تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حل معادلات الجذور التربيعية والتكعيبية

أحمد مدحت

يوضِّح الفيديو معنى المعادلات الجذرية، ويعرض خطوات حل المعادلات الجذرية، مع أمثلة توضِّح كيفية حل معادلات الجذور التربيعية والتكعيبية.

٠٨:٤٨

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن حلّ معادلات الجذور التربيعية والتكعيبية.

هنعرف في الفيديو ده إزاي نحلّ معادلات الجذور التربيعية والتكعيبية. ففي الأول المعادلات الجذرية بصفة عامة هي عبارة عن المعادلات اللي بتحتوي على مقادير جذرية بيكون المتغيّر فيها موجود تحت الجذر. وعلشان نحلّ النوع ده من المعادلات، فإحنا بنرفع طرفَي المعادلة لأُس معيّن. وإحنا في الفيديو ده هنشوف حلّ معادلات الجذور التربيعية والتكعيبية. يعني المتغيّر هيكون موجود يا إمّا تحت الجذر التربيعي، أو تحت الجذر التكعيبي. فهنبدأ نشوف خطوات حلّ المعادلات الجذرية.

علشان نحلّ المعادلات الجذرية، فإحنا في الأول هنخلّي الجذر يكون موجود في طرف واحد من الطرفين بتوع المعادلة.

بعد كده هنتخلّص من الجذر من خلال إن إحنا هنرفع طرفَي المعادلة لأُس بيساوي دليل الجذر. يعني لو عندنا جذر تربيعي، فإحنا هنرفع الطرفين لأُس اتنين؛ يعني هنربّع الطرفين. ولو عندنا جذر تكعيبي، فإحنا هنرفع الطرفين لأُس تلاتة؛ يعني هنكعّب الطرفين.

وبعد كده هنحلّ معادلة كثيرة الحدود اللي هتَنتج، وبعد كده هنتحقّق من صحة الحل.

بعد كده هنشوف الأمثلة. هنبدأ الأول بمثال نعرف بيه إزاي نحلّ معادلات الجذور التربيعية بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال.

في المثال اللي عندنا عايزين نحلّ المعادلة: الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين، زائد أربعة تساوي سبعة.

أول حاجة هنعملها إن إحنا عايزين نخلّي الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين في طرف واحد من الطرفين بتوع المعادلة. وبالتالي عايزين نتخلّص من موجب أربعة، فهنطرح من طرفَي المعادلة أربعة. فهيبقى عندنا الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين يساوي تلاتة.

بعد كده عايزين نتخلّص من الجذر اللي عندنا، وده هيكون من خلال إن إحنا هنرفع طرفَي المعادلة لأُس بيساوي الدليل بتاع الجذر. والجذر اللي عندنا جذر تربيعي، يعني الدليل بتاعه بيساوي اتنين. فهنرفع طرفَي المعادلة لأُس اتنين؛ يعني هنربّع الطرفين بتوع المعادلة. فهيبقى عندنا الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين الكل تربيع يساوي تلاتة تربيع. يعني هيبقى س زائد اتنين يساوي تسعة.

بعد كده عايزين نجيب قيمة س فهنطرح من طرفَي المعادلة اتنين، فهنلاقي س تساوي سبعة؛ وهو ده حلّ المعادلة. وبعد ما أوجدنا الحل هنبدأ نتحقّق من صحته. فإحنا عندنا المعادلة الأصلية هي: الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين، زائد أربعة تساوي سبعة. هنعوّض عن س بسبعة في الطرف الأيمن من المعادلة، وهنشوف هل الطرفين متساويين ولّا لأة.

فلمّا هنعوّض هنلاقي إن الطرف الأيمن عبارة عن الجذر التربيعي لسبعة زائد اتنين، زائد أربعة. فلمّا هنجيب قيمته هنلاقيه بيساوي سبعة، والطرف الأيسر بيساوي سبعة. معنى كده إن الطرف الأيمن بيساوي الطرف الأيسر؛ يعني الحل بتاعنا صحيح. بعد كده هنقلب الصفحة. هنشوف مثال كمان، هيظهر لنا المثال.

في المثال اللي عندنا عايزين نحلّ المعادلة: الجذر التربيعي لـ س ناقص اتناشر يساوي اتنين ناقص، الجذر التربيعي لـ س.

أول حاجة هنعملها إن إحنا هنتخلّص من الجذر اللي عندنا من خلال تربيع الطرفين بتوع المعادلة. فبالنسبة للمعادلة الأصلية فهي: الجذر التربيعي لـ س ناقص اتناشر تساوي اتنين ناقص، الجذر التربيعي لـ س. هنربّع الطرفين بتوع المعادلة. فهيبقى عندنا الجذر التربيعي لـ س ناقص اتناشر الكل تربيع يساوي اتنين ناقص الجذر التربيعي لـ س الكل تربيع. يعني س ناقص اتناشر يساوي أربعة ناقص، أربعة الجذر التربيعي لـ س، زائد س.

بعد كده عايزين نخلّي الجذر في طرف من الطرفين بتوع المعادلة، فهنطرح من طرفَي المعادلة س زائد أربعة. فهيبقى عندنا سالب ستاشر يساوي سالب أربعة الجذر التربيعي لـ س. بعد كده هنقسم طرفَي المعادلة على سالب أربعة، فهيبقى أربعة تساوي الجذر التربيعي لـ س. وعلشان نجيب قيمة س، فإحنا محتاجين نتخلّص من الجذر اللي عندنا، فهنربّع الطرفين، وبالتالي ستاشر تساوي س.

بعد كده هنتحقّق من الحل اللي عندنا. المعادلة الأصلية هي: الجذر التربيعي لـ س ناقص اتناشر يساوي اتنين ناقص، الجذر التربيعي لـ س. فهنعوّض عن س بستاشر في الطرفين بتوع المعادلة، ونشوف هل الطرفين دول متساويين ولّا لأة.

فلمّا هنعوّض هنلاقي إن الطرف الأيمن بيساوي اتنين، والطرف الأيسر بيساوي سالب اتنين. معنى كده إن الطرف الأيمن لا يساوي الطرف الأيسر. معنى كده إن الحل اللي عندنا، واللي هو س تساوي ستاشر، هيبقى حلّ مرفوض.

نقدر برضو نتحقّق من الحل بتاع المعادلة من خلال تمثيل كل طرف من الطرفين بتوع المعادلة الأصلية بيانيًّا. وبعد كده بندوّر على نقط التقاطع. فهنمثّل الطرفين بتوع المعادلة اللي عندنا بيانيًّا زيّ ما هيظهر لنا.

هنلاحظ من خلال الشكل اللي عندنا إن التمثيلين البيانيين للطرفين بتوع المعادلة مش بيتقاطعوا. وده بيأكّد إن ما فيش حلّ حقيقي. يبقى معنى كده إن س تساوي ستاشر هيبقى حلّ مرفوض. معنى كده إن إحنا نقدر نستنتج إن الحل بتاع بعض المعادلات الجذرية ممكن ما يحقّقش المعادلة الأصلية. وفي الحالة دي الحل بيبقى حلّ مرفوض.

كده من خلال المثالين اللي حلّيناهم هنلاحظ إن إحنا علشان نتخلّص من الجذر التربيعي كنا بنرفع المقدار الجذري للأُس اتنين. يبقى علشان نتخلّص من الجذر التكعيبي فإحنا هنرفع المقدار الجذري للأُس تلاتة. فهنشوف مثال على حلّ معادلة جذر تكعيبي بس في الصفحة اللي جايّة. فهنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال.

عندنا في المثال عايزين نحلّ المعادلة: اتنين في؛ ستة س ناقص تلاتة الكل أُس تُلت، ناقص أربعة يساوي صفر.

بالنسبة للأُس تُلت اللي عندنا ده فمعناه الجذر التكعيبي، وبالتالي علشان نحلّ المعادلة فإحنا عايزين نتخلّص من الأُس تِلت. لكن الأول هنخلّي المقدار المرفوع للأُس تُلت ده في طرف لوحده، بعد كده هنرفع طرفَي المعادلة للأُس تلاتة.

فالمعادلة الأصلية بتاعتنا هي: اتنين في؛ ستة س ناقص تلاتة الكل أُس تِلت، ناقص أربعة تساوي صفر. هنضيف لطرفَي المعادلة أربعة، فهيبقى عندنا اتنين في، ستة س ناقص تلاتة الكل أُس تِلت يساوي أربعة.

بعد كده هنقسم طرفَي المعادلة على اتنين، فهيبقى عندنا: ستة س ناقص تلاتة الكل أُس تُلت يساوي اتنين. كده بقى عندنا المقدار المرفوع لأُس تُلت في طرف لوحده من الطرفين بتوع المعادلة. فهنتخلّص منه من خلال إن إحنا هنرفع طرفَي المعادلة للأُس تلاتة؛ يعني هنكعّب طرفَي المعادلة. بالتالي هيبقى عندنا: ستة س ناقص تلاتة الكل أُس تُلت الكل أُس تلاتة يساوي اتنين أُس تلاتة. يعني معنى كده هيبقى ستة س ناقص تلاتة يساوي تمنية.

بعد كده هنجمع على طرفَي المعادلة تلاتة، فهيبقى عندنا ستة س تساوي حداشر. بعد كده هنقسم طرفَي المعادلة على ستة، فهنلاقي س تساوي حداشر على ستة.

بعد كده هنتحقّق مِ الحل اللي عندنا. فالمعادلة الأصلية هي: اتنين في؛ ستة س ناقص تلاتة الكل أُس تِلت، ناقص أربعة تساوي صفر. هنبدأ نعوّض في الطرف الأيمن من المعادلة عن س بحداشر على ستة، ونشوف هل الطرف الأيمن بيساوي الطرف الأيسر ولّا لأ.

فلمّا هنعوّض عن س هنلاقي الطرف الأيمن بيساوي صفر. وبالنسبة للطرف الأيسر فبرضو بيساوي صفر. يبقى معنى كده إن الطرف الأيمن هيساوي الطرف الأيسر. وده معناه إن الحل اللي عندنا، واللي هو س تساوي حداشر على ستة، هيبقى حلّ صحيح.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إزاي نحلّ معادلات الجذور التربيعية والتكعيبية. فلمّا بيبقى عندنا معادلة جذرية كنا في الأول بنخلّي الجذر يكون موجود في طرف واحد من الطرفين بتوع المعادلة. بعد كده بنرفع طرفَي المعادلة لأُس بيساوي دليل الجذر. يعني لو عندنا جذر تربيعي فهنرفع الطرفين لأُس اتنين؛ يعني هنربّع الطرفين. ولو عندنا جذر تكعيبي، فإحنا هنرفع الطرفين لأُس تلاتة؛ يعني هنكعّب الطرفين. بعد كده بنحلّ كثيرة الحدود اللي هتَنتج، وبعد كده بنتحقّق من صحة الحل اللي إحنا وصلنا له.