فيديو السؤال: إيجاد معادلة منحنى بمعلومية تعبير ميل المماس باستخدام التكامل والمتطابقات المثلثية | نجوى فيديو السؤال: إيجاد معادلة منحنى بمعلومية تعبير ميل المماس باستخدام التكامل والمتطابقات المثلثية | نجوى

فيديو السؤال: إيجاد معادلة منحنى بمعلومية تعبير ميل المماس باستخدام التكامل والمتطابقات المثلثية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

أوجد معادلة المنحنى علمًا بأن ميل المماس يساوي ٥ جا^٢ (ﺱ‏/‏٢) وأن المنحنى يمر بنقطة الأصل.

٠٥:٢٤

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة المنحنى علمًا بأن ميل المماس يساوي خمسة جا تربيع ﺱ على اثنين وأن المنحنى يمر بنقطة الأصل.

تذكر أنه إذا عرفنا معادلة المنحنى، يمكننا إيجاد قيمة انحداره أو ميله عند نقطة ما عن طريق الاشتقاق. كما نعلم أن التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق. وبذلك، يمكننا إيجاد معادلة عامة للمنحنى بإيجاد تكامل تعبير ميل المماس. أي بحساب تكامل خمسة جا تربيع ﺱ على اثنين بالنسبة إلى ﺱ. نعلم من المعطيات أن المنحنى يمر بنقطة الأصل. وتذكر أنها النقطة التي إحداثياتها صفر، صفر. سوف نستخدم هذه المعلومات بعد قليل لإيجاد الحل الخاص أو المعادلة الخاصة للمنحنى.

لنبدأ بتكامل خمسة جا تربيع ﺱ على اثنين بالنسبة إلى ﺱ. على الرغم من أن ذلك ليس ضروريًّا، فإنه من الجيد استبعاد أي عوامل ثابتة والتركيز على تكامل الدالة نفسها. لذا، سنكتب ذلك على صورة خمسة في تكامل جا تربيع ﺱ على اثنين. لكن كيف يمكننا إيجاد تكامل جا تربيع ﺱ على اثنين؟ سنبدأ بتذكر إحدى صيغ ضعف الزاوية.

نعلم أن جتا اثنين 𝜃 يساوي جتا تربيع 𝜃 ناقص جا تربيع 𝜃. لكننا نعلم أيضًا أن جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. أحيانًا نستخدم هنا رموز التطابق بدلًا من رموز التساوي. وهذا لأن هذه المعادلات أو المتطابقات تنطبق على جميع قيم 𝜃، لكننا سنستخدم علامات التساوي ونضع ذلك في اعتبارنا.

في المتطابقة الثانية، سنطرح جا تربيع 𝜃 من كلا الطرفين. وهذا يعني أن جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جا تربيع 𝜃. ثم نعوض عن جتا تربيع 𝜃 بواحد ناقص جا تربيع 𝜃 في المتطابقة الأولى. ونجد أن جتا اثنين 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جا تربيع 𝜃 ناقص جا تربيع 𝜃، أو جتا اثنين 𝜃 يساوي واحدًا ناقص اثنين جا تربيع 𝜃. وبما أننا نوجد تكامل تعبير بدلالة جا تربيع، فسنعيد ترتيب المتطابقة لجعل جا تربيع 𝜃 في طرف بمفرده.

سنضيف اثنين جا تربيع 𝜃 لكلا الطرفين ونطرح جتا اثنين 𝜃. وعليه، اثنان جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جتا اثنين 𝜃. وإذا قسمنا الطرفين على اثنين، نجد أن جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جتا اثنين 𝜃 الكل على اثنين. يبدو هذا التعبير مختلفًا قليلًا عن التعبير جا تربيع ﺱ على اثنين. لكن تذكر أننا قلنا إن هذه المتطابقات تنطبق على جميع قيم 𝜃. إذن، لنر ما سيحدث إذا جعلنا 𝜃 يساوي ﺱ على اثنين.

عندما نفعل ذلك، نجد أن جا تربيع ﺱ على اثنين يساوي واحدًا ناقص جتا اثنين في ﺱ على اثنين الكل على اثنين. لكن اثنين في ﺱ على اثنين يساوي ﺱ. إذن، وجدنا أن جا تربيع ﺱ على اثنين يساوي واحدًا ناقص جتا ﺱ على اثنين. نلاحظ الآن أنه لإيجاد تكامل جا تربيع ﺱ على اثنين، فإننا في الواقع نحسب تكامل واحد ناقص جتا ﺱ على اثنين بالنسبة إلى ﺱ. مرة أخرى، يمكننا إخراج العوامل الثابتة. دعنا نقم بإخراج نصف. وبذلك نجد أن ﺹ يساوي خمسة على اثنين في تكامل واحد ناقص جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لنوجد الآن تكامل كل حد على حدة.

عندما نكامل واحدًا بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على ﺱ. ونعلم أن تكامل جتا ﺱ يساوي جا ﺱ. إذن، عند حساب تكامل سالب جتا ﺱ، نحصل على سالب جا ﺱ. وهذا بالطبع تكامل غير محدد؛ لذا علينا أن نضع في اعتبارنا أن لدينا ثابت تكامل. لنسمه ﺙ واحد. هذه الخطوة ليست ضرورية. كان بإمكاننا فعل ذلك لاحقًا، لكن يمكننا في هذه المرحلة أن نوزع القوس. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ﺹ يساوي خمسة على اثنين ﺱ ناقص خمسة على اثنين جا ﺱ زائد ﺙ اثنين. هذا ثابت جديد؛ لأننا ضربنا الثابت السابق في خمسة على اثنين.

نعلم أن المنحنى يمر بنقطة الأصل. وهي النقطة التي إحداثياتها صفر، صفر. بعبارة أخرى، توجد نقطة على الخط عندها ﺹ يساوي صفرًا عند ﺱ يساوي صفرًا. دعونا إذن نعوض عن ﺱ وﺹ في المعادلة. لتصبح المعادلة صفر يساوي خمسة على اثنين في صفر ناقص خمسة على اثنين في جا صفر زائد ﺏ. خمسة على اثنين في صفر يساوي صفرًا، وخمسة على اثنين في جا صفر يساوي صفرًا أيضًا. إذن، ﺏ، وهو الثابت، يساوي صفرًا.

وبذلك، نكون قد أوجدنا معادلة المنحنى. وهي ﺹ يساوي خمسة على اثنين ﺱ ناقص خمسة على اثنين جا ﺱ.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية