فيديو السؤال: حساب تكامل محدد باستخدام خاصية عكس حدي التكامل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان التكامل من سالب سبعة إلى ثمانية لـ رﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ١٠، فأوجد قيمة التكامل من ثمانية إلى سالب سبعة لسبعة رﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

هيا نقارن بين هذين التكاملين لنحدد الفرق بينهما. بداية، نلاحظ أن ترتيب الحدين قد تغير. في التكامل الأول، الحد السفلي يساوي سالب سبعة. والحد العلوي يساوي ثمانية. ولكن في التكامل الثاني، الحد السفلي يساوي ثمانية. والحد العلوي يساوي سالب سبعة. نلاحظ أيضًا أنه في التكامل الثاني، الدالة رﺱ مضروبة في سبعة. إذن، يوجد تغيران علينا أخذ تأثيرهما في الاعتبار.

لنتناول التكامل الأول، أي التكامل من سالب سبعة إلى ثمانية لـ رﺱ بالنسبة إلى ﺱ. عندما نكامل، نحصل على الدالة ﻕ ﺱ، والتي نحسب قيمتها عند ثمانية وسالب سبعة. نطرح ناتج هذا التكامل عند الحد السفلي سالب سبعة من ناتج هذا التكامل عند الحد العلوي ثمانية. إذن لدينا ﻕ لثمانية ناقص ﻕ لسالب سبعة. تذكر أن السؤال أخبرنا أن قيمة هذا التكامل تساوي ١٠. إذن يكون لدينا ١٠ يساوي ﻕ لثمانية ناقص ﻕ لسالب سبعة.

لنتناول الآن التكامل الثاني. إحدى خواص التكاملات المحددة هي أنها إذا كانت مضروبة في ثابت، وهو سبعة في هذه الحالة، يمكن إذن كتابة هذا الثابت خارج التكامل. إذن، يمكننا إخراج هذه القيمة سبعة خارج التكامل لتكون مضروبة في التكامل كله.

يصبح لدينا إذن سبعة مضروبًا في التكامل من ثمانية إلى سالب سبعة لـ رﺱ بالنسبة إلى ﺱ. عندما نكامل، سنحصل على نفس تلك الدالة ﻕ ﺱ. لكن هذه المرة، الحد السفلي يساوي ثمانية، والحد العلوي يساوي سالب سبعة. إذن، سيكون لدينا سبعة مضروبًا في ﻕ سالب سبعة ناقص ﻕ ثمانية.

والآن، يمكننا إيجاد قيمة ما بداخل هذين القوسين لأننا نعلم أن ﻕ ثمانية ناقص ﻕ سالب سبعة يساوي ١٠. بضرب كلا طرفي هذه المعادلة في سالب واحد، نحصل على سالب ١٠ يساوي سالب ﻕ ثمانية زائد ﻕ سالب سبعة. يمكننا إعادة ترتيب الحدين على اليسار إذا أردنا الحصول على ﻕ سالب سبعة ناقص ﻕ ثمانية.

وبذلك، نعرف أن القيمة داخل القوسين تساوي سالب ١٠. إذن، لدينا سبعة مضروبًا في سالب ١٠، وهو ما يساوي سالب ٧٠. استخدمنا هنا الخاصية العامة للتكامل المحدد، وهي أنه إذا عكسنا ترتيب الحدين، بحيث يصبح الحد السفلي هو الحد العلوي، والعكس، فإن القيمة التي سنحصل عليها هي سالب القيمة التي نحصل عليها من التكامل الأصلي.

إذن الإجابة عن قيمة التكامل من ثمانية إلى سالب سبعة لسبعة رﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي سالب ٧٠.