تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: تطبيقات على انتقال التمثيل البياني للدوال المثلثية

سوزان فائق

يعرض الفيديو تطبيقات على انتقال التمثيل البياني للدوال المثلثية من حياتنا العملية، وكيفية رسم هذه الدوال المثلثية.

٠٩:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على تطبيقات على انتقال التمثيل البياني للدوال المثلثية، وإزّاي هنعرف نرسمها. موجة الجيب بتحدُث في الفيزياء، ومعالجة الإشارات، والموسيقى، والهندسة الكهربية، والكثير من المجالات الأخرى. عشان كده، بنبقى محتاجين نرسمها، ونعرف خصائص معينة لكل موجة عندنا.

ده الشكل العام لدالة الجيب: ص يساوي أ جا ب، 𝜃 ناقص ز، زائد الـ ك. الـ أ قيمة السعة للدالة، اللي هو نص الفرق ما بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى. والـ ب طول الدورة، اللي هو إمتى الدالة بتبتدي تكرّر نفسها. الـ ز إزاحة الطور، اللي هو قيمة الإزاحة الأفقية، على محور 𝜃. اللي هي بنوديه يمين أو شمال، حسب قيمة الـ ز، لو كانت أكبر من الصفر أو أصغر من الصفر. الـ ك اللي هو الإزاحة الرأسية، إذا كانت إلى أعلى أو إلى أسفل، بالنسبة لمحور الصادات. الـ ك لو كانت موجبة، هنروح إلى أعلى. لو كانت سالبة، هننزل إلى أسفل.

هنشوف خطوات الرسم لدالة مثلثية، فيها إزاحة للطور، وإزاحة رأسية. أول خطوة عندنا بنحدّد مقدار الإزاحة الرأسية. وبنرسم خط الوسط، اللي بيورّي لنا فين الرسم هيبقى موجود بالظبط. اللي هو الخط اللي بيتذبذب عليه الدالة. بعد كده بنحدّد السعة إن وُجدت. وبنستخدمها لرسم خط متقطّع، يوضّح القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة. بعد كده بنحدّد طول دورة الدالة، وبنرسم الدالة المناسبة. رابع خطوة بنحدّد إزاحة الطور، اللي هي الإزاحة الأفقية. وبننقل الرسم تبعًا لقيمة الإزاحة. دي الخطوات العامة، لرسم أيّ دالة مثلثية، فيها إزاحة للطور، والإزاحة الرأسية.

نقلب الصفحة، ونشوف تطبيق على الدوال المثلثية. مثال بيقول: ارتفاع المياه في موجة مولَّدة في حمام السباحة، يتذبذب بين قيمة عظمى أربعة متر، وقيمة صغرى واحد ونص متر. ومولِّد الموجات يولِّد ست موجات كل دقيقة. اكتب دالة جيبية تعبّر عن ارتفاع المياه عند الزمن ن ثانية، ثم ارسم الدالة.

أول حاجة معادلة خط الوسط. خط الوسط اللي بيبقى في نص المسافة، بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة. يعني لو عبّرنا عن ارتفاع المياه ع، والزمن ن. يبقى معادلة خط الوسط هتبقى ع تساوي القيمة العظمى اللي هي أربعة، والقيمة الصغرى واحد ونص؛ على اتنين. يبقى هو ده قيمة خط الوسط. يبقى ع تساوي اتنين وخمسة وسبعين من مية. دي معادلة خط الوسط. القيمة دي بتعبّر عن الإزاحة الرأسية للدالة. وبما إن قيمها موجبة، يبقى الإزاحة إلى أعلى. يعني قيمة الثابت ك هيساوي اتنين وخمسة وسبعين من مية.

نفتكر معانا شكل العام لدالة الجيب، اللي هو ص تساوي أ جا ب، 𝜃 ناقص ز، زائد الـ ك. الـ ك جِبنا قيمتها، اللي هي اتنين وخمسة وسبعين من مية، اللي جِبناها من معادلة خط الوسط. تاني خطوة عندنا، تاني خطوة هنجيب السعة. اللي هي هتبقى الفرق ما بين قيمة العظمى للدالة، وخط الوسط. يعني أربعة ناقص اتنين خمسة وسبعين من مية. وهناخد القيمة المطلقة لها. ودي بتمثّل لنا القيمة أ. اللي هي هتساوي واحد وربع.

تالت خطوة هنشوف طول الدورة. وطول الدورة بيبقى قيمته اتنين 𝜋 على القيمة المطلقة للـ ب. عندنا طول الدورة نقدر نجيبها من السؤال. يبقى عايزين نجيب قيمة الـ ب. بما أنه يوجد ست موجات في كل دقيقة، يعني ست موجات في كل ستين ثانية. يبقى موجة واحدة كل عشر ثواني، ده بيمثّل طول الدورة. يبقى القيمة عندنا عشرة هتساوي اتنين 𝜋، على القيمة المطلقة للـ ب. يبقى كده الـ ب ممكن تبقى موجبة أو سالبة، اتنين 𝜋 على عشرة. يعني موجب وسالب 𝜋 على خمسة. يبقى الدالة بتكرّر نفسها كل 𝜋 على خمسة، ومضاعفاتها؛ لأن دي دالة دورية.

كده جِبنا قيمة الـ أ، وقيمة الـ ب. والـ ز هتساوي صفر؛ لأن ما فيش إزاحة أفقية للدالة. يبقى نقدر نكتب معادلة الدالة. نقلب الصفحة، ونشوف هتبقى شكلها عامل إزّاي. هتبقى معادلة الدالة الجيبية أ جا ب، ن ناقص ز، زائد الـ ك. الـ ك جِبنا قيمتها، اللي هي اتنين وخمسة وسبعين من مية. والـ ز قيمتها صفر. الـ ب قيمتها 𝜋 على خمسة. والـ أ واحد وربع. حيث الـ ع بتمثّل ارتفاع الموجة عند الزمن ن، يبقى ع هتساوي خمسة على أربعة جا 𝜋 على خمسة ن، زائد حداشر على أربعة. يبقى هي دي الدالة الجيبية، اللي بتعبّر عن علاقة، ما بين ارتفاع الموجة والزمن ن بالثواني.

نرسم رسم الدالة دي هيبقى شكلها عامل إزّاي؟ هو ده رسم الدالة. خطوات الرسم، بنبقى أول حاجة بنرسم خط الوسط عند حداشر على أربعة. اللي إحنا قلنا عليها قيمة الإزاحة الرأسية. وبعد كده بنرسم قيمة عظمى والقيمة الصغرى، الخطوط بتاعتها. الإزاحة الرأسية قيمتها حداشر عَ الأربعة. وبنزوّد عليها قيمة سعة الدالة. اللي هي القيمة خمسة على أربعة فوق، وخمسة على أربعة تحت. اللي هي القيمة دي. وبعد كده بنرسم الدالة الجيبية، اللي قيمتها جا 𝜋 على خمسة ن، مضروبة في الخمسة عَ الأربعة. ولو كان فيه إزاحة أفقية، فبنبقى نحرّك الرسم يا إمّا يمين أو شمال، حسب قيمة الـ ز.

عندنا هنا عند خمسة ثواني، لو عوّضنا بالـ ن تساوي خمسة، يبقى المفروض الـ ع هتبقى هي القيمة دي. يبقى ع تساوي خمسة على أربعة جا 𝜋 على خمسة. مضروبة في الخمسة، اللي هو عدد الثواني. زائد حداشر على أربعة. جا 𝜋 على خمسة مضروبة في خمسة، يعني جا 𝜋، اللي هو قيمتها صفر. زائد حداشر على أربعة، اللي هو قيمة خط الوسط. يبقى معادلة خط الوسط، اللي هي ع تساوي حداشر على أربعة، هي فعلًا دي القيمة الصحيحة، عشان نتأكّد إن إحنا رسْمنا سليم.

يبقى خطوات الحل هتبقى … واحد: خط الوسط. اتنين: القيمة العظمى والقيمة الصغرى، هنرسم معادلتهم. وبعد كده نرسم الدالة خمسة على أربعة جا 𝜋 على خمسة ن، زائد حداشر عَ الأربعة. فيه ملحوظة مهمة: في الدوال الرئيسية الأم، بيمكن التعبير عن الدوال المثلثية، بأكتر من معادلة. زيّ إن الـ ص تساوي جتا 𝜃، هي نفسها التمثيل البياني للـ ص تساوي جا 𝜃 زائد 𝜋 عَ الاتنين. يعني رسْمة الـ جتا، هي نفس رسْمة الـ جا؛ بس فيه حاصل إزاحة أفقية بمقدار 𝜋 على اتنين.

في الفيديو ده اتكلمنا على تطبيقات على انتقال التمثيل البياني للدوال المثلثية، واستخدماتهم في حياتنا. إزّاي بنرسم دالة الجيب. وإزّاي بنطلّع قيم خط الوسط. وإزّاي نعرف السعة، وطول الدورة، والإزاحة الرأسية، وإزّاي نرسمهم. وعرفنا كمان إن بعض الدوال المثلثية، ممكن نمثّلها بأكتر من معادلة، بيبقوا نفس التمثيل البياني زيّ بعض.