فيديو: المتجهات في الفراغ

يوضح الفيديو كيفية تمثيل المتجهات في الفراغ، وكيفية إيجاد طولها، وكيفية تمثيلها بالصورة الإحداثية المركبة، وكيفية إيجاد متجه الوحدة لمتجه في الفراغ.

٠٩:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على المتجهات في الفراغ. هنعرف إزّاي نكتب المتجه في صورة إحداثية. وإزّاي هنستخدم متجهات الوحدة، للتعبير عن متجه في الفراغ. وإزّاي هنوجد طول المتجه في الفراغ، ومتجه الوحدة الخاص بيه.

المتجه له نقطة بداية، ونقطة نهاية. لو كانت نقطة بداية المتجه هي نقطة الأصل، فده بنسميه متجه في وضع قياسي. في الفراغ، إذا كان المتجه أ في وضع قياسي، وكانت أ واحد، وَ أ اتنين، وَ أ تلاتة هي نقطة نهايته. فإن إحنا بنعبّر عن صورته بالصورة الإحداثية؛ بِـ أ واحد، وَ أ اتنين، وَ أ تلاتة. كما نعبّر عن المتجه الصفري بالصورة الإحداثية، اللي هو المتجه الصفري صفر، يساوي صفر وصفر وصفر. وده اللي بيمثّل لنا قيمة نقطة الأصل.

ومتجهات الوحدة القياسية بنعبّر عنها بالصورة الإحداثية: الـ س بتساوي واحد وصفر وصفر. يعني الصفر هنا، دي قيمتها واحد وصفر وصفر. الـ ص، صفر وواحد وصفر، اللي هو ده. والـ ع، صفر وصفر وواحد. دي متجهات الوحدة القياسية، اللي بيبقى طولها واحد. وبتعبِّر على اتجاهات القيمة الموجبة لمحور السينات، والقيمة الموجبة لمحور الصادات، والقيمة الموجبة لمحور الـ ع.

وبالتالي بيمكن التعبير عن الصورة الإحداثية للمتجه في الفراغ، على صورة تركيب خطّي لمتجهات الوحدة. اللي هم س وَ ص وَ ع، بالشكل اللي قدامنا ده. أ هتساوي المركبة أ واحد في اتجاه الـ س، زائد الـ أ اتنين في اتجاه الـ ص، زائد الـ أ تلاتة في اتجاه الـ ع. نقلب الصفحة، ونشوف إزّاي هنرسم متجه في الفراغ.

في المثال: حدِّد ومثِّل المتجه أ، اللي هو بيساوي تلاتة وأربعة وسالب اتنين. دي الصورة الإحداثية له. أول حاجة هنرسم النقطة، اللي هي تلاتة وأربعة وسالب اتنين، اللي هي بتمثّل نقطة نهاية المتجه.

عشان نرسم التلاتة والأربعة والسالب اتنين، هنرسم الأول النقطة تلاتة وأربعة، في المستوى س وَ ص. وده بيبقى عن طريق إن أنا أشوف قيمة الـ س كام، هتبقى تلاتة. يبقى أنا هعدّ تلات وحدات في اتجاه الموجب لمحور الـ س، لأن القيمة موجبة. وبعد كده هنعدّ أربع وحدات في اتجاه الموجب لمحور الصادات. يبقى دي النقطة تلاتة وأربعة.

وبعد كده بنشوف قيمة الـ ع سالبة ولا موجبة. إذا كانت موجبة، فبنطلع لأعلى. إذا كانت سالبة، بننزل لأسفل. بعدد الوحدات موازيين لمحور الـ ع. يعني السالب اتنين، هننزل وحدتين موازيين لمحور الـ ع. ويبقى دي النقطة تلاتة وأربعة وسالب اتنين. ودي نقطة نهاية المتجه.

وبما إن المتجه في الوضع القياسي، فبيبقى بدايته هي نقطة الأصل، اللي هي الـ و. وهنوصّل ما بينها وما بين النقطة اللي إحنا رسمناها، اللي هي تلاتة وأربعة وسالب اتنين، في اتجاهها. يبقى دي نقطة البداية، ودي نقطة النهاية. ويبقى هو ده المتجه أ. نقلب الصفحة، ونشوف إزّاي هنحدّد المتجه في الفراغ. إزّاي هنوجد طوله. وإزّاي هنوجد إحداثياته، ومتجه الوحدة الخاص بيه.

في الأول هنتكلّم على المتجهات في المستوى الإحداثي ثُنائي الأبعاد. لمّا بنوجد المتجه بالصورة الإحداثية المركبة، للقطعة المستقيمة الموجهه من أ، اللي هي س واحد وَ ص واحد، إلى ب: س اتنين وَ ص اتنين. فإحنا بنطرح إحداثيات نقطة البداية، من النهاية.

يعني المتجه بصورته الإحداثية، اللي هو أ ب، بيساوي س اتنين ناقص س واحد، وَ ص اتنين ناقص ص واحد. لكن في النظام الإحداثي ثُلاثي الأبعاد، بيكون النقطة عبارة عن تلات قيم. اللي هم: س واحد، وَ ص واحد، وَ ع واحد. وَ ب بتبقى: س اتنين، وَ ص اتنين، وَ ع اتنين. بنفس الطريقة اللي استخدمناها في المستوى الإحداثي ثُنائي الأبعاد، هنجيب المتجه أ ب في المستوى الإحداثي ثُلاثي الأبعاد.

وهتبقى المتجه أ ب هيساوي س اتنين ناقص س واحد، ص اتنين ناقص ص واحد، ع اتنين ناقص ع واحد. وده هيبقى شكل تمثيلهم في الفراغ. نقطة أ ونقطة ب، بنوصّل ما بينهم. يبقى المتجه أ ب هيبقى بالشكل ده. وبنفس الطريقة هيبقى طول المتجه أ ب، هيساوي الجذر التربيعي لِـ س اتنين ناقص س واحد الكل تربيع. زائد ص اتنين ناقص ص واحد الكل تربيع. زائد ع اتنين ناقص ع واحد الكل تربيع. وده بيمثّل معيار المتجه أ ب.

وإذا عبّرنا عَ المتجه أ ب، بالصورة: أ واحد، وَ أ اتنين، وَ أ تلاتة. فالمعيار هيبقى بالشكل ده: أ ب هيساوي الجذر التربيعي لِـ أ واحد تربيع، زائد أ اتنين تربيع، زائد أ تلاتة تربيع. متجه الوحدة للمتجه أ ب، في النظام الإحداثي ثُلاثي الأبعاد، اللي هو في الفراغ. هيبقى بالشكل: ي في اتجاه أ ب، هيساوي المتجه أ ب على معيار المتجه أ ب. نقلب الصفحة، وناخد مثال.

اوجد الصورة الإحداثية المركبة، ومعيار المتجه أ ب، اللي هو نقطة بدايته أ: سالب أربعة، وسالب اتنين، وواحد. ونقطة نهايته ب: تلاتة، وستة، وسالب ستة. ثم اوجد متجه الوحدة في اتجاه أ ب.

دي الصورة الإحداثية، اللي هي عبارة عن مركبات المتجه أ ب. اللي هي س اتنين ناقص س واحد، وَ ص اتنين ناقص ص واحد، وَ ع اتنين ناقص ع واحد. يبقى هنعوّض عن القيم س اتنين، اللي هي في نقطة الـ ب. اللي هي تلاتة س واحد، اللي هي سالب أربعة؛ دي أول مركبة. تاني مركبة هتبقى ستة ناقص الناقص اتنين؛ دي تاني مركبة. تالت مركبة هتبقى سالب ستة ناقص الواحد، ودي تالت مركبة للمتجه أ ب. اللي هي هتساوي سبعة، وتمنية، وسالب سبعة.

يبقى هي دي الصورة الإحداثية للمتجه أ ب. تاني حاجة هنوجد المعيار. معيار المتجه أ ب هيساوي الجذر التربيعي لِـ س اتنين ناقص س واحد الكل تربيع؛ يعني تلاتة ناقص ناقص الأربعة الكل تربيع. زائد ص اتنين اللي هي ستة، ناقص ناقص اتنين الكل تربيع. زائد ع اتنين سالب ستة، ناقص ع واحد اللي هي واحد الكل تربيع. والكلام ده كله هنجيب له الجذر التربيعي.

وكان ممكن مباشرةً ناخد القيمة اللي إحنا طلّعناها دي، وجِبنا لها الجذر التربيعي. يعني اعتبرنا إن دي أ واحد، أ اتنين، أ تلاتة. واستخدمنا الصيغة الجذر التربيعي لِـ أ واحد تربيع، زائد أ اتنين تربيع، زائد أ تلاتة تربيع. اللي هتساوي … اللي هي هتساوي الجذر التربيعي لسبعة تربيع زائد تمنية تربيع زائد سالب سبعة تربيع. هتساوي تسعة جذر اتنين.

يبقى دي قيمة معيار المتجه أ ب. بعد كده هنوجد متجه الوحدة في اتجاه أ ب. اللي هو المتجه أ ب على قيمة المعيار. اللي هي هتساوي سبعة، وتمنية، وسالب سبعة؛ الكل ده على تسعة جذر اتنين. هنقسم كل مركبة على تسعة جذر اتنين. بعد التبسيط، وبعد ضرب جذر اتنين في البسط والمقام … هتبقى سبعة جذر اتنين على تمنتاشر، أربعة جذر اتنين على تسعة، وسالب سبعة جذر اتنين على تمنتاشر. وهو ده متجه الوحدة في اتجاه أ ب.

يبقى عرفنا في الفيديو ده إزّاي هنمثّل المتجهات في الفراغ. وإزّاي هنوجد طولها. وإزّاي هنمثّلها بالصورة الإحداثية. وإزّاي هنوجد متجه الوحدة لمتجه في الفراغ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.