فيديو السؤال: إيجاد النهايات بتحويلها إلى صور النهاية باستخدام العدد ﻫ الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية واحد زائد سبعة على ﺱ زائد تسعة الكل أس ﺱ زائد ثلاثة عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية.

ربما يكون إيجاد قيمة هذه النهاية صعبًا قليلًا، لأن المتغير ﺱ، الذي يقترب من ما لا نهاية، يظهر في كل من الأساس والأس. لحسن الحظ أنك سترى نهاية أخرى فيها المتغير الذي يقترب من ما لا نهاية يظهر في كل من الأساس والأس، وهي نهاية واحد زائد واحد على ﻥ الكل أس ﻥ؛ حيث ﻥ يقترب من ما لا نهاية. وقيمة هذه النهاية هي عدد أويلر، أي ﻫ، وهو أساس اللوغاريتم الطبيعي، ويساوي ٢٫٧١٨ تقريبًا.

طريقة إيجاد قيمة النهاية هي إعادة كتابة هذه النهاية بدلالة النهاية التي نعلم قيمتها. حسنًا، كيف نفعل ذلك؟ الأسان داخل هذه النهاية والنهاية المعلومة لهما أساسان مختلفان. لكن يمكننا تغيير ذلك بإيجاد دالة ﻥﺱ؛ حيث يصبح أساس تعريف الدالة التي سنوجد نهايتها، أي واحد زائد سبعة على ﺱ زائد تسعة، مساويًا لواحد زائد واحد على ﻥﺱ. لذا، دعونا نوجد الدالة ﻥﺱ التي تتوفر فيها هذه الخاصية.

نحذف العدد واحدًا من الطرفين أو نطرح واحدًا من كلا الطرفين. نضرب الطرفين في ﻥﺱ وﺱ زائد تسعة. ثم يمكننا القسمة على سبعة للحصول على ﻥ كدالة في ﺱ. أو بدلًا من ذلك، يمكننا جعل ﺱ دالة في ﻥ بطرح تسعة من كلا الطرفين ثم تبديل الطرفين.

يمكننا التعويض عن ﺱ بهذا التعبير الدال على ﺱ بدلالة ﻥﺱ في النهاية التي نريد إيجاد قيمتها لنحصل على نهاية واحد زائد سبعة على سبعة ﻥﺱ ناقص تسعة زائد تسعة الكل أس سبعة ﻥﺱ ناقص تسعة زائد ثلاثة. يمكننا تبسيط الأس. سالب تسعة زائد ثلاثة يساوي سالب ستة. وبالطبع يمكننا أيضًا تبسيط الأساس. لدينا ناقص تسعة وزائد تسعة، واللذان سيلغي أحدهما الآخر. ثم يتبقى لدينا الكسر سبعة على سبعة ﻥﺱ، وهو ما يساوي بالطبع واحدًا على ﻥﺱ.

دعونا إذن نرتب هذا. لدينا النهاية واحد زائد واحد على ﻥﺱ الكل أس سبعة ﻥﺱ ناقص ستة عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. وربما علينا أن نذكر أنفسنا بقيمة ﻥﺱ. ‏‏ﻥﺱ تساوي ﺱ زائد تسعة على سبعة.

يمكننا أن نلاحظ الآن أن الأساس في هذه النهاية هو نفسه الأساس الموجود في النهاية المعلومة. بالطبع لم يحدث هذا عن طريق الصدفة، فقد اخترنا الدالة ﻥﺱ عن قصد لنصل إلى ذلك. الأسس فقط هي المختلفة في الحالتين.

حسنًا، في الواقع هذا غير صحيح تمامًا. فالنهاية لدينا هي النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، لكن النهاية المعلومة فيها ﻥ يقترب من ما لا نهاية. النهاية لدينا هي النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لدالة معينة، لكن هذه الدالة تعتمد فقط على ﺱ عبر الدالة ﻥﺱ.

دعونا لا نفكر في ﻥ على أنه دالة في المتغير ﺱ ولنعتبره متغيرًا في حد ذاته. ما الذي يعنيه هذا بالنسبة إلى النهاية؟ ماذا يحدث لـ ﻥ عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية؟ ‏‏ﻥ يساوي ﺱ زائد تسعة على سبعة. إذن، عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، فإن ﻥ أيضًا يقترب من ما لا نهاية. ومن ثم، يمكننا التعويض عن النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية بالنهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية. فهما متكافئتان.

قد يكون من المفيد إيقاف الفيديو هنا مؤقتًا والتفكير في سبب صحة ذلك بديهيًا، وربما الاستفادة من التعبيرين اللذين أوجدناهما لـ ﻥ بدلالة ﺱ وﺱ بدلالة ﻥ. يمكننا الاستمرار في تجاهل حقيقة أن ﻥ هو في الواقع دالة في المتغير ﺱ، ونفكر فقط فيه على أنه متغير له قيمة ما.

لذا، دعونا نكتف بكتابة ﻥ فقط وليس ﻥﺱ كما كنا نفعل في البداية. ولسنا بحاجة إلى توضيح العلاقة بين ﻥ وﺱ. كل ما نحتاج إليه لإيجاد قيمة هذه النهاية هو أن نقول إن ﻥ يقترب من ما لا نهاية. سنوضح هذه الخطوة بالتفصيل في نهاية الفيديو، باستخدام خاصية نهاية تركيب الدوال. لكن، ما زال من المفيد التحقق من أن هذه الخطوة منطقية بالبديهة.

حسنًا، إذا كنت تتذكر، طريقتنا في إيجاد قيمة النهاية هي أن نربطها بالنهاية المعلومة؛ أي نهاية واحد زائد واحد على ﻥ الكل أس ﻥ عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية، ونعلم أن قيمتها تساوي عدد أويلر، أي ﻫ. وأعتقد أننا نسير بشكل جيد حتى الآن. النهاية لدينا تشبه النهاية المعلومة إلى حد كبير. الفرق الوحيد بينهما الآن هو الأس.

وبذلك، تصبح أمامنا مهمة سهلة وهي كتابة النهاية لتعبير ما أس سبعة ﻥ ناقص ستة عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية بدلالة نهاية ذلك التعبير أس ﻥ عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية. يمكننا تطبيق قانون الأسس على الدالة الموجودة داخل النهاية. وهكذا، تصبح النهاية الموجودة لدينا هي نهاية واحد زائد واحد على ﻥ أس سبعة ﻥ الكل على واحد زائد واحد على ﻥ أس ستة عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية.

ويمكننا أيضًا استخدام حقيقة أن نهاية قسمة دالتين تساوي قسمة نهايتي هاتين الدالتين. لدينا هنا نهاية واحد زائد واحد على ﻥ أس سبعة ﻥ عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية مقسومًا على نهاية واحد زائد واحد على ﻥ أس ستة عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية. ولاحظ أن، في النهاية الموجودة في المقام، الأس ستة غير مرتبط بـ ﻥ. لذا، فإن إيجاد قيمة هذه النهاية سهل إلى حد كبير.

نستخدم حقيقة أن نهاية دالة قوة ما هي نهاية الدالة مرفوعة إلى هذه القوة. وبما أن نهاية واحد زائد واحد على ﻥ عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية تساوي واحدًا، فإن النهاية للمقام تساوي واحدًا أس ستة، وهو ما يساوي واحدًا بالطبع. تتبقى لنا الآن النهاية الموجودة في البسط.

قد لا يكون واضحًا لدينا الآن كيف نكتب نهاية واحد زائد واحد على ﻥ أس سبعة ﻥ عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية بدلالة نهاية واحد زائد واحد على ﻥ أس ﻥ فقط عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية. لكن قد يكون من الأسهل أن نرى ذلك إذا بدلنا ترتيب سبعة وﻥ في الأس، لنحصل على الأس ﻥ في سبعة.

يمكننا استخدام قانون آخر من قوانين الأسس، وهو الذي ينص على أن ﺃ أس ﺏ في ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ الكل أس ﺟ. وهكذا، علينا إيجاد النهاية لواحد زائد واحد على ﻥ أس ﻥ الكل أس سبعة عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية. وكما رأينا من قبل، يمكننا تبديل ترتيب عمليتي إيجاد نهاية دالة قوة ورفع نهاية الدالة لهذه القوة، لنحصل على النهاية لواحد زائد واحد على ﻥ أس ﻥ عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية، الكل أس سبعة.

وبذلك نكون قد نجحنا في كتابة النهاية بدلالة نهاية واحد زائد واحد على ﻥ أس ﻥ عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية، وهي التي نعلم أن قيمتها تساوي ﻫ. وعليه، فإن قيمة هذه النهاية تساوي ﻫ أس سبعة.

هيا نلخص ما فعلناه. لاحظنا أن الدالة التي كان علينا إيجاد قيمة نهايتها تتضمن المتغير ﺱ في كل من الأساس والأس. وهذا ذكرنا بنهاية نعرف قيمتها، وهي نهاية واحد زائد واحد على ﻥ الكل أس ﻥ عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية، وهي التي تساوي عدد أويلر ﻫ.

وأوجدنا الدالة ﻥﺱ التي مكنتنا من كتابة أساس تعريف الدالة الموجودة لدينا على الصورة: واحد زائد واحد على ﻥﺱ. وعكسنا الدالة ﻥ لإيجاد ﺱ بدلالة ﻥﺱ، وهو ما مكننا من التعويض عن كل قيم ﺱ في الدالة بتعبيرات تتضمن ﻥﺱ.

وبعد أن فعلنا ذلك، افترضنا أنه يمكننا تجاهل ﺱ، والاستعاضة عن ﻥﺱ بـ ﻥ فقط، وإحلال النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية محل النهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية. بعد ذلك، كان علينا فقط تطبيق بعض قوانين الأسس وقوانين النهايات لنحصل على النهاية بدلالة نهاية واحد زائد واحد على ﻥ أس ﻥ عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية. وبما أننا نعرف أن قيمة هذه النهاية تساوي ﻫ، كان علينا فقط التعويض بـ ﻫ لنحصل على الإجابة؛ وهي: ﻫ أس سبعة.

قلت سابقًا إنني سأشرح بطريقة أكثر تنظيمًا كيف أن السطر الثالث من الإثبات يستند إلى السطر الثاني. في السطر الثاني، لدينا تركيب دوال. لدينا نهاية ﺩ لـ ﻥﺱ عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية؛ حيث ﺩ دالة تأخذ ﺱ لتعطي واحدًا زائد واحد على ﺱ الكل مرفوع للقوة سبعة ﺱ ناقص ستة.

لأي دالتين ﺩ وﺭ، نهاية ﺩ لـ ﺭﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي نهاية ﺩﻥ عندما يقترب ﻥ من نهاية ﺭﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ. ربما يكون من الأسهل أن نعوض عن ﻥﺱ بتعريفها، أي ﺱ زائد تسعة على سبعة. دعونا نفعل ذلك.

والآن يمكننا تطبيق القاعدة؛ حيث ﺃ يساوي ما لا نهاية، وﺭﺱ يساوي ﺱ زائد تسعة على سبعة. نريد إيجاد قيمة الطرف الأيسر، لكن علينا أولًا معرفة القيمة التي يقترب منها ﻥ. إنه يقترب من نهاية ﺱ زائد تسعة على سبعة عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. وبما أن هذه النهاية تقترب من ما لا نهاية، يتبقى لدينا نهاية ﺩﻥ عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية. وبما أن ﺩﺱ تساوي واحدًا زائد واحد على ﺱ أس سبعة ﺱ ناقص ستة، نحصل على نهاية واحد زائد واحد على ﻥ الكل أس سبعة ﻥ ناقص ستة عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية. وهذا هو السطر الثالث من الإثبات. استخدمنا في شرح السطر الثالث من الإثبات قانون النهايات لتركيب دوال.