فيديو: معيار المتجه في الفضاء الثلاثي الأبعاد

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معيار متجه الموضع في الفضاء.

١٥:٢٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معيار متجه الموضع في الفضاء. سنبدأ بتذكر المقصود بالمتجه الثلاثي الأبعاد.

أي متجه ثلاثي الأبعاد يكون له مركبات ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏. بالنسبة للنقطة ‪𝑃‬‏ ذات الإحداثيات: اثنين، ثلاثة، خمسة؛ يمكننا كتابة المتجه ‪𝐎𝐏‬‏ بعدة طرق. أولًا، يمكننا استخدام المركبات ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏. نقول إن المتجه ‪𝐎𝐏‬‏ يساوي اثنين ‪𝐢‬‏ زائد ثلاثة ‪𝐣‬‏ زائد خمسة ‪𝐤‬‏. أحيانًا تكتب المتجهات أيضًا مثل الإحداثيات. بين قوسين زاويين، نكتب: اثنين، ثلاثة، خمسة. هناك طريقة ثالثة لكتابة المتجه نفسه، وهي كتابته على صورة عمود داخل قوسين؛ حيث تكون المركبة ‪𝐢‬‏ متبوعة بالمركبة ‪𝐣‬‏ ثم المركبة ‪𝐤‬‏.

معيار أي متجه هو المسافة بين نقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد. بالنسبة للمتجه ‪𝐀‬‏ المكتوب في الصورة العامة: ‪𝑥𝐢‬‏ زائد ‪𝑦𝐣‬‏ زائد ‪𝑧𝐤‬‏، يمكننا حساب معيار المتجه ‪𝐀‬‏ بتطبيق نظرية فيثاغورس. معيار المتجه ‪𝐀‬‏ المشار إليه بخطين رأسيين يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ‪𝑧‬‏ تربيع. نوجد أولًا مجموع مربعات المركبات ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏، ثم الجذر التربيعي للناتج.

بالإضافة إلى رؤية متجهات الوحدة ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏ مكتوبة باستخدام إشارة الزاوية فوقها كالقبعة، يمكن أن تكون قد رأيتها أيضًا مكتوبة وتحتها خط. تختلف هذه الرموز للمتجهات المكتوبة بخط اليد من مكان لآخر. لكن بوجه عام عند كتابة المتجهات سواء في الكتب المدرسية أو على الإنترنت، تظهر بخط عريض. سنتناول الآن بعض الأسئلة التي علينا فيها حساب المعيار لمتجه.

إذا كان المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي اثنين، سالب خمسة، اثنين، فأوجد معيار المتجه ‪𝐀‬‏.

المركبات ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏ هي: اثنان، وسالب خمسة، واثنان؛ على الترتيب. وعليه، يمكن إعادة كتابة المتجه ‪𝐀‬‏ في صورة: اثنين ‪𝐢‬‏ ناقص خمسة ‪𝐣‬‏ زائد اثنين ‪𝐤‬‏. نتذكر هنا أن معيار أي متجه يمكن حسابه عن طريق أخذ الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ‪𝑧‬‏ تربيع؛ حيث ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏ هي المركبات ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏، على الترتيب. إذن، معيار المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد سالب خمسة تربيع زائد اثنين تربيع.

اثنان تربيع يساوي أربعة. وعند تربيع أي عدد سالب، نحصل على ناتج موجب. إذن، سالب خمسة تربيع يساوي ‪25‬‏. معيار المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي الجذر التربيعي لأربعة زائد ‪25‬‏ زائد أربعة. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ‪33‬‏. يمكننا إيجاد ناتج ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، لكن كقاعدة عامة، نترك إجاباتنا على صورة جذور أو جذور صماء. إذن، معيار المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪33‬‏.

في السؤال التالي، سيكون المتجه مكتوبًا بصورة مختلفة.

إذا كان المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي اثنين ‪𝐢‬‏ زائد ثلاثة ‪𝐣‬‏ ناقص ‪𝐤‬‏، فأوجد معيار المتجه ‪𝐀‬‏.

بالنسبة لأي متجه مكتوب على الصورة: ‪𝑥𝐢‬‏ زائد ‪𝑦𝐣‬‏ زائد ‪𝑧𝐤‬‏، يساوي معيار المتجه الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ‪𝑧‬‏ تربيع. المركبة ‪𝐢‬‏ لهذا المتجه تساوي اثنين، والمركبة ‪𝐣‬‏ تساوي ثلاثة، والمركبة ‪𝐤‬‏ تساوي سالب واحد. هذا يعني أن معيار المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد ثلاثة تربيع زائد سالب واحد تربيع.

اثنان تربيع يساوي أربعة. وثلاثة تربيع يساوي تسعة. وبتربيع عدد سالب، نحصل على ناتج موجب. إذن، سالب واحد تربيع يساوي واحدًا. وبما أن أربعة زائد تسعة زائد واحد يساوي ‪14‬‏، فإن معيار المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪14‬‏.

في السؤال التالي، سيكون لدينا المعيار وعلينا حساب إحدى مركبات المتجه.

إذا كان المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي ‪𝑎𝐢‬‏ زائد ‪𝐣‬‏ ناقص ‪𝐤‬‏، ومعيار المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي الجذر التربيعي لستة، فأوجد كل قيم ‪𝑎‬‏ الممكنة.

قبل البدء في الإجابة عن هذا السؤال، جدير بالملاحظة أن السؤال يطلب منا إيجاد كل قيم ‪𝑎‬‏ الممكنة. وهذا يعني أنه سيكون هناك أكثر من إجابة واحدة صحيحة. ويخبرنا السؤال بمعلومتين. تشير المعطيات إلى أن المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي ‪𝑎𝐢‬‏ زائد ‪𝐣‬‏ ناقص ‪𝐤‬‏، ومعيار المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي الجذر التربيعي لستة. نعلم أن أي متجه مكتوب على الصورة: ‪𝑥𝐢‬‏ زائد ‪𝑦𝐣‬‏ زائد ‪𝑧𝐤‬‏، معياره يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ‪𝑧‬‏ تربيع. ولذلك في هذا السؤال، الجذر التربيعي لستة يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ تربيع زائد واحد تربيع زائد سالب واحد تربيع. وهذا لأن المركبات ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏ هي: ‪𝑎‬‏، وواحد، وسالب واحد، على الترتيب.

يمكننا البدء في حل هذه المعادلة بتربيع الطرفين. وبما أن التربيع هو معكوس الجذر التربيعي أو العملية العكسية له، فإن الجذر التربيعي لستة تربيع يساوي ستة. بالطريقة نفسها، يصبح الطرف الأيمن ‪𝑎‬‏ تربيع زائد واحد تربيع زائد سالب واحد تربيع. كل من واحد تربيع وسالب واحد تربيع يساوي واحدًا. إذن، نبسط ذلك إلى ستة يساوي ‪𝑎‬‏ تربيع زائد اثنين. يمكننا بعد ذلك طرح اثنين من كلا طرفي هذه المعادلة؛ بحيث يصبح ‪𝑎‬‏ تربيع يساوي أربعة.

خطوتنا الأخيرة هي أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. الجذر التربيعي لـ ‪𝑎‬‏ تربيع يساوي ‪𝑎‬‏. والجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين. لكن يجب أن نأخذ موجب أو سالب هذا العدد. وعليه، ‪𝑎‬‏ يساوي موجب أو سالب اثنين. إذن، قيمتا ‪𝑎‬‏ المحتملتان، بحيث يساوي معيار المتجه ‪𝐀‬‏ الجذر التربيعي لستة، هما: اثنان، وسالب اثنين. وهذا لأننا عند تربيع كلا العددين، نحصل على أربعة.

تتضمن الأسئلة التالية أيضًا جمع المتجهات وطرحها.

إذا كان المتجه ‪𝐀‬‏ زائد المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي سالب اثنين، أربعة، ثلاثة، والمتجه ‪𝐀‬‏ يساوي ثلاثة، خمسة، ثلاثة، فأوجد معيار المتجه ‪𝐁‬‏.

نتذكر هنا أنه عند جمع متجهين، نجمع المركبات ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏ كل على حدة. المتجه ‪𝐀‬‏ زائد ‪𝐁‬‏ يساوي المتجه ‪𝐀‬‏ زائد المتجه ‪𝐁‬‏. وإذا افترضنا أن المركبات ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏ هي: ‪𝑥‬‏، و ‪𝑦‬‏، و‪𝑧‬‏؛ على الترتيب، فإن سالب اثنين، أربعة، ثلاثة يساوي ثلاثة، خمسة، ثلاثة زائد ‪𝑥‬‏ ،‪𝑦‬‏ ،‪𝑧‬‏. يمكننا بعد ذلك طرح المتجه ‪𝐀‬‏ من كلا طرفي هذه المعادلة. فيصبح الطرف الأيسر سالب اثنين، أربعة، ثلاثة ناقص ثلاثة، خمسة، ثلاثة.

سالب اثنين ناقص ثلاثة يساوي سالب خمسة. وعليه، فإن المركبة ‪𝐢‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏ تساوي سالب خمسة. وأربعة ناقص خمسة يساوي سالب واحد، إذن المركبة ‪𝐣‬‏ تساوي سالب واحد. وأخيرًا، ثلاثة ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. إذن، المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي سالب خمسة، سالب واحد، صفرًا.

يمكننا حساب معيار هذا المتجه بتربيع كل من المركبات، وإيجاد مجموعها، ثم أخذ الجذر التربيعي للناتج. إذن معيار المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي الجذر التربيعي لسالب خمسة تربيع زائد سالب واحد تربيع زائد صفر تربيع. سالب خمسة تربيع يساوي ‪25‬‏، وسالب واحد تربيع يساوي واحدًا، وصفر تربيع يساوي صفرًا. إذن، معيار المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪26‬‏.

في السؤال التالي، سنوجد معيار متجه يصل بين طرفي متجهين آخرين.

إذا كان المتجه ‪𝐀𝐁‬‏ يساوي سالب خمسة ‪𝐢‬‏ زائد اثنين ‪𝐣‬‏ ناقص أربعة ‪𝐤‬‏، والمتجه ‪𝐁𝐂‬‏ يساوي أربعة ‪𝐢‬‏ زائد أربعة ‪𝐣‬‏ زائد ستة ‪𝐤‬‏، فأوجد معيار المتجه ‪𝐀𝐂‬‏.

في هذا النوع من الأسئلة، يجدر بنا رسم شكل أولًا. يضمن ذلك، كما نأمل، صحة الاتجاه والإشارات. لدينا ثلاث نقاط ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ و‪𝐶‬‏. يمكننا أن نصل بينها لنشكل مثلثًا. في هذا السؤال، لدينا قيمة المتجه ‪𝐀𝐁‬‏. ولدينا أيضًا قيمة المتجه ‪𝐁𝐂‬‏. وهدفنا هو حساب معيار المتجه ‪𝐀𝐂‬‏. إذن، الخطوة الأولى هي إيجاد قيمة المتجه ‪𝐀𝐂‬‏.

نلاحظ أن إحدى طرق الانتقال من النقطة ‪𝐴‬‏ إلى النقطة ‪𝐶‬‏ تكون عبر النقطة ‪𝐵‬‏. لذلك، فإن المتجه ‪𝐀𝐂‬‏ يساوي المتجه ‪𝐀𝐁‬‏ زائد المتجه ‪𝐁𝐂‬‏. ومن ثم، المتجه ‪𝐀𝐂‬‏ يساوي سالب خمسة ‪𝐢‬‏ زائد اثنين ‪𝐣‬‏ ناقص أربعة ‪𝐤‬‏ زائد أربعة ‪𝐢‬‏ زائد أربعة ‪𝐣‬‏ زائد ستة ‪𝐤‬‏.

يمكننا جمع متجهين من خلال جمع المركبات كل على حدة. سالب خمسة ‪𝐢‬‏ زائد أربعة ‪𝐢‬‏ يساوي سالب ‪𝐢‬‏. اثنان ‪𝐣‬‏ زائد أربعة ‪𝐣‬‏ يساوي ستة ‪𝐣‬‏. وأخيرًا، سالب أربعة ‪𝐤‬‏ زائد ستة ‪𝐤‬‏ يساوي اثنين ‪𝐤‬‏. المتجه ‪𝐀𝐂‬‏ يساوي سالب ‪𝐢‬‏ زائد ستة ‪𝐣‬‏ زائد اثنين ‪𝐤‬‏.

يمكننا إيجاد معيار أي متجه بتربيع المركبات ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏، وإيجاد مجموعها، ثم أخذ الجذر التربيعي للناتج. هذا يعني أن معيار المتجه ‪𝐀𝐂‬‏ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد تربيع زائد ستة تربيع زائد اثنين تربيع. سالب واحد تربيع يساوي واحدًا، وستة تربيع يساوي ‪36‬‏، واثنان تربيع يساوي أربعة. مجموع واحد و‪36‬‏ وأربعة يساوي ‪41‬‏. إذن، معيار المتجه ‪𝐀𝐂‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪41‬‏.

في السؤال الأخير، سنوجد معيار الفرق بين متجهين.

إذا كان المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي أربعة ‪𝐢‬‏ زائد أربعة ‪𝐣‬‏ ناقص خمسة ‪𝐤‬‏، والمتجه ‪𝐁‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝐢‬‏ ناقص ‪𝐤‬‏، فأوجد معيار المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏.

خطوتنا الأولى في هذا السؤال هي حساب المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏. وهذا مهم، لأنه من الأخطاء الشائعة هنا أن نعتقد أن معيار المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي معيار المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص معيار المتجه ‪𝐁‬‏. وهذا غير صحيح.

لإيجاد قيمة المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏، نطرح المركبات كل على حدة. أربعة ‪𝐢‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝐢‬‏ يساوي واحد ‪𝐢‬‏ أو ‪𝐢‬‏ فقط. ولا توجد مركبة ‪𝐣‬‏ في المتجه ‪𝐁‬‏. وبذلك، يتبقى لدينا أربعة ‪𝐣‬‏. سالب خمسة ‪𝐤‬‏ ناقص سالب ‪𝐤‬‏ يساوي سالب أربعة ‪𝐤‬‏. ذلك لأن سالب خمسة ناقص سالب واحد هو نفسه سالب خمسة زائد واحد، وهو ما يساوي سالب أربعة.

علينا الآن حساب معيار هذا المتجه. نعلم أن أي متجه مكتوب على الصورة: ‪𝑥𝐢‬‏ زائد ‪𝑦𝐣‬‏ زائد ‪𝑧𝐤‬‏، معياره يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ‪𝑧‬‏ تربيع. هذا يعني أن معيار المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد أربعة تربيع زائد سالب أربعة تربيع.

وبما أن كلًا من أربعة تربيع وسالب أربعة تربيع يساوي ‪16‬‏، يتبقى لدينا الجذر التربيعي لواحد زائد ‪16‬‏ زائد ‪16‬‏. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ‪33‬‏. إذن، معيار المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪33‬‏.

سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. بالنسبة لأي متجه مكتوب على الصورة: ‪𝑥𝐢‬‏ زائد ‪𝑦𝐣‬‏ زائد ‪𝑧𝐤‬‏، يكون معيار المتجه هو الجذر التربيعي لـ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ‪𝑧‬‏ تربيع. نربع المركبات ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ و‪𝐤‬‏ كل على حدة، ونوجد مجموعها، ثم نأخذ الجذر التربيعي للناتج. ويكون ناتج المعيار موجبًا دائمًا.

عند جمع متجهين أو طرحهما، نجمع المركبات أو نطرحها كل على حدة. رأينا أيضًا أن معيار مجموع متجهين أو الفرق بينهما لا يساوي مجموع معياري المتجهين أو الفرق بينهما. هذا يعني أن معيار المتجه ‪𝐀‬‏ زائد المتجه ‪𝐁‬‏ لا يساوي معيار المتجه ‪𝐀‬‏ زائد معيار المتجه ‪𝐁‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.