فيديو السؤال: إيجاد ارتفاع المخروط في سياق واقعي الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

طويت قطعة من الورق على شكل قطاع دائري، نصف قطره ٧٢ سنتيمترًا، بزاوية ٢٧٥ درجة، وبطريقة تجعل النقطتين ﺃ، وﺏ تلتقيان وتشكلان مخروطًا دائريًّا بأكبر مساحة ممكنة له. أوجد ارتفاع المخروط لأقرب جزء من مائة.

إذن، لدينا هنا قطاع دائري طوي بطريقة تجعل النقطتين ﺃ، وﺏ تلتقيان وتشكلان مخروطًا. علمنا أن المخروط له أكبر مساحة ممكنة. وهذا يعني أن ﺃ، وﺏ لا تتداخلان. بدلًا من ذلك، سيكون لدينا ببساطة خط واحد يلتقي عنده ﺃ، وﺏ. والمطلوب منا هنا إيجاد ارتفاع المخروط. يمكننا أن نمنح ذلك أي حرف، لكن دعونا نطلق عليه ﺱ. علينا استخدام المعطيات المتعلقة بهذا القطاع الدائري لتساعدنا في إيجاد هذا الارتفاع.

نعلم أن نصف قطر القطاع الدائري يساوي ٧٢ سنتيمترًا. ومن المهم جدًّا ملاحظة أن هذا سوف يكون مختلفًا عن نصف قطر القطاع الدائري للمخروط؛ لأننا في الواقع رسمنا دائرة أصغر على قاعدة المخروط. وفي الواقع، عندما طوينا هذا القطاع الدائري، يصبح نصف قطر القطاع الدائري هو راسم المخروط. قد نلاحظ أيضًا أننا كونا مثلثًا داخل هذا المخروط. وليس مجرد مثلث، بل مثلث قائم الزاوية.

في المثلث القائم الزاوية، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. ولإيجاد ارتفاع هذا المخروط، أي قيمة ﺱ، علينا إيجاد هذا الطول المجهول الآخر، الذي سيكون بالطبع نصف قطر هذه الدائرة، وتذكر أنه بالطبع لا يساوي ٧٢ سنتيمترًا. فهذا نصف قطر القطاع الدائري الأصلي.

يمكننا إيجاد نصف القطر بإيجاد محيط هذه الدائرة. لكن كيف نفعل ذلك؟ حسنًا، لنعد إلى القطاع الأصلي. عندما طوينا ﺃ، وﺏ معًا، أصبح هذا محيط الدائرة الجديدة. ويمكننا إيجاد محيط الدائرة بحساب اثنين في ‏𝜋‏‎ في نصف القطر. لكن القطاع ﺃﺏ لم يكن بالطبع محيط الدائرة بأكملها، وإنما كسر منها. هذا الكسر يساوي الزاوية ٢٧٥ درجة على ٣٦٠ درجة؛ حيث توجد ٣٦٠ درجة إجمالًا في الدائرة.

لذا، يمكننا ضرب هذا في اثنين في ‏𝜋‏‎ في نصف القطر. وبما أن نصف القطر يساوي ٧٢ سنتيمترًا، فعلينا إذن ضرب الكسر في اثنين في ‏𝜋‏‎ في ٧٢. أما إذا أردنا تقريب الإجابة النهائية لأقرب جزء من مائة، فقد نفترض أنه يمكننا استخدام الآلة الحاسبة، لكن من المفيد دائمًا تبسيط العملية الحسابية إذا استطعنا. بقسمة كل من البسط والمقام على خمسة، نحصل على ٥٥ على ٧٢ في اثنين في ‏𝜋‏‎ في ٧٢. ونلاحظ أنه يمكننا حذف ٧٢ من بسط ومقام هذا المقدار، ليتبقى لدينا ٥٥ في اثنين ‏𝜋‏‎، ما يساوي ١١٠‏𝜋‏‎ بوحدة السنتيمتر.

وبذلك نكون قد أوجدنا طول القوس الملون باللون البرتقالي هذا، وهو ﺃﺏ، وهو أيضًا محيط الدائرة الممثلة لقاعدة المخروط. يمكننا استخدام ذلك الآن لإيجاد نصف قطر الدائرة الممثلة لقاعدة المخروط. وبما أننا نعرف أن المحيط يساوي اثنين ‏𝜋‏‎نق، يمكننا القول إن اثنين ‏𝜋‏‎نق يساوي ١١٠‏𝜋‏‎. بحذف ‏𝜋‏‎ من كلا طرفي المعادلة، يتبقى لدينا اثنان نق يساوي ١١٠. وعليه، فإن نق يساوي نصف ١١٠، أي ٥٥ سنتيمترًا.

والآن إذا نظرنا إلى المثلث القائم الزاوية الذي كوناه في المخروط، فسنجد أن لدينا قيمتين نعرفهما، وقيمة أخرى مجهولة، وهي ارتفاع المخروط. يمكننا أخيرًا تطبيق نظرية فيثاغورس، مع تذكر أن ٧٢ سنتيمترًا هو طول الوتر ﺟ. بالتعويض بالقيم، نحصل على ٧٢ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ٥٥ تربيع. وبحساب القيم المربعة، نحصل على ٥١٨٤ يساوي ﺱ تربيع زائد ٣٠٢٥. وبطرح ٣٠٢٥ من كلا طرفي المعادلة، نحصل على ٢١٥٩ يساوي ﺱ تربيع. وبحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين واستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد الناتج العشري، نحصل على ﺱ يساوي ٤٦٫٤٦٥٠٤ وهكذا مع توالي الأرقام.

ولتقريب ذلك لأقرب جزء من مائة، علينا النظر إلى الرقم الثالث بعد العلامة العشرية لمعرفة إذا ما كان يساوي خمسة أو أكثر. وبما أنه كذلك، نقرب الناتج إلى ٤٦٫٤٧. وبما أننا نتحدث عن ارتفاع، فسنستخدم وحدة قياس الطول السنتيمتر. إذن، الإجابة النهائية هي أن ارتفاع المخروط يساوي ٤٦٫٤٧ سنتيمترًا.