تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: حل معادلات الدوال المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة ومتطابقات نسبية الرياضيات

أوجد مجموعة القيم التي تحقق جا 𝜃 ظتا 𝜃 = −١‏/‏٢؛ حيث ٠° ≤ 𝜃 ≤ ٩٠°.

٠٣:٠٦

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة القيم التي تحقق جا 𝜃 ظتا 𝜃 يساوي سالب نصف؛ حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من أو تساوي ٩٠ درجة.

يوجد هنا سببان يوضحان عدم تمكننا من حل هذه المعادلة مباشرة. أولًا، أن لدينا حاصل ضرب دالتين مثلثيتين، وهما: جا 𝜃، وظتا 𝜃. ثانيًا، أن إحدى هذه الدوال المثلثية هي دالة مقلوب؛ حيث ظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. لذا، سنبدأ بإعادة كتابة المعادلة لتصبح: جا 𝜃 في واحد على ظا 𝜃 يساوي سالب نصف. بعد ذلك، نتذكر أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. ومن ثم، فإن مقلوب واحد على ظا 𝜃 يجب أن يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. إذن، يمكننا القول إن جا 𝜃 في جتا 𝜃 على جا 𝜃 يساوي سالب نصف.

نعلم أنه بغض النظر عن قيمة 𝜃، فإن جا 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃 سيساوي دائمًا واحدًا. لذا، علينا حل المعادلة لتصبح: جتا 𝜃 يساوي سالب نصف. سنضرب الدالة العكسية لـ جتا في طرفي المعادلة. وبالطبع، فإن الدالة العكسية لـ جتا لـ جتا 𝜃 تساوي ببساطة 𝜃، لذا 𝜃 يجب أن تساوي الدالة العكسية لـ جتا سالب نصف. الدالة العكسية لـ جتا سالب نصف تساوي ١٢٠ درجة. إذن، هذه هي إحدى قيم 𝜃 التي تحقق المعادلة لدينا.

لكن لدينا مشكلة صغيرة الآن. نريد إيجاد مجموعة القيم التي تحقق المعادلة لدينا؛ حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من أو تساوي ٩٠ درجة. القيمة ١٢٠ درجة لا تحقق هذا الشرط، لذا سنستخدم حقيقة أن جتا 𝜃 دالة دورية لنرى ما إذا كان يمكننا إيجاد أي حلول أخرى داخل هذه الفترة. يمكننا استحضار إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة. وبدلًا من ذلك، يمكننا استخدام التمثيل البياني للمنحنى ﺹ يساوي جتا 𝜃. وهو يبدو بهذا الشكل تقريبًا.

إننا نبحث عن قيم 𝜃 التي تحقق المعادلة داخل الفترة من صفر إلى ٩٠. يمكننا أن نمثل ذلك باستخدام هذا السهم الوردي. حللنا المعادلة لتصبح: جتا 𝜃 يساوي سالب نصف. لذا، إذا أضفنا المستقيم ﺹ يساوي سالب نصف إلى هذا الشكل، فسيبدو تقريبًا هكذا. فهو يقطع المنحنى ﺹ يساوي جتا 𝜃 عند ١٢٠ درجة. وهو ما أوجدناه من قبل. ويقطعه عند قيمة أخرى هنا كما هو موضح. لكنه لا يقطع المنحنى عند قيم 𝜃 الأكبر من أو تساوي صفرًا والأقل من أو تساوي ٩٠. وعليه، لا توجد حلول عند هذه الفترة. لذا، سنستخدم رمز المجموعة الخالية لتمثيل ذلك.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.