فيديو السؤال: حل معادلات الدوال المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة ومتطابقات نسبية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة القيم التي تحقق جا 𝜃 ظتا 𝜃 يساوي سالب نصف؛ حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من أو تساوي ٩٠ درجة.

يوجد هنا سببان يوضحان عدم تمكننا من حل هذه المعادلة مباشرة. أولًا، أن لدينا حاصل ضرب دالتين مثلثيتين، وهما: جا 𝜃، وظتا 𝜃. ثانيًا، أن إحدى هذه الدوال المثلثية هي دالة مقلوب؛ حيث ظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. لذا، سنبدأ بإعادة كتابة المعادلة لتصبح: جا 𝜃 في واحد على ظا 𝜃 يساوي سالب نصف. بعد ذلك، نتذكر أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. ومن ثم، فإن مقلوب واحد على ظا 𝜃 يجب أن يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. إذن، يمكننا القول إن جا 𝜃 في جتا 𝜃 على جا 𝜃 يساوي سالب نصف.

نعلم أنه بغض النظر عن قيمة 𝜃، فإن جا 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃 سيساوي دائمًا واحدًا. لذا، علينا حل المعادلة لتصبح: جتا 𝜃 يساوي سالب نصف. سنضرب الدالة العكسية لـ جتا في طرفي المعادلة. وبالطبع، فإن الدالة العكسية لـ جتا لـ جتا 𝜃 تساوي ببساطة 𝜃، لذا 𝜃 يجب أن تساوي الدالة العكسية لـ جتا سالب نصف. الدالة العكسية لـ جتا سالب نصف تساوي ١٢٠ درجة. إذن، هذه هي إحدى قيم 𝜃 التي تحقق المعادلة لدينا.

لكن لدينا مشكلة صغيرة الآن. نريد إيجاد مجموعة القيم التي تحقق المعادلة لدينا؛ حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من أو تساوي ٩٠ درجة. القيمة ١٢٠ درجة لا تحقق هذا الشرط، لذا سنستخدم حقيقة أن جتا 𝜃 دالة دورية لنرى ما إذا كان يمكننا إيجاد أي حلول أخرى داخل هذه الفترة. يمكننا استحضار إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة. وبدلًا من ذلك، يمكننا استخدام التمثيل البياني للمنحنى ﺹ يساوي جتا 𝜃. وهو يبدو بهذا الشكل تقريبًا.

إننا نبحث عن قيم 𝜃 التي تحقق المعادلة داخل الفترة من صفر إلى ٩٠. يمكننا أن نمثل ذلك باستخدام هذا السهم الوردي. حللنا المعادلة لتصبح: جتا 𝜃 يساوي سالب نصف. لذا، إذا أضفنا المستقيم ﺹ يساوي سالب نصف إلى هذا الشكل، فسيبدو تقريبًا هكذا. فهو يقطع المنحنى ﺹ يساوي جتا 𝜃 عند ١٢٠ درجة. وهو ما أوجدناه من قبل. ويقطعه عند قيمة أخرى هنا كما هو موضح. لكنه لا يقطع المنحنى عند قيم 𝜃 الأكبر من أو تساوي صفرًا والأقل من أو تساوي ٩٠. وعليه، لا توجد حلول عند هذه الفترة. لذا، سنستخدم رمز المجموعة الخالية لتمثيل ذلك.