فيديو السؤال: بحث اتصال دالة متعددة التعريف عند نقطة ما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ابحث اتصال الدالة ﺩ عند ﺱ يساوي سالب اثنين؛ حيث ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد ثمانية على ﺱ تربيع ناقص أربعة لكل ﺱ لا يساوي سالب اثنين، وتساوي سالب ثلاثة لكل ﺱ يساوي سالب اثنين.

حسنًا، لدينا أربعة خيارات هنا وسنبدأ بالخيار ب، وهو أن الدالة متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين. والخيارات الثلاثة الأخرى تشير إلى أن الدالة غير متصلة لعدة أسباب. يشير الخيار أ إلى أن الدالة غير متصلة عند هذه النقطة؛ لأن قيمة الدالة ﺩ لسالب اثنين لا تساوي قيمة نهاية هذه الدالة عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين. ويشير الخيار ج إلى أن ﺩ لسالب اثنين غير معرفة. ويشير الخيار د أن الدالة غير متصلة؛ لأن النهاية غير موجودة.

توضح هذه الخيارات الأربعة أربعة سيناريوهات مختلفة. وقد يجدر بنا التفكير في شكل التمثيل البياني لـ ﺩ عند الاقتراب من ﺱ يساوي سالب اثنين لكل خيار منها. حسنًا، في الخيار أ، تكون النهاية عند اقتراب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺩﺱ موجودة، لكنها لا تساوي ﺩ لسالب اثنين. ويمكننا أن نرى هذا السيناريو موضحًا في الشكل الموجود بالجانب السفلي الأيسر.

يمكننا أن نرى أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين موجودة بالفعل. وسنحددها هنا هكذا؛ حيث إنها قد تكون في مكان ما بالقرب من سالب ١٫٥. لكنها للأسف لا تطابق قيمة الدالة عند ﺱ يساوي سالب اثنين، وهي سالب ثلاثة. إذن، هذا هو أحد الأمور التي يمكن أن تسير بشكل خاطئ، وهو ما قد يتسبب أيضًا في أن تكون الدالة غير متصلة.

الخيار ب مشابه جدًّا لما سبق، إلا أن النهاية هنا عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺩﺱ تساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، فإن هذه النقطة تقع في المكان الصحيح لملء الفراغ الموجود في هذا المنحنى، وعليه تكون الدالة متصلة.

يشير الخيار ج إلى ما يحدث عندما تكون ﺩ لسالب اثنين غير معرفة. وقد يتضح لنا أننا عرفنا ﺩ لسالب اثنين؛ ففي الواقع ها هو التعريف. إذن، نعلم بذلك أن ﺩﺱ تساوي سالب ثلاثة إذا كان ﺱ يساوي سالب اثنين، لكننا إن لم نعلم ذلك، فلربما كان هذا الجزء غير معرف، ومن ثم تكون الدالة غير معرفة.

وأخيرًا، في الخيار د تكون النهاية عند اقتراب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺩﺱ غير موجودة. ويمكننا أن نلاحظ في الشكل الذي رسمناه أن ذلك قد يكون بسبب وجود خط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي سالب اثنين. وبذلك، تكون الدالة غير متصلة هنا على الرغم من أنها معرفة. وذلك لأن ﺩ لسالب اثنين يساوي سالب ثلاثة، ولكن في كلتا الجهتين تمتد الدالة إلى موجب أو سالب ∞. وبالطبع، ليس من الضروري وجود خط تقارب. وإنما يمكن أن يكون هناك عدم اتصال قفزي. ففي كلتا الحالتين، هذا يمثل أحد الخيارات.

الخطوة الأولى هي إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺩﺱ. لماذا سنفعل ذلك؟ حسنًا، إذا كانت النهاية موجودة، لكنها لا تساوي ﺩ لسالب اثنين، والتي ذكرنا أنها تساوي بالفعل سالب ثلاثة، فإننا نعلم أن الإجابة ستكون الخيار أ. أما إذا كانت النهاية موجودة، ولكنها تساوي سالب ثلاثة، فإن الدالة ستكون متصلة. وعليه، سيكون الخيار ب هو الإجابة. ولقد أوضحنا أنه يمكننا استبعاد الخيار ج؛ لأن ﺩ لسالب اثنين معرفة، وهي تساوي سالب ثلاثة. وإذا كانت النهاية غير موجودة، فإن الإجابة ستكون الخيار د.

إننا نريد إيجاد قيمة هذه النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين، وما دام أن ﺱ يقترب من سالب اثنين، فهذا يعني أنه لا يساوي سالب اثنين أبدًا. وعليه، فإن قيمة هذه النهاية لا تعتمد على قيمة الدالة عند ﺱ يساوي سالب اثنين؛ فهي تعتمد فقط على قيمة الدالة عندما لا يساوي ﺱ سالب اثنين. لذلك، يمكننا استخدام هذه الصيغة بأمان بدلًا من ﺩﺱ. إذن، سنكتب هذه الدالة الكسرية هنا، وهي: ﺱ تكعيب زائد ثمانية على ﺱ تربيع ناقص أربعة.

نحن نعرف أن الدالة الكسرية تكون متصلة عندما تكون معرفة. ومن ثم، يمكننا محاولة التعويض بسالب اثنين في هذه الدالة الكسرية. ونأمل أن تكون معرفة عند إجراء ذلك. وإذا كانت كذلك، فستكون هذه القيمة هي أيضًا قيمة النهاية وفقًا لتعريف الاتصال. حسنًا، سنعوض الآن بسالب اثنين. ونظرًا لأن سالب اثنين تكعيب يساوي سالب ثمانية وسالب اثنين تربيع يساوي أربعة، فسنحصل على صفر على صفر، وهي قيمة غير معينة. إذن لم يحالفنا الحظ هنا؛ حيث إننا لم نتمكن من معرفة قيمة النهاية من هذه الخطوة. لكن ما يمكننا استنتاجه من نظرية العوامل هو أن كلًّا من بسط هذه الدالة الكسرية ومقامها يتضمنان العامل ﺱ زائد اثنين. إذن، دعونا نحلل ذلك.

قد نتمكن من إدراك أن المقام يساوي الفرق بين مربعين. ومن ثم، فإن هذا العامل هنا سيكون ﺱ ناقص اثنين. لكن ماذا عن العامل الآخر الموجود في البسط؟ حسنًا، يبدو أنه يجب أن يكون دالة تربيعية. إذن، يمكننا كتابة الصورة العامة للدالة التربيعية والحل لإيجاد المعاملات. حسنًا، هذه هي الصورة العامة للدالة التربيعية. فلنضرب الآن الأقواس معًا الموجودة في البسط.

هكذا نكون قد ضربنا الأقواس الموجودة في البسط. وبالطبع، نريد أن نحصل في النهاية على ﺱ تكعيب زائد ثمانية، وهو ما نحاول تحليله في الأساس. سنقارن الآن المعاملات. معامل ﺱ تكعيب في الطرف الأيمن هو ﺃ، ويكون في الطرف الأيسر غير موجود؛ أي أنه واحد. لذا، يمكننا القول إن ﺃ يساوي واحدًا. ومعامل ﺱ تربيع في الطرف الأيمن هو اثنان ﺃ زائد ﺏ، أو بما أننا نعرف أن ﺃ يساوي واحدًا، فإنه يصبح اثنين زائد ﺏ. وفي الطرف الأيسر، لدينا صفر. هذا يعني أنه لا يوجد حد يحتوي على ﺱ تربيع مكتوبًا بوضوح. إذن، نجد أن اثنين ﺃ زائد ﺏ يساوي صفرًا. وكما ذكرنا من قبل، ﺃ يساوي واحدًا، إذن اثنان زائد ﺏ يساوي صفرًا، وﺏ يساوي سالب اثنين.

سنتعامل بطريقة مشابهة تمامًا مع معامل ﺱ، فهو يساوي اثنين ﺏ زائد ﺟ في الطرف الأيمن، لكنه غير مذكور في الطرف الأيسر، ومن ثم فهو صفر. وبحل ذلك، نجد أن ﺟ يساوي أربعة، ثم يتبقى لدينا المعادلة الأخيرة لمعامل ﺱ أس صفر أو الحد الثابت في الطرف الأيسر، وهو اثنان ﺟ، ويساوي في الطرف الأيمن ثمانية؛ أي أن اثنين ﺟ يساوي ثمانية، وهذا يتوافق مع ما أوجدناه، وهو ﺟ يساوي أربعة. وبذلك نجد أن هناك اتساقًا، وهو أمر جيد، وحصلنا أيضًا على المعاملات. إذن، دعونا نكتبها. حسنًا، هاهنا قد كتبناها.

والآن سنفترض أنه يمكننا حذف هذين العاملين؛ ﺱ زائد اثنين. لماذا يمكننا فعل ذلك؟ حسنًا، يمكننا القول إنه ما من واحد منهما يساوي صفرًا؛ لأن ﺱ لا يساوي سالب اثنين، حيث إننا نوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين، وهو ما يعني أننا نتجنب بشكل صريح قيم ﺱ التي تساوي سالب اثنين.

حسنًا، لدينا الآن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لمقدار كسري أبسط قليلًا، وهو ما يمكننا اعتباره دالة كسرية. وسنفكر في إيجاد قيمتها عند سالب اثنين كما حاولنا من قبل. وهذه المرة، نأمل ألا نحصل على القيمة صفر على صفر. بعبارة أخرى، نأمل ألا نحصل على قيمة غير معينة، بل أن نحصل على عدد حقيقي فعلي؛ لأننا إذا حصلنا على عدد حقيقي، فإننا عند إيجاد قيمة هذا المقدار نعلم أن هذه القيمة ستمثل أيضًا نهاية هذا المقدار عند اقتراب ﺱ من سالب اثنين.

حسنًا، لقد عوضنا هنا بسالب اثنين. والآن، دعونا نوجد قيمة هذا المقدار. سنبسط البسط لنحصل على ١٢، وكذلك المقام لنحصل على سالب أربعة. و١٢ مقسومًا على سالب أربعة يساوي سالب ثلاثة. ونظرًا لأن هذه القيمة ليست غير معينة أو غير معرفة، فإننا نعرف بذلك أن هذه هي قيمة النهاية. حسنًا، هذا رائع! وبذلك، نكون قد أكملنا الخطوة الأولى. ماذا علينا أن نفعل الآن؟

لنلق نظرة أخرى على الخيارات التي لدينا. تذكر أننا استبعدنا بالفعل الخيار ج؛ لأننا علمنا أن ﺩ لسالب اثنين معرفة. والآن، وجدنا أن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين تساوي سالب ثلاثة. وعليه، فإن نهاية ﺩﺱ موجودة بالفعل. لذلك، فإن الخيار د لا يمكن أن يكون صحيحًا، ومن ثم يمكننا استبعاده أيضًا.

ومن ذلك، يتبقى لدينا خياران، وهما: الخيار أ والخيار ب. وكما ذكرنا من قبل، يتوقف ذلك على إذا ما كانت قيمة ﺩ لسالب اثنين تساوي قيمة نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين أم لا. بالطبع، يمكننا أن نرى بوضوح قيمة ﺩ لسالب اثنين. لقد علمنا أنها تساوي سالب ثلاثة.

وبمقارنة هذه القيمة بقيمة النهاية عند اقتراب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺩﺱ، نجد أنهما متساويتان. ومن ثم، يمكننا استبعاد الخيار أ الذي يشير إلى أنهما مختلفتان وغير متساويتين؛ حيث إنهما في الواقع تساويان سالب ثلاثة. إذن، الخيار الوحيد الذي يتبقى لدينا، وهو بالطبع الخيار المنطقي، هو أن الدالة متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين.

وهذا منطقي بالطبع؛ لأن هذا هو تعريف اتصال الدالة عند نقطة ما. فلكي تكون الدالة متصلة عند نقطة ما، يجب أن تكون معرفة عند هذه النقطة. علاوة على ذلك، تعريف الدالة عند تلك النقطة يجب أن يساوي نهاية الدالة عند اقتراب ﺱ من هذه النقطة. إذن، الإجابة هي الخيار ب. بعبارة أخرى، تكون الدالة متصلة عند ﺱ يساوي سالب اثنين.