نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد ميل خط مستقيم باستخدام تمثيلات بيانية أو جداول. وسوف نبدأ بتذكر بعض الحقائق الأساسية عن الدوال الخطية. التمثيل البياني لأي دالة خطية يكون عبارة عن خط مستقيم. وتكتب معادلة أي دالة خطية على الصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. والحرفان ﻡ وﺏ ثابتان؛ حيث يمثل ﻡ ميل الخط المستقيم. ويمثل ﺏ الجزء المقطوع من ﺹ، وهو النقطة التي يقطع فيها الخط المحور ﺹ. ويكتب هذا أحيانًا على الصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ بدلًا من ﺏ.
تكون قيمة ﻡ موجبة إذا كان الخط المستقيم يميل إلى أعلى من جهة اليسار إلى اليمين. بينما تكون قيمة ﻡ سالبة إذا كان الخط يميل إلى أسفل من جهة اليسار إلى اليمين. القيمة المطلقة لـ ﻡ تحدد مدى انحدار الميل، وإشارتها توضح اتجاه الميل. فمثلًا، المعادلة: ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ زائد أربعة سيكون ميلها أكثر انحدارًا من المعادلة: ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص سبعة. هذا لأن قيمة ﻡ أكبر في المعادلة الأولى. ولأن ﻡ تمثل الميل، فإن قيمة ﻡ هي معدل التغير الرأسي في إحداثيي ﺹ على التغير الأفقي في إحداثيات ﺱ بين أي نقطتين.
يمكن كتابة هذا باستخدام الصيغة التالية. ﻡ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد؛ حيث النقطتان ﺃ وﺏ على الخط لهما الإحداثيات: ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنان، ﺹ اثنان. وهذا يشار إليه عادة باسم التغير في ﺹ على التغير في ﺱ، أو التغير الرأسي على التغير الأفقي. سنرى الآن كيف يمكننا تطبيق هذه المعادلة لإيجاد ميل دالة خطية بمعلومية تمثيلها البياني.
ما ميل الدالة الممثلة بالشكل المعطى؟
نعلم أن التمثيل البياني لأي خط مستقيم يجب أن يكون دالة خطية تكتب على الصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ؛ حيث قيمة ﻡ هي ميل الدالة أو انحدارها. يمكن حساب قيمة الميل ﻡ باستخدام الصيغة التالية. ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد؛ حيث ﺃ وﺏ هما نقطتان ممثلتان على الخط لهما الإحداثيات: ﺱ واحد وﺹ واحد، وﺱ اثنان وﺹ اثنان. نبدأ باختيار أي نقطتين على الخط المستقيم لدينا. وإذا أمكن، فمن المفيد عادة اختيار نقطتين حيث يقطع الخط المستقيم المحور ﺱ عند إحداهما، ويقطع المحور ﺹ عند الأخرى. في هذه الحالة، النقطة ﺃ لها الإحداثيان: صفر، ١٠؛ والنقطة ﺏ لها الإحداثيان: خمسة، صفر.
في هذه المرحلة، من المفيد عادة رسم مثلث قائم الزاوية على التمثيل البياني لدينا. فهذا سيساعدنا على حساب التغير في ﺹ والتغير في ﺱ، أو ما يعرف أحيانًا باسم التغير الرأسي والتغير الأفقي. بالتعويض عن إحداثيي ﺹ في الصيغة يصبح لدينا صفر ناقص ١٠. وبالتعويض عن إحداثيي ﺱ نحصل على خمسة ناقص صفر. لا يهم أي من النقطتين سيكون: ﺱ واحد، ﺹ واحد، وأيهما سيكون: ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. لكن يجب أن تكون النقاط متسقة مع هذا الترتيب. صفر ناقص ١٠ يساوي سالب ١٠. خمسة ناقص صفر يساوي خمسة. سالب ١٠ على خمسة يساوي سالب اثنين. هذا يعني أن ميل الدالة الممثلة على التمثيل البياني يساوي سالب اثنين.
يمكننا التحقق من ذلك على التمثيل البياني من خلال النظر إلى التغير الرأسي والتغير الأفقي. فالتغير الرأسي سالب ١٠؛ إذ تنخفض قيمة الإحداثي ﺹ من ١٠ إلى صفر. والتغير الأفقي خمسة؛ إذ تزداد قيمة الإحداثي ﺱ من صفر إلى خمسة. ومرة أخرى، يصبح لدينا سالب ١٠ مقسومًا على خمسة. ومن المهم أن نتأكد أن أي خط مستقيم يمتد إلى أعلى من جهة اليسار إلى اليمين سيكون له ميل موجب. وأي خط مستقيم يمتد إلى أسفل من جهة اليسار إلى اليمين سيكون له ميل سالب. وبما أن الخط المرسوم لدينا يمتد إلى أسفل من جهة اليسار إلى اليمين، فمن المنطقي الحصول على قيمة سالبة.
سنتناول الآن سؤالًا آخر يتضمن تمثيلًا بيانيًا.
احسب ميل الخط المستقيم الموضح في التمثيل البياني.
نعلم أن أي خط مستقيم هو دالة خطية، يمكن كتابتها على الصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﻡ هو ميل الخط. يمكن حساب قيمة ﻡ باستخدام الصيغة: ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. وهذا عبارة عن التغير في إحداثيات ﺹ على التغير في إحداثيات ﺱ، الذي يعرف أحيانًا باسم التغير الرأسي على التغير الأفقي. نبدأ الحل باختيار أي نقطتين على الخط، وليكن — مثلًا — النقطتين ﺃ وﺏ، وهما بالإحداثيات: ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان. ولا يهم أي نقطتين سنختار، لكن من المنطقي أن نختار نقطتين إحداثياتهما أعداد صحيحة حيثما أمكن.
في هذا السؤال، سنختار النقطتين الموضحتين على التمثيل البياني. النقطة ﺃ إحداثياها: صفر، واحد؛ والنقطة ﺏ إحداثياها: اثنان، سبعة. ويجدر بنا هنا رسم مثلث قائم الزاوية على التمثيل البياني لإظهار التغير الرأسي والتغير الأفقي. التغير الرأسي في هذه الحالة يساوي ستة؛ لأن التغير في إحداثيي ﺹ يساوي ستة. أما التغير الأفقي، فيساوي اثنين. هذا يعني أننا نتوقع أن يساوي الميل ستة على اثنين، وهذا يساوي ثلاثة.
يمكننا التحقق من هذا عن طريق التعويض بالإحداثيات في الصيغة. إحداثيا ﺹ كانا: سبعة، واحدًا. وإحداثيا ﺱ المناظران كانا: اثنين، صفرًا. ويبسط ذلك إلى ستة على اثنين، وهو ما يعطينا الناتج ثلاثة. إذن، ميل الخط المستقيم الموضح في التمثيل البياني هو ثلاثة. ويجدر هنا أن نتذكر أن أي خط مستقيم يميل إلى أعلى من جهة اليسار إلى اليمين سيكون له ميل موجب. وثلاثة عدد موجب، وهذا يعني أن إجابتنا صحيحة.
سنستعرض الآن سؤالًا يتضمن إيجاد ميل دالة خطية باستخدام جدول.
ما ميل الدالة الخطية الممثلة في الجدول المعطى؟
نعلم أن معادلة أي دالة خطية تكتب على الصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﻡ هو ميل الدالة، وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. ويمكننا حساب قيمة الميل ﻡ باستخدام الصيغة التالية: ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. وهذا عبارة عن التغير في إحداثيات ﺹ على التغير في إحداثيات ﺱ؛ حيث أي نقطتين ﺃ وﺏ لهما الإحداثيات: ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان على الترتيب.
في الجدول، لدينا ثلاثة إحداثيات، أولها: صفر، وأربعة. والإحداثي الثاني فيه قيمة ﺱ تساوي اثنين، وقيمة ﺹ تساوي ١٠. والإحداثي الثالث، الذي سنطلق عليه ﺟ، هو: أربعة، و١٦. يمكننا اختيار أي إحداثي من هذه الإحداثيات الثلاثة. وفي هذا السؤال، سنبدأ بالنقطتين ﺃ وﺏ. إحداثيا ﺹ لهاتين النقطتين هما: ١٠، وأربعة. وإحداثيا ﺱ المناظران هما: اثنان، وصفر. الميل ﻡ يساوي ١٠ ناقص أربعة على اثنين ناقص صفر. ويبسط هذا إلى ستة على اثنين، وبذلك نحصل على الحل النهائي لقيمة الميل وهو ثلاثة.
يمكننا التحقق من هذه الإجابة عن طريق اختيار نقطتين أخريين، وفي هذه الحالة سنختار النقطتين ﺃ وﺟ. ومن ثم، فإن الميل هذه المرة يساوي ١٦ ناقص أربعة على أربعة ناقص صفر. ١٢ على أربعة يساوي أيضًا ثلاثة. وإذا استخدمنا النقطتين ﺏ وﺟ فسنحصل على الإجابة نفسها. ميل الدالة الخطية الممثلة بالجدول هو ثلاثة.
يمكننا أيضًا حساب قيمة الميل من خلال النظر في الجدول فقط. فالتغير في قيم ﺱ بين النقطة الأولى والثانية يساوي موجب اثنين. والتغير في قيم ﺹ بين النقطة الأولى والثانية يساوي موجب ستة. وبما أن الميل يساوي التغير في قيم ﺹ مقسومًا على التغير في قيم ﺱ، فإن هذا يعطينا الناتج ثلاثة أيضًا. فكل زيادة في قيمة ﺱ بمقدار وحدة واحدة، ستقابلها زيادة في قيم ﺹ بمقدار ثلاث وحدات.
سيتضمن السؤال التالي تمثيلًا بيانيًا في سياق واقعي.
يوضح التمثيل البياني المسافة التي قطعتها لبنى في جولة على دراجتها لمدة ساعتين. أي مما يلي صواب؟ (أ) قطعت المسافة بسرعة ثابتة مقدارها أربعة أميال لكل ساعة خلال الساعة الأخيرة من جولتها. (ب) قطعت المسافة بسرعة ثابتة مقدارها ١٠ أميال لكل ساعة طوال جولتها. (ج) قطعت المسافة بسرعة ثابتة مقدارها ثمانية أميال لكل ساعة خلال الساعة الأخيرة من جولتها. (د) قطعت المسافة بسرعة ثابتة مقدارها سبعة أميال لكل ساعة طوال جولتها.
بالنظر إلى التمثيل البياني نجد أن المحور ﺱ يمثل الزمن بالساعات، والمحور ﺹ يمثل المسافة بالأميال. يمكن حساب السرعة في أي تمثيل بياني محوراه المسافة والزمن عن طريق قسمة التغير في المسافة بين أي نقطتين على التغير في الزمن. إذا كان التمثيل البياني عبارة عن خط مستقيم طوال الرحلة، فإن المسافة قد قطعت بسرعة ثابتة. وبالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا أن نلاحظ وجود ثلاثة أجزاء من الرحلة لكل منها ميل أو انحدار مختلف. وهذا يعني أن لبنى خلال هذه الأجزاء الثلاثة كانت تقطع المسافة بسرعات مختلفة.
وعليه، يمكننا استبعاد الخيارين (ب) و(د)؛ لأن هذين الخيارين أشارا إلى أن لبنى قطعت المسافة بسرعة ثابتة طوال جولتها. وهذا ليس صحيحًا؛ حيث إنها قطعت المسافة بثلاث سرعات مختلفة. أما الخياران الآخران، فهما يتعلقان بالساعة الأخيرة من رحلة لبنى. وهذا يحدث بين النقطتين ﺃ وﺏ على التمثيل البياني. ويمكننا حساب الميل بين أي نقطتين على التمثيل البياني باستخدام الصيغة التالية: ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. وهذا عبارة عن التغير في إحداثيي ﺹ على التغير في إحداثيي ﺱ، وفي هذه الحالة يعبر عن التغير في المسافة على التغير في الزمن.
النقطة ﺃ إحداثياها: صفر، و١٠؛ والنقطة ﺏ إحداثياها: اثنان، و١٤. الإحداثيان ﺹ أو المسافة هنا هي: ١٤، و١٠. والإحداثيان ﺱ المناظران هما: اثنان، وواحد. ١٤ ناقص ١٠ يساوي أربعة، واثنان ناقص واحد يساوي واحدًا. وهذا يعني أن ميل الخط بين النقطتين ﺃ وﺏ يساوي أربعة. وكان يمكننا أيضًا إيجاد هذا الميل عن طريق رسم مثلث قائم الزاوية على التمثيل البياني. ونلاحظ هنا أن المسافة قد ازدادت من ١٠ إلى ١٤. والزمن تغير من ساعة واحدة إلى ساعتين. أربعة مقسومًا على واحد يساوي أربعة. إذن، مرة أخرى، نحصل على الميل يساوي أربعة.
وبما أن الميل في التمثيل البياني الذي محوراه المسافة والزمن يساوي السرعة، فيمكننا أن نستنتج أن سرعة الدراجة في آخر ساعة كانت أربعة أميال لكل ساعة. وهذا يستبعد الخيار (ج)، وعليه، فإن الخيار (أ) هو الخيار الصحيح. قطعت لبنى المسافة بسرعة ثابتة مقدارها أربعة أميال لكل ساعة على مدار الساعة الأخيرة من جولتها.
سنراجع الآن بعض النقاط الأساسية الواردة في هذا الفيديو. التمثيل البياني لأي دالة خطية يكون عبارة عن خط مستقيم. الدوال الخطية لها معدل تغير ثابت، مما يعني أن الفرق بين إحداثيي ﺹ بين أي نقطتين على الخط المستقيم يتناسب مع الفرق بين إحداثيي ﺱ لنفس النقطتين. معدل التغير هو ميل الخط المستقيم. بوجه عام، تكتب معادلة الخط المستقيم على الصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﻡ هو ميل الخط أو انحداره، وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. وذلك هو النقطة التي يقطع عندها الخط المستقيم المحور ﺹ.
وأخيرًا، الميل ﻡ لخط مستقيم هو معدل التغير الرأسي على التغير الأفقي بين أي نقطتين. فبالنسبة إلى النقطة ﺃ بالإحداثيات: ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ والنقطة ﺏ بالإحداثيات: ﺱ اثنين، ﺹ اثنين؛ يكون الميل ﻡ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. وإذا كان العدد الناتج موجبًا، فإن الخط يميل إلى أعلى من جهة اليسار إلى اليمين. وإذا كان سالبًا، فإن الخط يميل إلى أسفل من جهة اليسار إلى اليمين.
