تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: التطبيقات الهندسية للمتجهات التي تتضمن تقاطع متوسطات الرياضيات

إذا كانت الإحداثيات ﺃ (٩‎، ٨)، ﺏ (٤‎، −٢)، ﺟ (−١‎، -٣) هي رءوس المثلث ﺃﺏﺟ، فأوجد إحداثيات نقطة تقاطع متوسطات المثلث باستخدام المتجهات.

٠٦:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت الإحداثيات ﺃ تسعة، ثمانية، وﺏ أربعة، سالب اثنين، وﺟ سالب واحد، سالب ثلاثة هي رءوس المثلث ﺃﺏﺟ، فأوجد إحداثيات نقطة تقاطع متوسطات المثلث باستخدام المتجهات.

سنبدأ برسم محوري الإحداثيات ورسم النقاط الثلاثة. إننا نعرف أن إحداثيات ﺃ هي تسعة، ثمانية، وإحداثيات النقطة ﺏ هي أربعة، سالب اثنين، وإحداثياتﺟ هي سالب واحد، سالب ثلاثة. بتوصيل النقاط الثلاثة، يكون لدينا مثلث كما هو موضح. سنسمي نقطة الأصل ﻭ. هذا يعني أن المتجهات ﻭﺃ وﻭﺏ وﻭﺟ تساوي تسعة، ثمانية وأربعة، سالب اثنين وسالب واحد، سالب ثلاثة، على الترتيب.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد متوسطات المثلث. يمتد المتوسط في المثلث من أحد الرءوس إلى نقطة منتصف القطعة المستقيمة المقابلة لها. في هذا الشكل، النقطة ﺩ هي نقطة المنتصف بين ﺏ وﺟ. وبالمثل، المتوسط من الرأس ﺏ ينصف ﺃﺟ عند النقطة ﻫ. وأخيرًا، المتوسط من الرأس ﺟ ينصف ﺃﺏ عند النقطة ل. تتقاطع هذه المتوسطات الثلاثة عند نقطة سنسميها ﻡ. تعرف النقطة ﻡ بأنها النقطة المركزية للمثلث، وتقسم هذه النقطة المركزية كلًّا من المتوسطات بنسبة اثنين إلى واحد. على سبيل المثال، النقطة ﻡ تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺩ بنسبة اثنين إلى واحد؛ حيث تكون النسبة بين ﺃﻡ إلى ﻡﺩ هي اثنان إلى واحد. إننا نعلم أيضًا أنه بما أن ﺩ هي نقطة منتصف ﺏﺟ، فإن النسبة بين ﺏﺩ إلى ﺩﺟ تساوي واحدًا إلى واحد.

سنفرغ الآن بعض المساحة ونسترجع صيغة إيجاد متجه موضع نقطة تقسم خطًّا معينًا بنسبة معينة. تنص الصيغة أو القاعدة على أنه إذا كانت ﺃ وﺏ نقطتين لهما متجها الموضع ل وﻥ وﺟ تقسم ﺃﺏ بنسبة 𝜆 إلى 𝜇، فإن متجه موضع ﺟ يساوي 𝜇 مضروبًا في المتجه ل زائد 𝜆 مضروبًا في المتجه ﻥ الكل مقسومًا على 𝜆 زائد 𝜇. هذا يعني أن المتجه ﻭﺩ يساوي واحدًا مضروبًا في المتجه ﻭﺏ زائد واحد مضروبًا في المتجه ﻭﺟ الكل مقسومًا على واحد زائد واحد. وبتبسيط هذا، نجد أن المتجه ﻭﺩ يساوي المتجه ﻭﺏ زائد المتجه ﻭﺟ مقسومًا على اثنين. ومع أنه يمكننا حساب هذا المتجه بالتعويض بقيم ﻭﺏ وﻭﺟ، لكننا سنتركه على هذه الصورة في الوقت الحالي.

يمكننا بعد ذلك استخدام النسبة الأخرى التي لدينا لحساب ﻭﻡ. هذا يعطينا المتجه ﻭﻡ يساوي واحدًا مضروبًا في المتجه ﻭﺃ زائد اثنين مضروبًا في المتجه ﻭﺩ مقسومًا على اثنين زائد واحد. ويمكن تبسيط ذلك بحيث يكون المتجه ﻭﻡ يساوي المتجه ﻭﺃ زائد اثنين في المتجه ﻭﺩ الكل مقسومًا على ثلاثة. لقد وجدنا بالفعل تعبيرًا للمتجه ﻭﺩ. بالتعويض بذلك في معادلة المتجه ﻭﻡ، نجد أن المتجه ﻭﻡ يساوي المتجه ﻭﺃ زائد اثنين مضروبًا في المتجه ﻭﺏ زائد المتجه ﻭﺟ مقسومًا على اثنين الكل مقسومًا على ثلاثة. يحذف العامل المشترك اثنان من البسط والمقام هنا بحيث يبسط الطرف الأيسر إلى المتجه ﻭﺃ زائد المتجه ﻭﺏ زائد المتجه ﻭﺟ الكل مقسومًا على ثلاثة.

هذه في الواقع قاعدة عامة لإيجاد النقطة المركزية للمثلث. متجه موضع النقطة المركزية للمثلث يساوي ثلث مجموع متجهات الموضع للرءوس الثلاثة. يمكننا الآن التعويض بقيم ﻭﺃ وﻭﺏ وﻭﺟ. سنبدأ بإيجاد مجموع المتجهات تسعة، ثمانية وأربعة، سالب اثنين وسالب واحد، سالب ثلاثة. بعد ذلك، علينا ضرب هذا في الكمية القياسية ثلث. وبجمع مركبات ﺱ، نحصل على ١٢؛ لأن تسعة زائد أربعة يساوي ١٣، وبإضافة سالب واحد نحصل على ١٢. ومجموع مركبات ﺹ يساوي ثلاثة. المتجه ﻭﻡ يساوي ثلثًا مضروبًا في المتجه ١٢، ثلاثة. وهذا يبسط إلى المتجه أربعة، واحد؛ لأن ثلث العدد ١٢ يساوي أربعة، وثلث العدد ثلاثة يساوي واحدًا.

وبما أن هذا هو المتجه ﻭﻡ، يمكننا استنتاج أن إحداثيات نقطة تقاطع متوسطات المثلث هي أربعة، واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.