فيديو الدرس: منحنيات السرعة-الزمن الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب إزاحة أو عجلة جسيم يتحرك في خط مستقيم من منحنى السرعة-الزمن.

سنبدأ بتذكر السمات الأساسية لمنحنى السرعة-الزمن. السرعة المتجهة للجسم هي سرعته في اتجاه معين. وبالتالي، يمكن أن تأخذ قيمة موجبة أو سالبة. تقاس عادة السرعة المتجهة بوحدة المتر لكل ثانية، لكن يمكن قياسها أيضًا بوحدة الكيلومتر لكل ساعة أو الميل لكل ساعة. ومن ثم، يوضح منحنى السرعة-الزمن سرعة الجسم واتجاهه أثناء حركته خلال فترة زمنية محددة. عندما تقاس السرعة المتجهة بالمتر لكل ثانية، يقاس الزمن بالثواني. وبالمثل، إذا كانت السرعة المتجهة بوحدة الميل لكل ساعة أو الكيلومتر لكل ساعة، فإن الزمن يقاس بالساعات.

يمثل المحور الرأسي أو المحور ﺹ السرعة المتجهة، ويمثل المحور الأفقي الزمن. وبينما يمكن أن تأخذ السرعة المتجهة قيمة موجبة أو سالبة، يأخذ الزمن قيمة موجبة دائمًا. سنتناول الآن كيفية استخدام منحنى السرعة-الزمن لحساب عجلة الجسم وإزاحته. لننظر أولًا إلى العجلة على منحنى السرعة-الزمن. عندما تكون السرعة المتجهة بالمتر لكل ثانية، تقاس العجلة بالمتر لكل ثانية مربعة أو بالمتر لكل ثانية لكل ثانية. ويمكن كتابة ذلك بأي من هاتين الطريقتين. العجلة هي ميل المنحنى أو تدرجه. وفي هذا الفيديو، سنتناول التمثيلات البيانية ذات الخطوط المستقيمة فقط.

يمكننا إذن حساب العجلة بقسمة التغير في السرعة المتجهة على التغير في الزمن. هذا يساوي التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ أو فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات. بالنظر إلى الخط المستقيم الموضح، نجد أنه يمكننا حساب العجلة عن طريق رسم مثلث قائم الزاوية. نرمز إلى التغير في السرعة المتجهة بـ ﺹ، والتغير في الزمن بـ ﺱ. تغيرت السرعة المتجهة من مترين لكل ثانية إلى ستة أمتار لكل ثانية، لذا علينا طرح اثنين من ستة. وتغير الزمن من صفر إلى ست ثوان. ستة ناقص اثنين يساوي أربعة، وستة ناقص صفر يساوي ستة. بقسمة البسط والمقام على اثنين، يبسط هذا الكسر إلى ثلثين.

عجلة الجسم الموضحة هي ثلثا متر لكل ثانية مربعة أو ثلثا متر لكل ثانية لكل ثانية. نقسم وحدة بالمتر لكل ثانية على وحدة بالثواني. في هذا المثال، الخط المستقيم له ميل أو تدرج موجب. هذا يعني أن الجسم يتسارع. أما إذا كان ميل أو تدرج الخط المستقيم سالبًا، فإن الجسم يتباطأ. هذا يعني أن له عجلة سالبة. أما إذا كان لدينا خط أفقي على منحنى السرعة-الزمن، فإن العجلة تساوي صفرًا. هذا يعني أن الجسم يتحرك بسرعة ثابتة. سنتناول الآن كيفية حساب الإزاحة على منحنى السرعة-الزمن.

تمثل المساحة بين الخط المستقيم والمحور ﺱ إزاحة الجسم. إذا كانت هذه المساحة أعلى المحور ﺱ، فالإزاحة موجبة. أما إذا كانت أسفل المحور ﺱ، فتكون الإزاحة سالبة. يمكننا استخدام قيم الإزاحة على منحنى السرعة-الزمن لحساب المسافة الكلية المقطوعة. ولتسهيل حساب الإزاحة، يمكننا تقسيم التمثيل البياني إلى مثلثات، ومستطيلات، وأشباه منحرفات. سنتناول الآن بعض الأمثلة على منحنيات السرعة-الزمن.

استخدم منحنى السرعة-الزمن الموضح أدناه لإيجاد السرعة المتجهة بعد خمس ثوان، والفترة الزمنية التي تكون عندها السرعة المتجهة خمسة أمتار لكل ثانية.

في أي منحنى من منحنيات السرعة-الزمن تكون السرعة المتجهة ممثلة على المحور الرأسي أو المحور ﺹ، والزمن على المحور الأفقي أو المحور ﺱ. في الجزء الأول من هذا السؤال مطلوب منا حساب السرعة المتجهة بعد مرور خمس ثوان. يمكننا أن نرسم هنا خطًا رأسيًا لأعلى عند خمس ثوان. وعندما نصل إلى منحنى السرعة-الزمن، نرسم خطًا أفقيًا يصل إلى المحور ﺹ. وهذا سيعطينا السرعة المتجهة بعد مرور خمس ثوان. وهي تقع في المنتصف بين مترين وثلاثة أمتار لكل ثانية. يمكننا إذن استنتاج أنه بعد خمس ثوان، تصبح السرعة المتجهة ٢٫٥ متر لكل ثانية.

يطلب منا الجزء الثاني من السؤال إيجاد الفترة الزمنية التي تكون عندها السرعة المتجهة خمسة أمتار لكل ثانية. هذا يحدث خلال الجزء الأفقي من التمثيل البياني. خلال هذه الفترة، يتحرك الجسم بسرعة متجهة ثابتة. هذا يعني أن عجلته تساوي صفرًا. سأوضح هنا نقطة مهمة وإن لم يكن لها علاقة بهذا السؤال، وهي أنه عندما يميل الخط المستقيم لأعلى من اليسار إلى اليمين، تكون العجلة موجبة، وعندما يميل لأسفل، تكون العجلة سالبة. نلاحظ أن الجسم يتحرك بسرعة خمسة أمتار لكل ثانية بين نقطتين. تقع إحداهما عند ١٠ ثوان، والأخرى في منتصف المسافة بين ٢٠ و٢٥ ثانية. نقطة المنتصف بين ٢٠ و٢٥ هي ٢٢٫٥. بالتالي، فإن الجسم يتحرك بسرعة خمسة أمتار لكل ثانية بين ١٠ ثوان و٢٢٫٥ ثانية.

إذن، الإجابة الصحيحة هي ٢٫٥ متر لكل ثانية، والمتباينة ﻥ أكبر من أو تساوي ١٠ ثوان وأقل من أو تساوي ٢٢٫٥ ثانية.

سنتناول الآن بعض الأسئلة التي نحتاج فيها إلى حساب عجلة الجسم أو إزاحته.

يعبر منحنى السرعة-الزمن الموضح عن جسيم يتحرك في خط مستقيم. أوجد إزاحة الجسيم عند ﻥ يساوي ثانيتين.

إزاحة أي جسيم هي المسافة التي يقطعها من نقطة الأصل أو نقطة البداية. وعند التعامل مع منحنى السرعة-الزمن، نعلم أن الإزاحة هي المساحة بين المنحنى والمحور ﺱ. في هذ السؤال، نريد حساب الإزاحة عند ﻥ يساوي ثانيتين. لفعل ذلك، نرسم خطًا رأسيًا عند اثنين على المحور ﺱ أو المحور الأفقي. ينتج عن هذا مثلث قائم الزاوية. وإزاحة الجسيم هي مساحة هذا المثلث. لحساب مساحة أي مثلث، نضرب القاعدة في الارتفاع ثم نقسم على اثنين. قاعدة المثلث تساوي اثنين، والارتفاع يساوي ٣٠. إذن علينا ضرب اثنين في ٣٠ ثم القسمة على اثنين. وهو ما يساوي ٣٠.

وحدة قياس السرعة المتجهة في هذا السؤال هي السنتيمتر لكل ثانية، ووحدة قياس الزمن هي الثانية. هذا يعني أن وحدة الإزاحة هي السنتيمتر. إذن إزاحة الجسيم عند ﻥ يساوي ثانيتين هي ٣٠ سنتيمترًا.

يتناول السؤال التالي منحنى للسرعة-الزمن يتضمن سرعات متهجة موجبة وسالبة.

بالنظر إلى منحنى السرعة-الزمن لجسيم يتحرك في خط مستقيم، أوجد المسافة التي يقطعها الجسيم خلال الفترة الزمنية من صفر إلى ثمانية.

نتذكر هنا أنه في أي منحنى من منحنيات السرعة-الزمن، تكون الإزاحة هي المساحة بين المنحنى والمحور ﺱ. والإزاحة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة. فإذا كانت المساحة أعلى المحور ﺱ، تكون الإزاحة موجبة. وإذا كانت أسفل المحور ﺱ، تكون الإزاحة سالبة. لكن في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد المسافة. هذا يعني أننا سنأخذ القيمة المطلقة للإزاحات ونجمعها. يجب أن تكون قيمة المسافة موجبة. بالنظر إلى الفترة الزمنية من صفر إلى ثماني ثوان، نجد أن جزءًا من المنحنى يقع فوق المحور ﺱ وجزءًا منه أسفله.

لحساب المسافة التي يقطعها الجسيم، علينا حساب مساحة المثلث ومساحة شبه المنحرف ثم جمعهما. لو كنا نحسب الإزاحة، لكنا طرحنا مساحة شبه المنحرف من مساحة المثلث. تحسب مساحة أي مثلث بضرب القاعدة في الارتفاع ثم القسمة على اثنين. قاعدة هذا المثلث تساوي واحدًا، وارتفاعه يساوي خمسة. علينا إذن ضرب هذين العددين ثم القسمة على اثنين. خمسة مقسومًا على اثنين يساوي ٢٫٥. وبما أن وحدة السرعة المتجهة هنا هي المتر لكل ثانية، ووحدة الزمن هي الثانية، فإن وحدة المسافة والإزاحة في هذا السؤال هي المتر. ومن ثم، فإن الجسيم قطع مسافة ٢٫٥ متر خلال الفترة الزمنية من صفر إلى ثانية واحدة.

لحساب مساحة شبه المنحرف، نجمع طول الضلعين المتوازيين، ونقسم على اثنين، ثم نضرب في الارتفاع العمودي. طولا الضلعين المتوازيين لشبه المنحرف هما سبعة وأربعة. وارتفاعهما أو المسافة بين الضلعين المتوازيين يساوي خمسة. ‏‏١١ مقسومًا على اثنين يساوي ٥٫٥. وضرب هذا في خمسة يعطينا ٢٧٫٥. إذن المسافة المقطوعة بين ثانية واحدة وثماني ثوان هي ٢٧٫٥ مترًا. إذا كنا نريد إيجاد الإزاحة هنا، فستكون الإجابة سالب ٢٧٫٥ لأن شبه المنحرف يقع أسفل المحور ﺱ. يمكننا الآن حساب المسافة الكلية التي يقطعها الجسيم بجمع ٢٫٥ و٢٧٫٥. وهذا يساوي ٣٠ مترًا.

يتناول السؤال الأخير العجلة في منحنى السرعة-الزمن.

يوضح الشكل منحنى السرعة-الزمن لجسم يتحرك في خط مستقيم. أوجد تباطؤ الجسم خلال الجزء الأخير من حركته، إذا كان قد وصل إلى السكون بعد ١٠٠ ثانية من بدء الحركة.

نعلم أن العجلة في منحنى السرعة-الزمن تساوي ميل المنحنى أو تدرجه. يمكننا إذن حساب العجلة عند أي نقطة بقسمة التغير في السرعة المتجهة على التغير في الزمن. في هذا السؤال، السرعة المتجهة مقيسة بالمتر لكل ثانية، والزمن مقيس بالثواني. بقسمة المتر لكل ثانية على الثانية، نحصل على متر لكل ثانية لكل ثانية. نكتب ذلك في صورة متر لكل ثانية مربعة أو متر لكل ثانية تربيع.

عندما يكون ميل المنحنى أو تدرجه موجبًا، يتسارع الجسم. وعندما يكون ميله أو تدرجه سالبًا، يتباطأ الجسم. وأخيرًا، إذا كان الخط الموجود على منحنى السرعة-الزمن أفقيًا، فإن العجلة تساوي صفرًا، وسيتحرك الجسم بسرعة ثابتة. ما يعنينا في هذا السؤال هو التباطؤ في الجزء الأخير من المنحنى. وهذا يحدث بين ٩٠ ثانية و١٠٠ ثانية. انخفضت السرعة المتجهة خلال هذه الفترة من ٤٥ مترًا لكل ثانية إلى صفر متر لكل ثانية. وهذا يعني أن التغير في السرعة المتجهة يساوي صفرًا ناقص ٤٥.

كما ذكرنا، الفترة الزمنية تمتد من ٩٠ ثانية إلى ١٠٠ ثانية. إذن، التغير في الزمن يساوي ١٠٠ ناقص ٩٠. يمكن تبسيط ذلك إلى سالب ٤٥ على ١٠. عند القسمة على ١٠، نحرك كل الأرقام خانة واحدة إلى اليمين. وبقسمة عدد سالب على عدد موجب نحصل على ناتج سالب. وعليه، فإن عجلة الجسم تساوي سالب ٤٫٥ أمتار لكل ثانية تربيع. والتباطؤ هو القيمة المطلقة لذلك أو مقياسه. وهو ما يساوي ٤٫٥ أمتار لكل ثانية تربيع.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، رأينا كيف يمكننا استخدام منحنى السرعة-الزمن لحساب إزاحة جسيم وعجلته. عجلة الجسيم تساوي ميل الخط المستقيم أو تدرجه. وعرفنا أن العجلة قد تكون موجبة أو سالبة أو تساوي صفرًا. تسمى العجلة السالبة بالتباطؤ. وهذا يحدث عندما يميل الخط المستقيم لأسفل. أما عندما يكون الخط المستقيم أفقيًا، فتساوي العجلة صفرًا. هذا يعني أن الجسم يتحرك بسرعة ثابتة. يمكننا حساب العجلة عند أي نقطة على المنحنى من خلال قسمة التغير في السرعة المتجهة على التغير في الزمن. وهذا يماثل قسمة فرق الصادات على فرق السينات.

عرفنا أيضًا أن الإزاحة هي المساحة بين المنحنى والمحور ﺱ. فإذا كانت المساحة تقع أعلى المحور ﺱ، تكون الإزاحة موجبة؛ وإذا كانت أسفل المحور ﺱ، تكون الإزاحة سالبة. تعرفنا كذلك على الفرق بين الإزاحة والمسافة؛ فالإزاحة هي مسافة ذات اتجاه. بالرغم من أننا لم نتناول سوى التمثيلات البيانية ذات الخطوط المستقيمة في هذا الفيديو، يمكن أيضًا حساب عجلة الجسيم وإزاحته على منحنى للسرعة-الزمن على شكل منحنى.