فيديو: تبسيط مجال الفرق بين دالتين كسريتين وتحديده

بسط الدالة ‪𝑛(𝑥) = 3𝑥/(𝑥 + 4) − 7𝑥/(𝑥 − 4)‬‏، وحدد مجالها.

٠٨:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

بسط الدالة ‪𝑛‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ على ‪𝑥‬‏ زائد أربعة ناقص سبعة ‪𝑥‬‏ على ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة، وحدد مجالها.

يتكون حل هذا النوع من المسائل من جزأين. علينا تبسيط الدالة، وتحديد مجالها. نبدأ بتحديد المجال. قبل تحديد المجال، علينا أن نسأل: ما المجال؟ أفضل هذا التعريف: المجال هو المجموعة الكاملة للقيم الممكن أن يتخذها المتغير المستقل. حسنًا. جيد. لكن، ماذا يعني هذا؟

ما يعنيه هذا فعليًا هو أننا نريد أن نعرف قيم ‪𝑥‬‏ التي تجعل الدالة معرفة وتعطينا قيمًا حقيقية لـ ‪𝑦‬‏، أو في هذه الحالة، الدالة ‪𝑛‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏. ومثال على الحالة التي قد تكون فيها الدالة غير معرفة هو إذا كان لدينا مثلًا الجذر التربيعي لعدد سالب، فذلك سيجعل الدالة غير معرفة، أو إذا كان لدينا صفر في المقام. فهذا أيضًا سيجعل الدالة غير معرفة.

وسنستعرض الحالة الثانية في هذا الفيديو، حيث سنبحث عن القيم التي من شأنها أن تجعل المقامات تساوي صفرًا. فلنحاول حل المسألة. علينا تحديد مجال الدالة. ولذلك، سنساوي المقامات في الدالة بصفر.

نبدأ بالحد الأول، وهو الحد على الجانب الأيسر. سأساوي هذا المقام بصفر. ومن ثم نحصل على ‪𝑥‬‏ زائد أربعة يساوي صفرًا. ويمكننا حل ذلك عن طريق طرح أربعة من كلا الطرفين، فنحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي سالب أربعة. رائع! هذه إذن هي القيمة الأولى لـ ‪𝑥‬‏ التي ستجعل الدالة لدينا غير معرفة.

والآن ننتقل إلى الحد الثاني في الدالة. ‏‪𝑥‬‏ ناقص أربعة: نساوي ذلك بصفر. ومرة أخرى، نبدأ في الحل. وذلك عن طريق إضافة أربعة إلى كلا الطرفين، فنحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة. رائع! بذلك نكون قد وجدنا قيمتي ‪𝑥‬‏ اللتين ستجعلان الدالة غير معرفة.

يمكننا الآن كتابة ما يعبر عن المجال. ونفعل ذلك بهذا الشكل. نقول إن المجال يساوي ‪𝑅‬‏، ويعني ذلك الأعداد الحقيقية، أي جميع الأعداد الحقيقية، ناقص سالب أربعة وأربعة. هذا يعني أن مجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا سالب أربعة وأربعة.

رائع! يمكننا الآن الانتقال إلى الجزء الآخر من السؤال. فلنبسط الدالة. لتبسيط هذه الدالة، نتأملها أولًا. لدينا بالفعل حدان كل منهما عبارة عن كسر. وما نحاول فعله هنا هو طرح الكسرين. وسنفعل ذلك بالطريقة المعتادة، وهي إيجاد مقام مشترك.

لإيجاد المقام المشترك، نضرب الحد الأول في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة، نضرب كلًا من البسط والمقام، فنحصل على ثلاثة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة، على ‪𝑥‬‏ زائد أربعة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة. ثم نضرب الحد الثاني في ‪𝑥‬‏ زائد أربعة، نضرب كلًا من البسط والمقام، فنحصل على سبعة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ زائد أربعة، على ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ زائد أربعة.

مذهل! نلاحظ الآن أنه قد أصبح لدينا المقام نفسه لكل حد في الدالة. وفي المرحلة التالية، علينا أن نعيد كتابة ذلك في صورة كسر واحد. ويمكننا فعل ذلك لأنه قد أصبح لدينا مقام مشترك للحدين.

وقد حددت — كما ترى — كيف أن كل المقامات متساوية. ولا يهم إذا كتبت بالعكس. فهي متساوية. رائع! فلنبدأ إذن في تبسيط البسط. لكن لا يمكننا فعل ذلك الآن. ما سنفعله أولًا هو أننا سنفك الأقواس. نبدأ بأول قوس في البسط.

لدينا ثلاثة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏، ما يعطينا ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع. ثم ثلاثة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في سالب أربعة، ما يعطينا سالب ‪12𝑥‬‏. ثم ننتقل إلى القوس الثاني. لدينا سالب سبعة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏، ما يعطينا سالب سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع. وأخيرًا، سالب سبعة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في موجب أربعة. لكن تذكر أن تكون حريصًا جدًا في استخدام إشارة السالب هنا؛ لأن هذا لن يعطينا موجب ‪28𝑥‬‏.

بل يعطينا سالب ‪28𝑥‬‏. وهذا أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا. فاحذر من الوقوع فيه. رائع! ها قد فككنا الأقواس. فلنبدأ في تبسيط الدالة. حسنًا. لتبسيط البسط أكثر، يمكننا تجميع الحدود المتشابهة. فلنفعل ذلك الآن. أولًا، لدينا ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع، ما يعطينا سالب أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع.

ثم سالب ‪12𝑥‬‏ ناقص ‪28𝑥‬‏، ما يعطينا سالب ‪40𝑥‬‏، ومرة أخرى تذكر أن تتعامل بحرص مع الأعداد السالبة. الأمر يبدو بسيطًا. لكنه بالفعل أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا في هذه المرحلة. ثم نقسم ذلك كله على ‪𝑥‬‏ زائد أربعة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة.

ربما تقول في قرارة نفسك الآن: جيد. حسنًا. هل اقتربنا من إتمام التبسيط؟ هل ما أمامنا مبسط تبسيطًا كاملًا؟ فلتلق نظرة على البسط. حسنًا، لا يمكننا تجميع المزيد من الحدود المتشابهة. لكن هل يمكننا تحليلها؟ عليك دائمًا التحقق من ذلك. هل يمكننا تحليلها؟ وإن كان يمكننا ذلك، فلنحللها إذن.

يمكننا في هذه الحالة ملاحظة معاملات كل من ‪𝑥‬‏ تربيع و‪𝑥‬‏. نلاحظ أن كليهما يقبل القسمة على أربعة، وكليهما يقبل القسمة على سالب أربعة. إذن، العامل الأول هو سالب أربعة. ثم ننظر إلى ‪𝑥‬‏ تربيع و‪𝑥‬‏. نلاحظ أن ‪𝑥‬‏ موجود في كلا الحدين.

إذن، العامل الآخر خارج القوس سيكون ‪𝑥‬‏. فلننتقل الآن إلى الحدود التي ستكون داخل القوس. لدينا سالب أربعة ‪𝑥‬‏. وبضرب ذلك في ‪𝑥‬‏، نحصل على سالب أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع. ثم، إذا كان لدينا سالب أربعة ‪𝑥‬‏، فما العدد الذي عليك ضربه في ذلك لتحصل على سالب ‪40𝑥‬‏؟ هو موجب ‪10‬‏.

رائع! والآن قد ننظر إلى ذلك ونقول: حسنًا. هل ما أمامنا مبسط تبسيطًا كاملًا؟ هل يمكننا تبسيط البسط أكثر؟ هل يمكننا إجراء المزيد من التحليل؟ هل يمكننا تجميع أي من الحدود؟ لا. إذن، نعم، هو مبسط تبسيطًا كاملًا. لكن إجابتنا النهائية ستكون بهذا الشكل.

فلتستخدم هذه الصورة؛ لأن الإشارة السالبة تشمل الكسر بالكامل. رائع! بذلك نكون قد انتهينا من المسألة. وبسطنا الدالة. وحددنا مجالها. تذكير سريع: المجال هو المجموعة الكاملة من القيم الممكنة لـ ‪𝑥‬‏، التي تجعل الدالة معرفة.

وقد وجدنا ذلك عن طريق مساواة كل من المقامات بصفر، ثم البدء في الحل. ثم نبسط الدالة، مرة أخرى، فإذا كان بها كسور، فتعامل معها بنفس طريقة تعاملك مع أي كسر، حتى وإن كانت تتضمن حدودًا جبرية. وبالتالي، أوجد المقام المشترك، ثم اطرح البسطين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.