فيديو: تحديد اتصال دالة مركبة من دالتين متعددتي التعريف عند نقطة معطاة

افترض أن ‪𝑓(𝑥) = −6‬‏ لكل ‪𝑥 ≠ −3‬‏، ‪𝑓(𝑥) = 6‬‏ لكل ‪𝑥 = −3‬‏، ‪𝑔(𝑥) = 9𝑥 + 12‬‏ لكل ‪𝑥 ≠ −3‬‏، ‪𝑔(𝑥) = 15‬‏ لكل ‪𝑥 = −3‬‏. ماذا يمكن أن يقال عن اتصال ‪𝑔(𝑓(𝑥))‬‏ عند ‪𝑥 = −3‬‏؟ [أ] الدالة غير متصلة عند ‪𝑥 = −3‬‏ لأن ‪lim_(𝑥 → −3) 𝑔(𝑓(𝑥))‬‏ غير موجودة. [ب] الدالة متصلة عند ‪𝑥 = −3‬‏. [ج] الدالة غير متصلة عند ‪𝑥 = −3‬‏ لأن ‪𝑔(𝑓(−3))‬‏ غير معرفة. [د] الدالة غير متصلة عند ‪𝑥 = −3‬‏ لأن ‪lim_(𝑥 → −3) 𝑔(𝑓(𝑥)) ≠ 𝑔(𝑓(−3))‬‏.

٠٧:٥١

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي سالب ستة لكل ‪𝑥‬‏ لا يساوي سالب ثلاثة، وستة لكل ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة. والدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي تسعة ‪𝑥‬‏ زائد ‪12‬‏ لكل ‪𝑥‬‏ لا يساوي سالب ثلاثة، و‪15‬‏ لكل ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة. ماذا يمكن أن يقال عن اتصال الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة؟ لدينا أربعة خيارات هنا. الخيار أ: الدالة غير متصلة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة، لأن نهاية الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، عند ‪𝑥‬‏ يقترب من سالب ثلاثة، غير موجودة. الخيار ب: الدالة متصلة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة. الخيار جـ: الدالة غير متصلة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة، لأن قيمة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة غير معرفة. وأخيرًا الخيار د: الدالة غير متصلة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة، لأن نهاية الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، عند ‪𝑥‬‏ يقترب من سالب ثلاثة، لا تساوي ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة.

باختصار، إننا ندرس اتصال دالة مركبة، الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة. وهناك احتمالان، إما أن الدالة متصلة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة، وإما أنها غير متصلة. لكن من خلال الخيارات، نرى أنه إذا كانت الدالة غير متصلة، فعلينا توضيح السبب. وسيكون السبب أحد ثلاثة أسباب.

دعونا الآن نمسح الخيارات من الشاشة، ليصبح لدينا مساحة للإجابة عن السؤال. سنحتاج إلى تعريف الاتصال عند نقطة ما. يقال إن الدالة ‪𝑓‬‏ متصلة عند عدد ‪𝑐‬‏، إذا كانت نهاية الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، عند ‪𝑥‬‏ يقترب من ‪𝑐‬‏، تساوي قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑐‬‏. والدالة في المسألة هنا هي الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏، أو ‪𝑔‬‏ تركيب ‪𝑓‬‏. ونحاول معرفة إما إذا كانت متصلة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة. إذن ‪𝑐‬‏ يساوي سالب ثلاثة. والسؤال عما إذا كانت الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ متصلة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة، يشبه السؤال عما إذا كانت نهاية الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، عند ‪𝑥‬‏ يقترب من سالب ثلاثة، تساوي قيمة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة.

هناك ثلاثة أسباب أساسية محتملة، تؤدي إلى عدم تحقق هذه المعادلة. وبالتالي فهي ثلاثة أسباب لئلا تكون الدالة متصلة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة. أولًا، محتمل أن تكون النهاية غير موجودة. ثانيًا، محتمل أن تكون قيمة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة غير معرفة. لأن سالب ثلاثة لا ينتمي لمجال الدالة مثلًا. وثالثًا، محتمل أن يكون لهذين الطرفين قيمتان حقيقيتان. لكنهما قيمتان حقيقيتان مختلفتان، وبالتالي لا يتساوى الطرفان. وإذا عدت إلى الخيارات الموجودة في السؤال، فستجد أن هذه الحالات الثلاث معطاة في صورة ثلاثة خيارات منفصلة. وبالطبع هناك احتمال آخر، هو أن تكون نهاية الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، عند ‪𝑥‬‏ يقترب من سالب ثلاثة، وقيمة الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة، كلتاهما غير معرفتين.

دعونا نبدأ بمحاولة إيجاد النهاية. كيف سنفعل ذلك؟ هذه هي النهاية عند ‪𝑥‬‏ يقترب من سالب ثلاثة. ومن المهم أن نلاحظ أن ‪𝑥‬‏ لا يساوي أبدًا سالب ثلاثة عند أي نقطة. لكنه يقترب أكثر وأكثر من هذه القيمة. ونحن نعرف قيمة الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ عند ‪𝑥‬‏ لا يساوي سالب ثلاثة. في المعطيات أن قيمتها سالب ستة. إذن هذه النهاية هي نهاية الدالة ‪𝑔‬‏ لسالب ستة، عند ‪𝑥‬‏ يقترب من سالب ثلاثة. علينا الآن أن نسأل ما هو ‪𝑔‬‏ لسالب ستة؟ لدينا تعريف الدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏. وسالب ستة لا يساوي سالب ثلاثة. إذن نعرف كيف نوجد قيمة الدالة ‪𝑔‬‏ لسالب ستة. إنها تسعة في سالب ستة زائد ‪12‬‏. وبحساب ذلك، نحصل على سالب ‪42‬‏. ونهاية دالة ثابتة مثل سالب ‪42‬‏ هي هذا الثابت نفسه. وعليه فالنهاية هي سالب ‪42‬‏. لنمسح الشاشة ونوجد قيمة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة. أوجدنا الطرف الأيسر من المعادلة التي نريد تحقيقها، لكي تكون الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ متصلة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة. هذه النهاية موجودة وقيمتها سالب ‪42‬‏.

والآن ننتقل لإيجاد الطرف الأيمن من المعادلة. نريد إيجاد قيمة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة. إذن خطوتنا الأولى هي إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة. بالرجوع إلى تعريف الدالة ‪𝑓‬‏ في السؤال، نجد أن الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي ستة، لكل ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة. بعبارة أخرى، قيمة ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة تساوي ستة. ومن ثم فإن قيمة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة تساوي قيمة ‪𝑔‬‏ لستة. والآن ما قيمة ‪𝑔‬‏ لستة؟ فلننظر إلى تعريف الدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏. نرى أن الدالة ‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي تسعة ‪𝑥‬‏ زائد ‪12‬‏، لكل ‪𝑥‬‏ لا يساوي سالب ثلاثة. وستة لا يساوي سالب ثلاثة. إذن قيمة الدالة ‪𝑔‬‏ لستة تساوي تسعة في ستة زائد ‪12‬‏.

والآن أصبح بإمكاننا الإجابة عن السؤال. هل نهاية الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، عند ‪𝑥‬‏ يقترب من سالب ثلاثة، تساوي قيمة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة؟ بعبارة أخرى، هل الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ متصلة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة؟ كلا. لدينا في الطرف الأيسر سالب ‪42‬‏. وفي الطرف الأيمن ‪66‬‏. ماذا نستنتج إذن؟ الدالة غير متصلة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة. لماذا؟ لأنه رغم أن نهاية الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏، عند ‪𝑥‬‏ يقترب من سالب ثلاثة، موجودة، ورغم أن قيمة الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة معرفة، فإن القيمتين غير متساويتين. ولا نريد أن تكون هاتان القيمتان موجودتين أو معرفتين فقط، لكن نريدهما أن تكونا متساويتين أيضًا ليتحقق تعريف الاتصال. الإجابة إذن هي الخيار د.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.