فيديو: السرعة اللحظية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد السرعة اللحظية لجسم باستخدام المماسات لإيجاد الميل عند نقطة على منحنى المسافة مقابل الزمن للجسم.

١٢:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سنتحدث عن السرعة اللحظية. تشير السرعة اللحظية إلى السرعة التي يتحرك بها جسم عند لحظة زمنية معينة. وهو ما يجعل هذا المفهوم ذا فائدة كبيرة عند وصف حركة جسم تتغير سرعته بمرور الزمن. في هذا الفيديو، سنركز على كيفية حساب السرعة اللحظية للأجسام بالنظر إلى منحنى إزاحة الجسم مقابل الزمن. وكما سنرى، تعتمد الطريقة التي سنستخدمها لحساب سرعة الجسم اللحظية على ما إذا كان الجسم يتحرك بسرعة ثابتة أم متغيرة.

عادة ما نفكر في هذه المعادلة عند حساب سرعة جسم. سرعة أي جسم تساوي المسافة التي يقطعها هذا الجسم مقسومة على الزمن المستغرق لقطع هذه المسافة. ولكن في الواقع، توضح هذه المعادلة السرعة المتوسطة التي تحرك بها الجسم خلال الفترة الزمنية كلها. عند النظر إلى جسم تزداد سرعته أو تقل، فسنجد فرقًا بين سرعته اللحظية، وهي سرعته عند أي لحظة معينة، وبين سرعته المتوسطة. ولتوضيح وجه الاختلاف بين السرعة المتوسطة والسرعة اللحظية، هيا نتخيل حركة سيارة على طريق مستقيم من النقطة ‪𝐴‬‏ إلى النقطة ‪𝐵‬‏. ولنفترض أن السيارة توقفت في إشارة مرور على الطريق قبل مواصلة السير إلى النقطة ‪𝐵‬‏.

لنفترض أيضًا أن المسافة الكلية من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ تساوي ‪800‬‏ متر والزمن الكلي المستغرق في رحلة السيارة يساوي ‪80‬‏ ثانية. هيا نر ما سيحدث عند التعويض بهاتين القيمتين في معادلة إيجاد السرعة. تنص المعادلة على أن السرعة تساوي المسافة، أي ‪800‬‏ متر، مقسومة على الزمن المستغرق، وهو ‪80‬‏ ثانية، ما يعطينا ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية. ولكن، عندما حسبنا هذه السرعة، تضمن ذلك زمن توقف السيارة في إشارة المرور. وإذا نظرنا إلى سرعة السيارة عند نقاط مختلفة من الرحلة، فسنجد أن سرعة السيارة لم تكن ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية في أغلب الأوقات.

فعلى سبيل المثال، نعرف أن سرعة السيارة أثناء توقفها تساوي صفرًا من الأمتار لكل ثانية. وفي نقطة أخرى من الرحلة، لا بد أن سرعة السيارة كانت أكبر من ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية لتكون سرعتها المتوسطة ‪10‬‏ أمتار لكل ثانية. لذا من المهم جدًا ملاحظة أن هذه المعادلة تخبرنا فقط بالسرعة المتوسطة التي تحرك بها الجسم بدلالة المسافة الكلية المقطوعة والزمن الكلي المستغرق في هذه الرحلة. لنفترض أننا نريد معرفة السرعة التي تحركت بها السيارة في نقاط مختلفة من رحلتها، أي سرعتها اللحظية عند نقاط متعددة. إذن، نحتاج إلى مزيد من المعلومات التفصيلية عن حركة السيارة بين النقطة ‪𝐴‬‏ والنقطة ‪𝐵‬‏.

في هذا الدرس، سنركز على كيفية حساب السرعة اللحظية باستخدام منحنى الإزاحة مقابل الزمن. للسيارة التي تحدثنا عنها سابقًا يكون منحنى الإزاحة مقابل الزمن بهذا الشكل. يوضح هذا المنحنى أنه عند الزمن صفر، بدأت السيارة الحركة بإزاحة صفر من الأمتار. وتزداد هذه الإزاحة بمرور أول ‪20‬‏ ثانية لتصل إلى ‪400‬‏ متر. إذن، يوضح هذا الجزء من المنحنى رحلة السيارة من النقطة ‪𝐴‬‏ حتى إشارة المرور. ويوضح الجزء التالي من المنحنى، من الثانية ‪20‬‏ وحتى الثانية ‪60‬‏، ثبات إزاحة السيارة عند ‪400‬‏ متر. إذن، هذا الجزء من المنحنى يناظر زمن توقف السيارة في إشارة المرور. ويمثل الجزء الأخير من المنحنى، من الثانية ‪60‬‏ وحتى الثانية ‪80‬‏، ازدياد إزاحة السيارة من ‪400‬‏ متر إلى ‪800‬‏ متر، وهو ما يمثل حركة السيارة بعد إشارة المرور أثناء حركتها إلى النقطة ‪𝐵‬‏.

فكيف نحسب السرعة اللحظية للسيارة في أزمنة مختلفة؟ سنعرف الإجابة بالنظر إلى ميل المنحنى. وبشكل أكثر تحديدًا، السرعة اللحظية لأي جسم عند أي زمن تساوي مقدار ميل منحنى الإزاحة مقابل الزمن. بعبارة أخرى، السرعة اللحظية لهذه السيارة تساوي مقدار انحدار هذا المنحنى عند نقاط مختلفة. ويمكننا إيجاد قيمة السرعة عند أي زمن بحساب ميل المنحنى عند هذا الزمن. لاحظ أننا نتحدث هنا عن مقدار ميل المنحنى. يعني هذا أنه بغض النظر عما إذا كان ميل المنحنى موجبًا أم سالبًا، فسنأخذ قيمة الميل بإشارة موجبة حيث إنها تشير إلى مقداره. وذلك لأن السرعة بطبيعتها لا تكون إلا عددًا موجبًا أو صفرًا. فلا يمكن أن تكون قيمتها سالبة.

يمثل منحنى الإزاحة مقابل الزمن هذا جسمًا يقطع مسافة بسرعة منخفضة نسبيًا؛ لأن ميل هذا الخط منخفض نسبيًا. ويمثل منحنى الإزاحة مقابل الزمن هذا جسمًا يقطع مسافة بسرعة عالية نسبيًا؛ لأن ميل هذا الخط المستقيم كبير نسبيًا أيضًا. ويمثل منحنى الإزاحة مقابل الزمن الأخير جسمًا يتحرك بسرعة عالية أيضًا. ميل هذا المنحنى سالب وكبير نسبيًا. ولكن لأن السرعة تساوي مقدار ميل منحنى الإزاحة مقابل الزمن، فلا تعنينا القيمة السالبة هنا. ومن ثم سنأخذ القيمة الموجبة فقط. والقيمة الموجبة لهذا الميل تساوي تقريبًا ميل هذا المنحنى. وهذا يعني أن كلا المنحنيين يمثلان، في الواقع، جسمين يتحركان بالسرعة نفسها تقريبًا.

إذا نظرنا مرة أخرى إلى منحنى حركة السيارة، فسنجد أنه يتكون من ثلاثة خطوط مستقيمة. ولأن ميل الخط المستقيم ثابت، فهذا يوضح أن السيارة تتحرك بسرعة ثابتة بين الثانية صفر والثانية ‪20‬‏، ثم بسرعة ثابتة أخرى بين الثانية ‪20‬‏ والثانية ‪60‬‏، ثم سرعة ثابتة أخرى بين الثانية ‪60‬‏ والثانية ‪80‬‏. هذا مجرد تبسيط للأمر؛ إذ نتوقع أن يكون منحنى الإزاحة مقابل الزمن لأي سيارة بشكل واقعي خطًا منحنيًا. ولكننا سنستخدم هذا المثال ليوضح لنا كيفية حساب السرعة اللحظية باستخدام منحنى الإزاحة مقابل الزمن المكون من خطوط مستقيمة.

لنفترض أننا نريد إيجاد السرعة اللحظية للسيارة عند الزمن ‪70‬‏ ثانية، أي هنا. لنوجد ذلك، علينا حساب ميل المنحنى عند هذه النقطة. نلاحظ أن ميل المنحنى ثابت عند هذه النقطة، التي تقع بين الثانية ‪60‬‏ والثانية ‪80‬‏. بعبارة أخرى، المنحنى عبارة عن خط مستقيم. وهذا يعني أن مقدار الميل عند النقطة التي تعنينا يساوي نفس مقدار ميل الخط المستقيم بين الثانية ‪60‬‏ والثانية ‪80‬‏. إذن، السرعة اللحظية عند الثانية ‪70‬‏ تساوي مقدار ميل هذه القطعة المستقيمة.

نتذكر أن ميل الخط المستقيم يساوي الفرق الرأسي بين نقطتين على هذا الخط المستقيم مقسومًا على الفرق الأفقي بين النقطتين نفسهما. لنستخدم إذن نقطتي نهاية هذه القطعة المستقيمة ليكونا النقطتين المستخدمتين لحساب الميل. تقع هذه النقطة عند الثانية ‪60‬‏ على محور الزمن وعند ‪400‬‏ متر على محور الإزاحة. إذن، إحداثيا هذه النقطة هما ‪60‬‏ و‪400‬‏. تقع النقطة الثانية عند الثانية ‪80‬‏ على محور الزمن وعند ‪800‬‏ متر على محور الإزاحة. إذن، إحداثياها هما ‪80‬‏ و‪800‬‏. يمكننا الآن استخدام هذه الإحداثيات لإيجاد ميل هذه القطعة المستقيمة. الفرق الرأسي بين النقطتين اللتين حددناهما يساوي الفرق بين إحداثي ‪𝑦‬‏ لكل منهما، اللذين يمثلان موضعيهما الرأسيين على المنحنى. إذن، الفرق الرأسي في هذه الحالة يساوي ‪800‬‏ ناقص ‪400‬‏.

وبالمثل، الفرق الأفقي بين هاتين النقطتين يساوي ‪80‬‏ ناقص ‪60‬‏. ‏‏‪800‬‏ ناقص ‪400‬‏ يساوي ‪400‬‏، و‪80‬‏ ناقص ‪60‬‏ يساوي ‪20‬‏. وحاصل قسمة ‪400‬‏ على ‪20‬‏ يساوي ‪20‬‏. إذن، ميل الخط المستقيم عند الثانية ‪70‬‏ يساوى ‪20‬‏. نعلم أن السرعة اللحظية تساوي مقدار ميل منحنى الإزاحة مقابل الزمن. وبما أن قيمة الميل التي أوجدناها موجبة، يصبح لدينا بالفعل مقدار الميل، وهو ‪20‬‏. وبالنسبة لوحدات السرعة اللحظية التي حسبناها، فستكون الوحدات المستخدمة على المحورين، أيًا كانت. وفي هذه الحالة، يقاس الفرق الرأسي الذي حسبناه بالأمتار، بينما يقاس الفرق الأفقي الذي حسبناه بالثواني. يعني هذا أن السرعة اللحظية للسيارة عند هذه النقطة كانت ‪20‬‏ متر لكل ثانية.

وإذا أردنا إيجاد السرعة اللحظية للسيارة عند أي لحظة أخرى، فعلينا إيجاد ميل المنحنى عند هذه اللحظة. على سبيل المثال، عند الزمن ‪10‬‏ ثوان، نلاحظ أن ميل المنحنى يساوي ميل هذه القطعة المستقيمة. وعند هذه اللحظة تحديدًا، يتساوى هذا الميل مع ميل هذه القطعة المستقيمة. ولكن هذا لا يكون صحيحًا دائمًا. إذن، السرعة اللحظية عند الثانية ‪10‬‏ تساوي ‪20‬‏ متر لكل ثانية أيضًا. وإذا نظرنا إلى السرعة اللحظية عند الثانية ‪50‬‏ مثلًا، نلاحظ أن ميل المنحنى عند هذه اللحظة يساوي ميل هذه القطعة المستقيمة. ولأن هذه القطعة المستقيمة أفقية، يمكننا أن نقول إن الميل يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن السرعة اللحظية عند هذه النقطة تساوي صفرًا من الأمتار لكل ثانية. وينطبق هذا على أي نقطة على هذه القطعة المستقيمة.

إذن، نجد أن السرعة اللحظية للسيارة بين الثانية ‪20‬‏ والثانية ‪60‬‏ تساوي صفرًا. ولكن بالنسبة للزمن الموضح على المنحنى قبل الثانية ‪20‬‏ أو بعد الثانية ‪60‬‏، فإن السرعة اللحظية هي ‪20‬‏ متر لكل ثانية. بعد أن عرفنا كيف يمكننا حساب السرعة اللحظية لجسم باستخدام منحنى لإزاحة جسم مقابل الزمن مكون من خطوط مستقيمة، هيا نلق نظرة على كيفية حساب السرعة اللحظية لجسم باستخدام منحنى إزاحة جسم مقابل الزمن مكون من خطوط منحنية.

كما ذكرنا من قبل، منحنى الخطوط المستقيمة الذي تناولناه كان تبسيطًا للطريقة التي قد تتغير بها إزاحة سيارة بمرور الزمن. أما منحنى الإزاحة مقابل الزمن لسيارة حقيقية تقطع الرحلة التي ذكرناها سابقًا، فسيكون بهذا الشكل على الأرجح. بدلًا من الخطوط المستقيمة التي يكون لها ميل ثابت؛ ومن ثم تمثل سرعات ثابتة، سيكون منحنى الإزاحة مقابل الزمن هذا بخطوط منحنية. إذا نظرنا إلى هذا الجزء من المنحنى، فسنلاحظ كيف يتغير من كونه شديد الانحدار ليصبح أقل انحدارًا إلى أن يصبح أفقيًا. يمثل هذا التغير التدريجي في الميل حقيقة أن السرعة اللحظية للسيارة تنخفض تدريجيًا إلى صفر عند تباطؤها.

وبالمثل، إذا نظرنا إلى هذا الجزء من المنحنى، فسنلاحظ أن الميل يزداد تدريجيًا وبشكل مستمر من صفر إلى قيمة موجبة ثم إلى قيمة موجبة أعلى، وهو ما يمثل حقيقة أن سرعة السيارة تزيد تدريجيًا من وضع التوقف. ولكن كيف يمكننا حساب السرعة اللحظية عند هذه النقاط؟ يمكننا حسابها برسم مماسات للمنحنى. المماس هو خط مستقيم يلمس المنحنى بحيث يكون للمماس والمنحنى الميل نفسه عند نقطة تلامسهما. على سبيل المثال، يمكننا رسم مماس للمنحنى عند هذه النقطة. يميل المنحنى بهذا الشكل؛ ومن ثم يبدو المماس للمنحنى عند هذه النقطة بهذا الشكل. يعطينا رسم المماس طريقة لحساب ميل المنحنى عند نقطة معينة.

يلمس المماس هذا المنحنى عند الزمن ‪18‬‏ ثانية تقريبًا. إذن، بحساب ميل هذا المماس، نوجد ميل المنحنى عند الثانية ‪18‬‏. وبذلك، نوجد السرعة اللحظية للسيارة عند الثانية ‪18‬‏. بما أن المماس خط مستقيم، يمكننا إيجاد ميله بتحديد نقطتين على الخط ثم قسمة الفرق الرأسي بين هاتين النقطتين على الفرق الأفقي. وبما أننا رسمنا المماس بالنظر، فهذا يعني أن الإجابة لقيمة الميل تقريبية. ولكن يمكننا تقليل قيمة الخطأ عند قياس الميل والحصول على إجابة دقيقة قدر الإمكان باختيار نقطتين قريبتين من طرفي الخط المستقيم.

نبدأ بهذه النقطة، ونلاحظ أنها تقع عند الزمن ثماني ثوان تقريبًا، وعند إزاحة صفر من الأمتار. إذن، إحداثيا هذه النقطة هما ثمانية وصفر. عند النظر إلى هذه النقطة، نلاحظ أنها تقع عند الزمن ‪37‬‏ ثانية تقريبًا والإزاحة ‪800‬‏ متر. إذن، إحداثيا هذه النقطة هما ‪37‬‏ و‪800‬‏. مرة أخرى، الميل يساوي الفرق الرأسي مقسومًا على الفرق الأفقي بين هاتين النقطتين. والفرق الرأسي للنقطتين يساوي الفرق بين الإحداثيين الرأسيين لهما، بعبارة أخرى، ‪800‬‏ ناقص صفر. والفرق الأفقي يساوي ‪37‬‏ ناقص ثمانية. ‏‏‪800‬‏ ناقص صفر يساوي ‪800‬‏ بالطبع. و‪37‬‏ ناقص ثمانية يساوي ‪29‬‏. و‪800‬‏ على ‪29‬‏ يساوي ‪27.586‬‏. وبالتقريب لأقرب منزلة عشرية، يساوى ‪27.6‬‏.

إذا كان المماس للمنحنى عند الزمن ‪18‬‏ ثانية يساوي ‪27.6‬‏، فهذا يعني أن ميل المنحنى نفسه يساوي ‪27.6‬‏ أيضًا عند الزمن ‪18‬‏ ثانية. والسرعة اللحظية عند هذا الزمن تساوي مقدار القيمة ‪27.6‬‏، وهو ما يساوى ‪27.6‬‏ لأن القيمة موجبة بالفعل. مرة أخرى، وحدات السرعة اللحظية هي الوحدات المستخدمة للمحور الرأسي مقسومة على الوحدات المستخدمة للمحور الأفقي. وهي متر لكل ثانية. إذن، السرعة اللحظية للسيارة عند الزمن ‪18‬‏ ثانية تساوي ‪27.6‬‏ مترًا لكل ثانية.

لنفترض أننا نريد إيجاد السرعة اللحظية للسيارة عند زمن آخر، وليكن ‪65‬‏ ثانية مثلًا. إذن، سنرسم مماسًا آخر للمنحنى عند هذا الزمن، ونحسب ميل هذا المماس باستخدام نقطتين قريبتين من طرفي الخط، ثم نحسب مقدار هذا الميل. يعني هذا أننا إذا حسبنا الميل ووجدنا قيمته سالبة، فسنأخذ القيمة الموجبة للعدد فقط.

دعونا نلخص الآن ما تعلمناه عن حساب السرعة اللحظية. السرعة اللحظية هي سرعة جسم عند لحظة زمنية معينة. وهي تساوي مقدار ميل منحنى الإزاحة مقابل الزمن عند هذه اللحظة الزمنية المعينة. وفي منحنى الإزاحة مقابل الزمن الذي يتكون من خطوط منحنية، يمكننا رسم مماس للمنحنى ليساعدنا على حساب الميل عند نقطة معينة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.