نسخة الفيديو النصية
جسيم يتحرك في خط مستقيم؛ بحيث تكون سرعته ﻉ المقيسة بالمتر لكل ثانية، وموضعه ﺱ المقيس بالمتر، يحققان المعادلة ﻉ تربيع يساوي ٣٣ ناقص ثلاثة جتا ﺱ. أوجد السرعة القصوى للجسيم ﻉ القصوى، وعجلة الجسيم ﺟ عند ﻉ يساوي ﻉ القصوى.
عادة عندما نفكر في القيم العظمى والصغرى، فإننا نفكر في اشتقاق دالة. لسنا بحاجة إلى فعل ذلك هنا. لدينا معادلة ﻉ تربيع يساوي ٣٣ ناقص ثلاثة جتا ﺱ. وعلينا إيجاد السرعة القصوى للجسيم ﻉ القصوى. ولذلك سنبدأ بالتفكير في الجزء الأول في هذه الدالة، وهو جتا ﺱ. لنفكر فيما نعرفه عن جتا ﺱ. مدى جتا ﺱ قيم أكبر من أو تساوي سالب واحد وأصغر من أو تساوي واحدًا. علينا إذن التفكير في أي قيم جتا ﺱ التي تجعل ٣٣ ناقص ثلاثة جتا ﺱ أكبر ما يمكن.
حسنًا، إذا ضربنا سالب ثلاثة في سالب واحد، فسنحصل على قيمة موجبة لسالب ثلاثة جتا ﺱ. وبذلك تظهر القيمة العظمى لـ ﻉ تربيع، ومن ثم ﻉ عندما يكون جتا ﺱ يساوي سالب واحد. وعندما يحدث ذلك، يكون التعبير عن ﻉ تربيع هو ٣٣ ناقص ثلاثة في سالب واحد، وهو ما يساوي ٣٣ زائد ثلاثة أو ٣٦. إذن القيمة العظمى لـ ﻉ تربيع هي ٣٦. لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻉ، علينا إجراء العملية العكسية للتربيع. سنأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة.
عادة ما ننتبه إلى الجذر التربيعي الموجب والسالب، لكننا معنيون فقط بالسرعة، والسرعة ليس لها اتجاه. لا يمكن إلا أن تكون موجبة. وبذلك يمكننا القول إن القيمة العظمى لـ ﻉ تساوي الجذر التربيعي لـ ٣٦، وهو ما يساوي ستة. نحن نستخدم المتر لكل ثانية، إذن ﻉ القصوى يساوي ستة أمتار لكل ثانية.
يطلب منا هذا السؤال أيضًا أن نوجد عجلة الجسيم، ﺟ، عندما تساوي السرعة ﻉ القصوى ستة أمتار لكل ثانية. لنلق نظرة على ما نعرفه عن السرعة القصوى للجسيم. نعلم أن العجلة هي معدل تغير السرعة المتجهة. إذن عندما نفكر في معدل التغير، نفكر في المشتقة. ومن ثم، يمكن إيجاد العجلة باشتقاق دالة ﻉ بالنسبة إلى ﻥ.
بالمثل يمكننا إيجاد موضع أي قيمة عظمى أو صغرى نسبية لدالة ما بجعل المشتقة تساوي صفرًا. في هذه الحالة، تحدث السرعة القصوى للجسيم عندما تساوي مشتقته الأولى صفرًا. ولكننا قلنا إن المشتقة الأولى لـ ﻉ بالنسبة إلى ﻥ هي ﺟ. ولذلك يجب أن تحدث السرعة القصوى للجسيم عندما تساوي العجلة نفسها صفرًا. وتكون العجلة بالمتر لكل ثانية لكل ثانية أو بالمتر لكل ثانية مربعة.
إذن السرعة القصوى للجسيم ﻉ القصوى تساوي ستة أمتار لكل ثانية، وعجلته تساوي صفرًا لكل ثانية مربعة.
