نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل المتجهين 𝐀 و𝐁. طول ضلع كل مربع من مربعات شبكة الرسم في الشكل يساوي واحدًا. احسب حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁.
في هذا السؤال، لدينا المتجهان 𝐀 و𝐁 على صورة سهمين مرسومين في شكل. مطلوب منا إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين، أي 𝐀 في 𝐁. إذن، دعونا نبدأ باسترجاع تعريف الضرب القياسي لمتجهين. سنتناول متجهين عامين، نرمز إليهما بالحرفين 𝐂 و𝐃. بافتراض أن هذين المتجهين يقعان في المستوى 𝑥𝑦، نجد أنه يمكننا كتابتهما على الصورة المركبة الموضحة، وهي مركبة 𝑥، ونرمز إليها بالحرف السفلي 𝑥، مضروبة في 𝐢 هات زائد مركبة 𝑦، ونرمز إليها بالحرف السفلي 𝑦، مضروبة في 𝐣 هات. تذكر أن 𝐢 هات هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑥، و𝐣 هات هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑦.
يعرف حاصل الضرب القياسي لـ 𝐂 في 𝐃 بأنه مركبة 𝑥 للمتجه 𝐂 مضروبة في مركبة 𝑥 للمتجه 𝐃 زائد مركبة 𝑦 للمتجه 𝐂 مضروبة في مركبة 𝑦 للمتجه 𝐃. بعبارة أخرى، حاصل الضرب القياسي لمتجهين يعطى بالعلاقة: حاصل ضرب مركبتي 𝑥 للمتجهين زائد حاصل ضرب مركبتي 𝑦 لهما. وبالنظر إلى هذا التعبير العام لحاصل الضرب القياسي لمتجهين، نلاحظ أنه إذا أردنا حساب حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁، فعلينا إيجاد مركبتي 𝑥 ومركبتي 𝑦 للمتجهين 𝐀 و𝐁.
لدينا المتجهان 𝐀 و𝐁 على صورة سهمين مرسومين في شكل، ونعلم من السؤال أن طول ضلع كل مربع من المربعات في هذا الشكل يساوي واحدًا. إذا أضفنا المحورين 𝑥 و𝑦 إلى الشكل بحيث يكون موضع نقطة الأصل عند ذيل كل من المتجهين، يمكننا عد عدد المربعات التي تقع على امتداد كل متجه في الاتجاه 𝑥 وفي الاتجاه 𝑦. وبما أننا نعلم أن طول ضلع كل مربع من هذه المربعات يساوي واحدًا، فإن عدد المربعات يساوي مباشرة مركبتي 𝑥 ومركبتي 𝑦 للمتجهين.
دعونا نبدأ بعد مربعات المتجه 𝐀. نلاحظ أن 𝐀 يمتد بمقدار مربعين في الاتجاه الموجب للمحور 𝑥 وثلاثة مربعات في الاتجاه الموجب للمحور 𝑦. إذن، مركبة 𝑥 لـ 𝐀 تساوي اثنين ومركبة 𝑦 تساوي ثلاثة. ويمكننا أن نكتب المتجه 𝐀 على الصورة المركبة اثنين 𝐢 هات زائد ثلاثة 𝐣 هات. والآن، سنفعل الشيء نفسه مع المتجه 𝐁. نجد أن 𝐁 يمتد بمقدار أربعة مربعات في الاتجاه الموجب للمحور 𝑥، وأربعة مربعات في الاتجاه السالب للمحور 𝑦. إذن، بالنسبة إلى المتجه 𝐁، مركبة 𝑥 تساوي أربعة، ومركبة 𝑦 تساوي سالب أربعة. ومن ثم، يمكننا كتابة المتجه 𝐁 على الصورة المركبة أربعة 𝐢 هات ناقص أربعة 𝐣 هات.
أصبح لدينا الآن تعبيران للمتجهين 𝐀 و𝐁 على الصورة المركبة، ما يعني أننا مستعدون لحساب حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁. من التعبير العام لحاصل الضرب القياسي لمتجهين، نلاحظ أن الحد الأول هو حاصل ضرب مركبتي 𝑥 للمتجهين. إذن، فإن حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁 يساوي مركبة 𝑥 لـ 𝐀، وهي تساوي اثنين، مضروبة في مركبة 𝑥 لـ 𝐁، وهي تساوي أربعة. نضيف إلى ذلك الحد الثاني الذي يساوي حاصل ضرب مركبتي 𝑦 للمتجهين. هذا يساوي مركبة 𝑦 للمتجه 𝐀، وهي تساوي ثلاثة، مضروبة في مركبة 𝑦 للمتجه 𝐁، وهي تساوي سالب أربعة.
الخطوة الأخيرة المتبقية هي إيجاد قيمة هذا المقدار هنا. الحد الأول هو اثنان مضروبًا في أربعة، ما يساوي ثمانية. والحد الثاني هو ثلاثة مضروبًا في سالب أربعة، ما يساوي سالب 12. إذن، لدينا ثمانية زائد سالب 12، وهو ما يساوي سالب أربعة. وبناء عليه، فإن إجابة السؤال هي أن حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁 يساوي سالب أربعة.
