فيديو السؤال: معرفة جيب تمام أو جيب أو ظل زاويتين وإيجاد جيب التمام أو الجيب أو الظل لمجموعهما أو الفرق بينهما

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ‪cos 𝜃‬‏ يساوي سالب جذر خمسة على ثلاثة؛ حيث ‪𝜃‬‏ تقع بين صفر و‪𝜋‬‏، و‪cos 𝜑‬‏ يساوي جذر اثنين على ثلاثة؛ حيث ‪𝜑‬‏ تقع بين صفر و‪𝜋‬‏، فأوجد قيمة ‪cos 𝜑‬‏ زائد ‪𝜃‬‏ الدقيقة.

هدفنا هو إيجاد قيمة ‪cos 𝜑‬‏ زائد ‪𝜃‬‏. ربما ترغب في استخدام الدالة العكسية لجيب التمام لإيجاد قيم ‪𝜃‬‏ و‪𝜑‬‏ ثم جمع القيمتين وإيجاد جيب تمام مجموعهما. ولكننا نبحث الآن عن القيمة الدقيقة، والتي قد لا تعطيك الآلة الحاسبة إياها إذا استخدمت هذه الطريقة.

الطريقة الفضلى هي استخدام صيغة الزوايا المتعددة، التي تعطينا جيب تمام مجموع زاويتين بدلالة جيب تمام وجيب هاتين الزاويتين. علينا إيجاد ‪cos 𝜑‬‏ زائد ‪𝜃‬‏، إذن يمكننا جعل ‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝜑‬‏ و‪𝐵‬‏ يساوي ‪𝜃‬‏. وهو ما يبدو مبشرًا؛ لأننا نعرف قيمتي ‪cos 𝜑‬‏ و‪cos 𝜃‬‏ من السؤال. لكن السؤال لم يخبرنا صراحة بقيم ‪sin 𝜑‬‏ أو ‪sin 𝜃‬‏. سيكون علينا إيجادهما.

هيا نبدأ بإيجاد ‪sin 𝜑‬‏. مرة أخرى، ربما نريد استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ‪𝜑‬‏. سيكون ذلك الدالة العكسية لجذر اثنين على ثلاثة. وبما أن لدينا ‪𝜑‬‏، يمكننا استخدام الآلة الحاسبة مرة أخرى لإيجاد ‪sin 𝜑‬‏.

ومع ذلك، نحن نريد القيمة الدقيقة في النهاية، ولا يوجد ضامن أن الآلة الحاسبة ستعطينا هذه القيمة الدقيقة. بدلًا من ذلك، سنستخدم حقيقة أن ‪cos 𝜑‬‏ تربيع زائد ‪sin 𝜑‬‏ تربيع يساوي واحدًا. وهو ما ينطبق على أي زاوية، وبالتالي ينطبق بلا شك على ‪𝜑‬‏.

نعرف أن ‪cos 𝜑‬‏ هو جذر اثنين على ثلاثة، إذن ‪cos 𝜑‬‏ تربيع يساوي جذر اثنين على ثلاثة تربيع. وجذر اثنين على ثلاثة تربيع هو اثنان على تسعة. بإعادة الترتيب، نجد أن ‪sin 𝜑‬‏ تربيع يساوي سبعة على تسعة، إذن ‪sin 𝜑‬‏ يساوي موجب أو سالب جذر سبعة على تسعة.

لدينا قيمتان محتملتان لـ ‪sin 𝜑‬‏، وسنختار بينهما. وإلا فسينتهي الأمر بوجود قيم عديدة ممكنة لـ ‪cos 𝜑‬‏ زائد ‪𝜃‬‏. سنفعل ذلك باستخدام المعلومة الإضافية التي نعرفها، وهي أن ‪𝜑‬‏ تقع بين صفر و‪𝜋‬‏. وبالتفكير في دائرة الوحدة أو التمثيل البياني للدالة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪sin 𝑥‬‏، يمكننا أن نرى أن دالة الجيب موجبة في الفترة من صفر إلى ‪𝜋‬‏ راديان.

إذن ‪sin 𝜑‬‏ موجبة، ولذلك لا بد أن تكون جذر سبعة على تسعة وليس سالب جذر سبعة على تسعة. ونعرف أنه يمكننا إعادة كتابة ذلك بصورة جذر سبعة على ثلاثة.

بعد أن أوجدنا قيمة ‪sin 𝜑‬‏، يمكننا الانتقال لإيجاد قيمة ‪sin 𝜃‬‏. سنوجد هذه القيمة بالطريقة نفسها التي أوجدنا بها قيمة ‪sin 𝜑‬‏. نكتب العلاقة بين ‪sin 𝜃‬‏ و‪cos 𝜃‬‏، ونعوض بقيمة ‪cos 𝜃‬‏ التي نعرفها من السؤال، ثم نجري بعض العمليات الجبرية لنعرف أن قيمة ‪sin 𝜃‬‏ هي اثنان على ثلاثة أو سالب اثنين على ثلاثة. وكما سبق، بما أن ‪𝜃‬‏ تقع بين صفر و‪𝜋‬‏، فإن ‪sin 𝜃‬‏ ستكون موجبة أو على الأقل ليست سالبة. إذن ‪sin 𝜃‬‏ سيكون اثنين على ثلاثة وليس سالب اثنين على ثلاثة.

وبعد أن أوجدنا قيمة ‪sin 𝜃‬‏، يصبح لدينا الآن قيمتا ‪cos 𝜑‬‏ و‪cos 𝜃‬‏ من السؤال وقيمتا ‪sin 𝜑‬‏ و‪sin 𝜃‬‏ اللتان أوجدناهما. يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في الصيغة لدينا. ‏‏‪cos 𝜑‬‏ يساوي جذر اثنين على ثلاثة، و‪cos 𝜃‬‏ يساوي سالب جذر خمسة على ثلاثة، و‪sin 𝜑‬‏ يساوي جذر سبعة على ثلاثة، و‪sin 𝜃‬‏ يساوي اثنين على ثلاثة. باقي الخطوات مجرد عمليات حسابية.

نجد الناتجين باستخدام حقيقة أن جذر اثنين في جذر خمسة هو جذر ‪10‬‏، للحصول على سالب جذر ‪10‬‏ على تسعة ناقص اثنين جذر سبعة على تسعة. بتبديل ترتيب الحدين وتجميعهما في كسر واحد باستخدام المقام المشترك، يصبح لدينا سالب اثنين جذر سبعة زائد جذر ‪10‬‏ على تسعة.