فيديو السؤال: مقارنة بين نقاط على التمثيل البياني لدالة والنقاط المناظرة لها على التمثيل البياني لدالتها العكسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

موضح فيما يأتي التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ ناقص سبعة. أي النقاط ﺃ اثنان، ثلاثة؛ وﺏ سالب اثنين، اثنان؛ وﺟ واحد، اثنان تقع على التمثيل البياني للدالة العكسية لـ ﺩﺱ؟

حسنًا، هناك طريقتان للإجابة عن هذا السؤال. لكن بما أننا لدينا التمثيل البياني للدالة الأصلية، فسنبدأ بالتفكير في الإجابة باستخدام التمثيل البياني. تحديدًا، ما التحويلة الهندسية التي تعطينا معكوس الدالة الأصلية على التمثيل البياني؟ يمكننا تحويل التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ إلى معكوسها بالانعكاس مرة واحدة حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. هذا يعني أنه لكل زوج من الإحداثيات، إذا كانت النقطة التي إحداثياتها ﺃ، ﺏ تقع على التمثيل البياني للدالة الأصلية، فسيناظرها النقطة التي إحداثياتها ﺏ، ﺃ على التمثيل البياني للدالة العكسية.

حسنًا، دعونا نضف الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ على التمثيل البياني للدالة، ثم نرسم الدالة العكسية. لا بد أن يتقاطع الخطان اللذان يمثلان الدالة الأصلية ودالتها العكسية عند الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ كما هو موضح. إذن، أي النقاط ﺃ وﺏ وﺟ يقع على التمثيل البياني للدالة العكسية؟ النقطة ﺃ اثنان، ثلاثة تقع هنا. من الواضح أنها لا تقع على أي من الخطين، وهذا هو الحال أيضًا مع النقطة ﺏ التي إحداثياتها سالب اثنين، اثنان. لكن إذا نظرنا جيدًا، فسنجد أن النقطة ﺟ التي إحداثياتها واحد، اثنان تقع بالفعل على هذا الخط. ويمكننا التحقق من ذلك بالنظر إلى النقطة اثنان، واحد. بما أن النقطة اثنان، واحد تقع على التمثيل البياني للدالة الأصلية، فإذا بدلنا موضعي قيمتي ﺱ وﺹ، فسيصبح لدينا النقطة واحد، اثنان التي تقع على التمثيل البياني للدالة العكسية. إذن الإجابة هي النقطة ﺟ. لكن ما الطرق الأخرى التي يمكن استخدامها للحل هنا؟

يمكننا أن نذكر أنفسنا بما نعنيه بالدالة العكسية. الدالة العكسية بشكل أساسي تعكس تأثير الدالة الأصلية. لذا دعونا نفكر في الدالة ﺩﺱ. سنضرب قيمة ﺱ في أربعة، ثم سنطرح سبعة من الناتج. والعملية العكسية لذلك هي إضافة سبعة ثم القسمة على أربعة. وبهذا نجد أن الدالة العكسية تساوي ﺱ زائد سبعة مقسومًا على أربعة. سنتناول بعد ذلك النقطة ﺟ. سنعوض بقيمة ﺱ، أي ﺱ يساوي واحدًا، في الدالة العكسية. إننا نتوقع هنا الحصول على ناتج يساوي اثنين. عند ﺱ يساوي واحدًا، فإن الدالة العكسية تساوي واحدًا زائد سبعة مقسومًا على أربعة. وهذا يعطينا ثمانية مقسومًا على أربعة؛ أي اثنين. وبذلك نكون قد تأكدنا من أن النقطة ﺟ التي إحداثياتها واحد، اثنان تقع على التمثيل البياني للدالة العكسية.