة إلى الزمن. إذن، العجلة هي ﺩﻉ على ﺩﻥ. وبما أن ﻉ نفسها هي المشتقة الأولى لـ ﻑ بالنسبة إلى الزمن، يمكننا القول إن العجلة يمكن تعريفها أيضًا على أنها المشتقة الثانية للإزاحة بالنسبة إلى الزمن.
الآن في هذا السؤال، لدينا دالة للعجلة بدلالة للزمن. لنتمكن من إيجاد دالة الإزاحة، سنحتاج إلى القيام بالعملية العكسية للاشتقاق. سنكامل دالة العجلة بالنسبة إلى الزمن. وهذا سيعطينا دالة السرعة. بعد ذلك، سنكامل مرة أخرى لإيجاد دالة الإزاحة. إذن، فلنبدأ بمكاملة دالة العجلة. إننا نعرف أن ﻉ يجب أن تساوي تكامل سالب ثلاثة جا أربعة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. حسنًا، تذكر أنه يمكننا إخراج أي عوامل ثابتة خارج التكامل والتركيز على مكاملة الدالة بالنسبة إلى ﻥ. إذن، يمكننا القول إن تكامل سالب ثلاثة جا أربعة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ يساوي سالب ثلاثة في تكامل جا أربعة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ.
بعد ذلك، نتذكر النتيجة القياسية لتكامل جا ﺟﻥ بالنسبة إلى ﻥ. وهي سالب واحد على ﺟ جتا ﺟﻥ. إذن، هذا يعني أن تكامل جا أربعة ﻥ يجب أن يكون سالب ربع جتا أربعة ﻥ. وبالطبع، نحتاج إلى إضافة ثابت التكامل هنا. لقد سميته ﺙ واحد. وبفك الأقواس بالتوزيع، نلاحظ بعد ذلك أن ﻉ تساوي ثلاثة أرباع جتا أربعة ﻥ زائد ﺙ اثنين. والسبب وراء أن ثابت التكامل أصبح ﺙ اثنين هو إننا غيرنا قيمته. فقد ضربناه في سالب ثلاثة.
نعلم أن السرعة الابتدائية للجسيم تساوي ثلاثة أمتار لكل ثانية. بعبارة أخرى، عندما ﻥ يساوي صفرًا، ﻉ يجب أن تساوي ثلاثة. فلنعوض بهاتين القيمتين في دالة السرعة. هذا يعطينا ثلاثة يساوي ثلاثة أرباع جتا صفر زائد ﺙ اثنين. وبما أن جتا صفر يساوي واحدًا، نلاحظ أن ثلاثة يساوي ثلاثة أرباع زائد ﺙ اثنين. لإيجاد قيمة ﺙ اثنين، سنطرح ثلاثة أرباع من كلا طرفي المعادلة. ونجد أن ﺙ اثنين يساوي تسعة أرباع. وبذلك، نجد أن السرعة تساوي ثلاثة أرباع جتا أربعة ﻥ زائد تسعة أرباع.
الخطوة التالية هي مكاملة دالة السرعة لإيجاد دالة عامة للإزاحة. إنها التكامل غير المحدد لثلاثة أرباع جتا أربعة ﻥ زائد تسعة أرباع بالنسبة إلى ﻥ. هذه المرة، نتذكر أن تكامل جتا ﺟﻥ يساوي واحدًا على ﺟ جا ﺟﻥ. إذن، تكامل ثلاثة أرباع جتا أربعة ﻥ يجب أن يكون ثلاثة أرباع في ربع جا أربعة ﻥ. بعد ذلك، تكامل تسعة أرباع يساوي تسعة أرباع ﻥ. وبذلك أصبح لدينا دالة عامة للإزاحة. وهي تساوي ثلاثة أرباع في ربع جا أربعة ﻥ زائد تسعة أرباع ﻥ زائد، بالطبع، ثابت التكامل ﺙ. نبسط ذلك إلى ثلاثة على ١٦ في جا أربعة ﻥ زائد تسعة أرباع ﻥ زائد ﺙ.
هناك معلومة واحدة لم نستخدمها بعد. الإزاحة الابتدائية للجسم تساوي سالب اثنين متر. إذن، عندما ﻥ يساوي صفرًا، معلوم أن السرعة تساوي ثلاثة أمتار لكل ثانية، ومعلوم أيضًا أن ﻑ تساوي سالب اثنين. فلنعوض بهاتين القيمتين في المعادلة. يصبح لدينا سالب اثنين يساوي ثلاثة على ١٦ في جا صفر زائد تسعة أرباع في صفر زائد ﺙ. وجا صفر يساوي صفرًا، وتسعة أرباع في صفر يساوي صفرًا. إذن، نجد أن سالب اثنين يساوي ﺙ. وبذلك، تتمثل الخطوة الأخيرة في التعويض عن ﺙ بسالب اثنين في معادلة الإزاحة. ونجد أن معادلة الإزاحة، ﻑ، للجسيم عند زمن ﻥ ثانية، هي ثلاثة على ١٦ في جا أربعة ﻥ زائد تسعة أرباع ﻥ ناقص اثنين.
في هذا الفيديو، رأينا أنه يمكننا استخدام التكامل لإيجاد حلول عامة للمعادلات التفاضلية. ورأينا أيضًا أنه يمكننا استخدام القيم الابتدائية لإيجاد قيمة الثابت. وهذا يسمى الحل الخاص للمعادلة التفاضلية.
