فيديو السؤال: إيجاد عدد الطرق لاختيار ﻥ من العناصر من أصل ﻡ من العناصر الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في أحد الفصول، يوجد ١٨ ولدًا وسبع بنات. أوجد عدد الطرق التي يمكن بها اختيار فريق من ثلاثة أعضاء.

في هذا السؤال، نريد اختيار فريق مكون من ثلاثة أشخاص من الفصل. في الفصل، لدينا ١٨ ولدًا وسبع بنات. لكن السؤال لم يخبرنا ما إذا كان ينبغي أن يتكون الفريق من عدد محدد من الأولاد والبنات. لذا، بدلًا من ذلك، نجمع ١٨ وسبعة. ونلاحظ أننا نريد إيجاد عدد طرق اختيار ثلاثة طلاب من إجمالي ٢٥. في الحقيقة، ليس لدينا أي إشارة على الإطلاق إلى أهمية الترتيب هنا. في الرياضيات، هذه العملية لها اسم خاص. إنها تسمى: التوافيق. التوافيق طريقة لحساب إجمالي النتائج لحدث ما؛ بحيث يكون ترتيب النتائج غير مهم.

نقول إن عدد طرق اختيار ﺭ من العناصر من إجمالي ﻥ من العناصر؛ حيث لا يهم ترتيب هذه العناصر، هو ﻥ توافيق ﺭ. ‏‏ﻥ توافيق ﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. والآن في هذه الحالة، علينا اختيار ثلاثة طلاب؛ أي فريق مكون من ثلاثة طلاب، من إجمالي ٢٥. من ثم، نجعل ﻥ يساوي ٢٥، وﺭ يساوي ثلاثة. ثم نجد أن عدد طرق اختيار هذا الفريق المكون من ثلاثة أعضاء هو ٢٥ توافيق ثلاثة. وهذا يساوي مضروب ٢٥ على مضروب ثلاثة في مضروب ٢٥ ناقص ثلاثة.

والآن، ٢٥ ناقص ثلاثة يساوي ٢٢. إذن، يمكننا تبسيط ذلك قليلًا لنحصل على مضروب ٢٥ على مضروب ثلاثة في مضروب ٢٢. والآن، نعلم أن مضروب ٢٥ يساوي ٢٥ في ٢٤ في ٢٣، وهكذا. لكن بوجه عام، نريد تجنب إيجاد قيمة المضروبات في الصيغة التي لدينا. بدلًا من ذلك، نلاحظ أن مضروب ٢٥ يمكن كتابته على الصورة: ٢٥ في ٢٤ في ٢٣ في مضروب ٢٢. ثم بعد ذلك، يمكننا تبسيط الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على مضروب ٢٢. بالمثل، نعلم أن ثلاثة في اثنين يساوي ستة، ويمكننا قسمة كل من ٢٤ وستة على ستة. وهكذا، يبسط ٢٥ توافيق ثلاثة إلى ٢٥ في أربعة في ٢٣ مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي بالطبع ٢٥ في أربعة في ٢٣. ‏‏٢٥ في أربعة يساوي ١٠٠. وبذلك، يصبح لدينا ١٠٠ في ٢٣، وهو ما يساوي ٢٣٠٠.

وبذلك، إذا كان لدينا ١٨ ولدًا وسبع بنات في فصل ما، يكون عدد الطرق التي يمكن بها اختيار فريق من ثلاثة أعضاء هو ٢٣٠٠.