فيديو السؤال: مقارنة بين السرعات من خلال تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

هل الفرق بين السرعات المناظرة للخطوط الموضحة على التمثيل البياني الآتي للمسافة مقابل الزمن ثابت لأي خطين متجاورين؟

في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن. وهو تمثيل بياني يوضح المسافة على المحور الرأسي أو المحور ‪𝑦‬‏ مقابل الزمن على المحور الأفقي أو المحور ‪𝑥‬‏. مطلوب منا المقارنة بين السرعات التي تعبر عنها هذه الخطوط الأربعة المختلفة الموضحة على التمثيل البياني. حسنًا، دعونا نتذكر أن سرعة أي جسم تعرف بأنها معدل التغير في المسافة التي يقطعها هذا الجسم بالنسبة إلى الزمن. وهذا التعريف يعني أنه إذا كان لدينا جسم يتحرك بسرعة ثابتة ويقطع مسافة ‪𝛥𝑑‬‏ في زمن مقداره ‪𝛥𝑡‬‏، فإن سرعة هذا الجسم، التي سنشير إليها بـ ‪𝑣‬‏، تساوي ‪𝛥𝑑‬‏ مقسومًا على ‪𝛥𝑡‬‏.

يوضح التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن مقدار المسافة التي يقطعها جسم عند كل لحظة زمنية. ومعادلة سرعة الجسم هذه تساوي التغير في المسافة. بعبارة أخرى، إنها تساوي التغير في الإحداثي الرأسي على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن مقسومًا على التغير في الزمن. والتغير في الزمن هو التغير في الإحداثي الأفقي على هذا التمثيل البياني. يعرف التغير في الإحداثي الرأسي بين نقطتين على الخط المرسوم على التمثيل البياني مقسومًا على التغير في الإحداثي الأفقي بين نفس النقطتين بأنه ميل ذلك الخط. لذا يمكننا القول إن سرعة الجسم تساوي ميل الخط الذي يعبر عنها على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن.

الخط المستقيم له ميل ثابت. ومن ثم، أي خط مستقيم على تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن يمثل جسمًا يتحرك بسرعة ثابتة. يمكننا ملاحظة أن جميع الخطوط الأربعة الموضحة على هذا التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن هي بالفعل خطوط مستقيمة، وهذا يعني أنها جميعًا تمثل حركة بسرعة ثابتة. يمكننا أيضًا كتابة معادلة السرعة ‪𝑣‬‏ هذه بطريقة أخرى.

دعونا نفكر في نقطتين على أحد الخطوط الموضحة على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن لهما الإحداثيات ‪𝑡‬‏ واحد، ‪𝑑‬‏ واحد، و‪𝑡‬‏ اثنان، ‪𝑑‬‏ اثنان، على الترتيب. هذا يكافئ التفكير في جسم يتحرك من المسافة ‪𝑑‬‏ واحد إلى المسافة ‪𝑑‬‏ اثنين في الفترة الزمنية بين ‪𝑡‬‏ واحد و‪𝑡‬‏ اثنين. بعبارة أخرى، التغير في المسافة التي يقطعها الجسم ‪𝛥𝑑‬‏ يساوي ‪𝑑‬‏ اثنين ناقص ‪𝑑‬‏ واحد. والتغير في الزمن ‪𝛥𝑡‬‏، الذي يحدث خلاله هذا التغير في المسافة، يساوي ‪𝑡‬‏ اثنين ناقص ‪𝑡‬‏ واحد.

بوضع ذلك في الاعتبار، دعونا الآن نستخدم هذه المعادلة لحساب الميل، ومن ثم السرعة التي يعبر عنها كل خط من هذه الخطوط الأربعة الموضحة على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. لقد أسمينا السرعة الممثلة بالخط البرتقالي ‪𝑣𝑜‬‏، والسرعة الممثلة بالخط الأخضر ‪𝑣𝑔‬‏، والسرعة الممثلة بالخط الأزرق ‪𝑣𝑏‬‏، والسرعة الممثلة بالخط الأحمر ‪𝑣𝑟‬‏. لإيجاد قيم هذه السرعات، علينا اختيار نقطتين على كل خط لهما الإحداثيات ‪𝑡‬‏ واحد، ‪𝑑‬‏ واحد، و‪𝑡‬‏ اثنان، ‪𝑑‬‏ اثنان، على الترتيب. وبالتعويض بقيم هذه الكميات الأربع لكل خط في هذه المعادلة، يمكننا أن نحسب السرعة التي يمثلها كل خط.

دعونا نبدأ بالخط البرتقالي الموضح على التمثيل البياني. هذا يعني أننا سنحسب السرعة ‪𝑣𝑜‬‏. سنفترض أن النقطة الأولى على هذا الخط هي نقطة الأصل للتمثيل البياني. يعني هذا أن قيمة الزمن تساوي صفر ثانية، وقيمة المسافة تساوي صفر متر. وبهذا نكون عرفنا قيمتي ‪𝑡‬‏ واحد و‪𝑑‬‏ واحد. بالنسبة إلى النقطة الثانية على هذا الخط البرتقالي، سنختار هذه النقطة هنا؛ لأنه عند هذه النقطة يتقاطع الخط البرتقالي مع خط أفقي وخط رأسي من شبكة الرسم.

بالتحرك مباشرة لأسفل من هذه النقطة على الخط الرأسي لشبكة الرسم وصولًا إلى محور الزمن، نجد أن قيمة الزمن عند هذه النقطة تساوي ثانيتين. وهذه هي قيمة ‪𝑡‬‏ اثنين. بالتحرك بعد ذلك على طول الخط الأفقي لشبكة الرسم وصولًا إلى محور المسافة، نجد أن المسافة التي قطعها الجسم وصولًا إلى هذه النقطة تساوي ثمانية أمتار. وبذلك، نكون قد حصلنا على قيمة ‪𝑑‬‏ اثنين.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيم الأربع في هذه المعادلة لحساب قيمة ‪𝑣𝑜‬‏. وبفعل ذلك، نحصل على هذا التعبير الموضح هنا. في البسط، لدينا ثمانية أمتار، وهي قيمة المسافة عند ‪𝑑‬‏ اثنين، ناقص صفر متر، وهي قيمة ‪𝑑‬‏ واحد. وكل هذا مقسوم على ثانيتين، وهي قيمة الزمن عند ‪𝑡‬‏ اثنين، ناقص صفر ثانية، وهي قيمة الزمن عند ‪𝑡‬‏ واحد. ثمانية أمتار ناقص صفر متر يساوي ثمانية أمتار. وبالمثل، ثانيتان ناقص صفر ثانية يساوي ثانيتين. ‏‪𝑣𝑜‬‏ تساوي ثمانية أمتار مقسومة على ثانيتين. وبحساب ذلك، نجد أن هذه السرعة تساوي أربعة أمتار لكل ثانية.

بعد أن أوجدنا السرعة الممثلة بالخط البرتقالي، دعونا نتابع ونكرر الخطوات نفسها مع الخط الأخضر. هذا يعني أننا سنوجد السرعة ‪𝑣𝑔‬‏. سنختار مرة أخرى نقطة الأصل للتمثيل البياني لتكون النقطة الأولى على هذا الخط الأخضر. وبهذا نعلم أن ‪𝑡‬‏ واحدًا يساوي صفر ثانية، و‪𝑑‬‏ واحدًا تساوي صفر متر كما هو الحال في المرة السابقة. وإذا حددنا هذه النقطة على الخط الأخضر لتكون النقطة الثانية، يمكننا ملاحظة أنها تقع عند قيمة الزمن التي تساوي ثانيتين تمامًا مثل النقطة الثانية على الخط البرتقالي. وعليه، فإننا نعلم أن قيمة ‪𝑡‬‏ اثنين تساوي هنا أيضًا ثانيتين. الفرق الوحيد الآن بين النقطتين المحددتين على كل من الخط البرتقالي والخط الأخضر هو قيمة ‪𝑑‬‏ اثنين.

عندما نتحرك أفقيًّا من هذه النقطة الثانية على طول الخط الأخضر، نصل إلى محور المسافة عند القيمة التي تساوي ستة أمتار. وهذه هي قيمة ‪𝑑‬‏ اثنين. هكذا نكون توصلنا إلى أنه خلال الفترة الزمنية بين صفر ثانية وثانيتين، تحرك الجسم الموضح على الخط البرتقالي من المسافة صفر متر إلى المسافة ثمانية أمتار، وفي نفس الفترة الزمنية بين صفر ثانية وثانيتين، تحرك الجسم الموضح على هذا الخط الأخضر من موضعه الابتدائي حيث المسافة تساوي صفر متر إلى موضعه النهائي حيث المسافة تساوي ستة أمتار. وإذا عوضنا بهذه القيم الأربع في هذه المعادلة، فسنحصل على هذا التعبير للسرعة ‪𝑣𝑔‬‏، والذي يشبه إلى حد كبير تعبير السرعة ‪𝑣𝑜‬‏ الذي حصلنا عليه من قبل، باستثناء أنه في البسط لدينا الآن ستة أمتار بدلًا من ثمانية أمتار.

ستة أمتار ناقص صفر متر يساوي ستة أمتار. وبالمثل، ثانيتان ناقص صفر ثانية يساوي ثانيتين. بهذا يصبح لدينا ‪𝑣𝑔‬‏ تساوي ستة أمتار مقسومة على ثانيتين، وهذا يساوي ثلاثة أمتار لكل ثانية. ننتقل الآن إلى السرعة ‪𝑣𝑏‬‏ التي يمثلها الخط الأزرق ونكرر الخطوات نفسها.

سنختار نقطة الأصل مرة أخرى لتكون النقطة الأولى، وبذلك يكون ‪𝑡‬‏ واحد يساوي صفر ثانية و‪𝑑‬‏ واحد يساوي صفر متر. وبالنسبة إلى النقطة الثانية على هذا الخط فسنختار هذه النقطة هنا؛ حيث نلاحظ أن قيمة الزمن عندها تساوي ثانيتين وقيمة المسافة تساوي أربعة أمتار. وبهذا، نكون قد عرفنا قيمتي ‪𝑡‬‏ اثنين و‪𝑑‬‏ اثنين. نلاحظ مجددًا أن قيم ‪𝑡‬‏ واحد و‪𝑑‬‏ واحد و‪𝑡‬‏ اثنين لم تتغير. القيمة الوحيدة التي تغيرت هي قيمة ‪𝑑‬‏ اثنين. وبالتعويض بهذه القيم الأربع في هذه المعادلة، نحصل على هذا التعبير للسرعة ‪𝑣𝑏‬‏. وهو ما يعطينا ناتجًا يساوي مترين لكل ثانية.

حسنًا، علينا الآن إيجاد السرعة المتبقية ‪𝑣𝑟‬‏، وهي السرعة الممثلة بالخط الأحمر. كما فعلنا من قبل، سنختار نقطة الأصل لتكون النقطة الأولى على هذا الخط، وبذلك تكون القيمتان صفر ثانية وصفر متر هما قيمتي ‪𝑡‬‏ واحد و‪𝑑‬‏ واحد على الترتيب. بالنسبة إلى النقطة الثانية، سنختار هذه النقطة هنا، التي نلاحظ أن قيمة الزمن عندها تساوي ثانيتين وقيمة المسافة تساوي مترين. وبهذا نكون قد علمنا قيمتي ‪𝑡‬‏ اثنين و‪𝑑‬‏ اثنين. نعوض بهذه القيم بعد ذلك في هذه المعادلة لنحصل على التعبير الموضح للسرعة ‪𝑣𝑟‬‏. وبحساب ذلك نجد أن هذه السرعة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية.

لقد أوجدنا السرعات الأربع التي تعبر عنها الخطوط الأربعة المختلفة الموضحة على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. مطلوب منا في السؤال تحديد إذا ما كان الفرق بين هذه السرعات ثابتًا لأي خطين متجاورين. يمكننا ملاحظة أن هذه الخطوط مرتبة بدءًا من الخط البرتقالي، ثم الأخضر، ثم الأزرق، ثم الأحمر. يطلب منا السؤال تحديد إذا ما كان الفرق بين سرعة الخط البرتقالي وسرعة الخط الأخضر يساوي الفرق بين سرعة الخط الأخضر وسرعة الخط الأزرق، ويساوي كذلك الفرق بين سرعة الخط الأزرق وسرعة الخط الأحمر. بعبارة أخرى، يطلب منا السؤال تحديد إذا ما كانت هذه العبارة صحيحة أم لا.

على اليسار، لدينا ‪𝑣𝑜‬‏ ناقص ‪𝑣𝑔‬‏. هذا هو الفرق بين السرعتين اللتين يمثلهما الخطان البرتقالي والأخضر. في المنتصف لدينا ‪𝑣𝑔‬‏ ناقص ‪𝑣𝑏‬‏، وهو الفرق بين السرعتين الممثلتين بالخطين الأخضر والأزرق. وأخيرًا، لدينا على اليمين ‪𝑣𝑏‬‏ ناقص ‪𝑣𝑟‬‏، وهو الفرق بين السرعتين الممثلتين بالخطين الأزرق والأحمر. يمكننا إيجاد كل فرق من هذه الفروق الثلاثة بالتعويض بقيم السرعات الأربع.

بفعل ذلك، نحصل على هذه التعبيرات الثلاثة لهذه الفروق. يمكننا ملاحظة أنه في جميع الحالات الثلاث يكون لهذا الفرق نفس القيمة التي تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية. وبما أن الفرق بين سرعتي كل زوج من الخطوط المتجاورة الموضحة على التمثيل البياني له نفس القيمة التي تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية، فإن إجابة هذا السؤال هي نعم، الفرق بين السرعات المناظرة للخطوط الموضحة على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن ثابت لأي خطين متجاورين.