نسخة الفيديو النصية
أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد ثلاثة في القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ثلاثة تزايدية، والفترات التي تكون فيها تناقصية.
لعلنا نتذكر أنه يمكننا حساب فترات التزايد والتناقص لدالة ما من خلال التفكير في مشتقتها. على وجه التحديد، إذا تمكنا من إيجاد مشتقة هذه الدالة على فترة ما، وكانت قيمة هذه المشتقة موجبة؛ أي أنها أكبر من صفر، فيجب أن تكون الدالة نفسها تزايدية على هذه الفترة. وبالمثل، إذا كانت قيمة المشتقة سالبة؛ أي أنها أقل من صفر على فترة ما، فلا بد أن تكون الدالة تناقصية على هذه الفترة. وعلينا أن ننتبه جيدًا هنا. هذه الدالة هي حاصل ضرب دالة خطية ومقياس دالة خطية. إذن، كيف نحسب مشتقتها؟
حسنًا، دعونا نبدأ بتذكير أنفسنا بما يحدث في دالة المقياس. في الدالة لدينا، نضيف ثلاثة إلى قيم ﺱ، ثم نتأكد من أن القيمة المخرجة موجبة. على سبيل المثال، لنفترض أن ﺱ يساوي سالب خمسة. سالب خمسة زائد ثلاثة يساوي سالب اثنين. ومن ثم، فإن المقياس أو القيمة المطلقة لذلك هي موجب اثنين.
عندما تكون قيم ﺱ أقل من سالب ثلاثة، فإن قيمة ﺱ زائد ثلاثة تكون سالبة. لذا، عندما يكون ﺱ أقل من سالب ثلاثة، فإن القيمة المخرجة للدالة؛ أي القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ثلاثة، هي سالب ﺱ زائد ثلاثة. لكن عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي سالب ثلاثة، فإن قيمة ﺱ زائد ثلاثة تكون موجبة. وبذلك، عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي سالب ثلاثة، فإن القيمة المطلقة هي ﺱ زائد ثلاثة. هذا يعني أنه يمكننا التفكير في دالة القيمة المطلقة على أنها دالة متعددة التعريف. وهذا يعني أيضًا أنه يمكننا إعادة كتابة ﺩﺱ على صورة دالة متعددة التعريف بالشكل الموضح.
عندما يكون ﺱ أقل من سالب ثلاثة، نجد أن الدالة هي حاصل ضرب ﺱ زائد ثلاثة وسالب ﺱ زائد ثلاثة. أما عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي سالب ثلاثة، فإننا نحصل على ﺱ زائد ثلاثة في ﺱ زائد ثلاثة. يمكننا تبسيط كل جزء من هذه الدالة بالطريقة الموضحة. بعد ذلك، لإيجاد مشتقة ﺩﺱ، علينا اشتقاق كل جزء من الدالة.
حسنًا، ﺱ زائد ثلاثة تربيع وسالب ﺱ زائد ثلاثة تربيع هما كثيرتا حدود. هذا يعني أنهما قابلتان للاشتقاق على مجالهما بالكامل، وهو مجموعة الأعداد الحقيقية. لذا، يمكننا استخدام قاعدة القوة العامة لاشتقاق كل من سالب ﺱ زائد ثلاثة تربيع على الفترة ﺱ أقل من سالب ثلاثة، وﺱ زائد ثلاثة تربيع على الفترة ﺱ أكبر من أو يساوي سالب ثلاثة.
قاعدة القوة العامة للاشتقاق هي صورة خاصة من قاعدة السلسلة. فهي تنص على أنه يمكننا اشتقاق ﺩﺱ أس ﻥ بضرب ﻥ في ﺩﺱ أس ﻥ ناقص واحد في مشتقة الدالة الداخلية؛ أي ﺩ شرطة ﺱ. بعبارة أخرى، مشتقة سالب ﺱ زائد ثلاثة تربيع تساوي اثنين في سالب ﺱ زائد ثلاثة أس واحد في مشتقة ﺱ زائد ثلاثة؛ أي واحد. يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة سالب اثنين في ﺱ زائد ثلاثة أس واحد في واحد.
وبالمثل، نجد أن مشتقة ﺱ زائد ثلاثة تربيع تساوي اثنين في ﺱ زائد ثلاثة أس واحد في مشتقة ﺱ زائد ثلاثة؛ أي واحد. ويمكننا بعد ذلك تبسيط كل جزء من هذا المقدار كما هو موضح. تجدر الإشارة هنا إلى أن هذه العملية صحيحة؛ لأن الدالة نفسها متصلة عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة. كلتا المشتقتين اليسرى واليمنى موجودة أيضًا، وكل منهما تساوي صفرًا عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة.
دعونا ننظر الآن إلى إشارة المشتقة على كل فترة. عندما يكون ﺱ أقل من سالب ثلاثة، نحصل على قيمة سالبة في قيمة سالبة، وهذا يعطينا قيمة موجبة. لكن عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي سالب ثلاثة، نحصل على قيمة موجبة مضروبة في قيمة غير سالبة، وهذا يعطينا قيمة غير سالبة. هذا يعني أنها أكبر من أو تساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا قول إن المشتقة تكون موجبة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ، باستثناء ﺱ يساوي سالب ثلاثة. عند هذه النقطة، المشتقة تساوي صفرًا. يمكننا تضمين هذه القيمة في فترة التزايد إذا أردنا ذلك. هكذا، نستنتج أن ﺩ شرطة ﺱ أكبر من أو تساوي صفرًا لجميع الأعداد الحقيقية. إذن، ﺩﺱ تزايدية على مجموعة الأعداد الحقيقية.
