تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: استخدام متطابقات ضعف الزاوية لإيجاد قيم تعبيرات الدوال المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

احسب جتا^٢ ١٦٥° − جا^٢ ١٦٥° دون استخدام الآلة الحاسبة.

٠٥:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

احسب جتا تربيع ١٦٥ درجة ناقص جا تربيع ١٦٥ درجة دون استخدام الآلة الحاسبة.

أخبرنا السؤال بأنه غير مسموح لنا استخدام آلة حاسبة لإيجاد قيمة هذا التعبير. وبوجه عام عندما لا يمكننا استخدام آلة حاسبة لإيجاد تعبير دالة مثلثية؛ فهذا يعني أن علينا استخدام زوايا خاصة. هذه الزوايا الخاصة هي صفر درجة و٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة و٩٠ درجة. وتسمى زوايا خاصة لأننا نعرف القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام. إحدى طرق تذكر زوايا الجيب هذه باعتبارها زوايا خاصة، هي العد تصاعديًّا من صفر إلى أربعة. نأخذ بعد ذلك الجذر التربيعي لكل قيمة من هذه القيم ونقسمها على اثنين.

ومن ثم نجد، على سبيل المثال، أن جا صفر درجة يساوي الجذر التربيعي لصفر مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي صفرًا. ‏جا ٣٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لواحد مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي نصفًا. أما بالنسبة لـ جا ٤٥ درجة و٦٠ درجة، فلا يمكننا تبسيطهما أكثر من ذلك. لكن بما أن الجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين، فإن جا ٩٠ درجة يصبح اثنين على اثنين، وهو ما يساوي واحدًا. وبذلك نحصل على القيم نفسها بالترتيب العكسي لـ جتا 𝜃.

حسنًا، هذا جيد. لكن التعبير الذي لدينا يتضمن جتا ١٦٥ وجا ١٦٥ درجة. و ١٦٥ درجة ليست من الزوايا الخاصة. لا يمكننا التعويض بقيمتي جتا ١٦٥ درجة وجا ١٦٥ درجة. إذا أردنا استخدام زوايا خاصة، فسنحتاج أولًا إلى تحويل التعبير. حيلة فعل هذا هي ملاحظة أن التعبير لدينا يكون على الصورة جتا تربيع ﺱ ناقص جا تربيع ﺱ، حيث ﺱ يساوي ١٦٥ درجة.

وبكتابة التعبير أمامنا، يمكننا معرفة ذلك من المتطابقة جتا اثنين ﺱ. لأي قيمة لـ ﺱ، فإن جتا اثنين ﺱ يساوي جتا تربيع ﺱ ناقص جا تربيع ﺱ. وبذلك عند تبديل الطرفين، فإن جتا تربيع ﺱ ناقص جا تربيع ﺱ يساوي جتا اثنين ﺱ. بتطبيق هذه المتطابقة، نلاحظ أن التعبير يصبح جتا اثنين في ١٦٥ درجة، وهو ما يساوي جتا ٣٣٠ درجة. لدينا الآن تعبير أبسط بكثير. لكن ٣٣٠ درجة ليست إحدى الزوايا الخاصة. ومن ثم علينا استخدام مزيد من المتطابقات.

أولًا، يمكننا استخدام حقيقة أن جتا دالة دورية طول دورتها ٣٦٠ درجة. وعليه فإن جتا ٣٦٠ درجة زائد ﺱ يساوي جتا ﺱ. بتطبيق هذه المتطابقة مرارًا وتكرارًا، يمكننا أن نلاحظ أنه إذا أضفنا أي مضاعفات لـ ٣٦٠ درجة إلى سعة جيب التمام، فإننا لا نغير قيمة جيب تمام الزاوية. لذا إذا كتبنا ٣٣٠ درجة على صورة ٣٦٠ درجة ناقص ٣٠ درجة، يمكننا طرح ٣٦٠ درجة من سعة جيب التمام حتى يتبقى لدينا جتا ٣٠ درجة. والآن نقترب. ‏٣٠ درجة زاوية خاصة. وبذلك، نعرف قيمة جتا ٣٠ درجة.

للأسف لدينا إشارة السالب هذه هنا. لكن مرة أخرى، يمكننا استخدام هذه المتطابقة لإيجاد الحل. يمكننا استخدام حقيقة أن جتا دالة زوجية؛ ومن ثم يكون جتا سالب ﺱ مساويًا لـ جتا ﺱ. وجتا سالب ٣٠ درجة يساوي جتا ٣٠ درجة. الآن، يمكننا استخدام الجدول لمعرفة قيمة جتا ٣٠ درجة. إنه جذر ثلاثة على اثنين. وهذه هي الإجابة النهائية. ‏جتا تربيع ١٦٥ درجة ناقص جا تربيع ١٦٥ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وقد وجدنا هذه القيمة بدون استخدام الآلة الحاسبة.

خلاصة القول أن الخطوة الأولى والخدعة الأساسية في حل هذا السؤال هي استخدام متطابقة ضعف الزاوية لجيب تمام الزاوية. بعد إجراء بعض التبسيط، استخدمنا حقيقة أن دالة جيب التمام، وهي جتا، هي دالة دورية ودالة زوجية، ولم يتبق لدينا سوى جتا ٣٠ درجة. و ٣٠ درجة زاوية خاصة. وبذلك نكون عرفنا قيمة جتا ٣٠ درجة. إنها الإجابة النهائية: جذر ثلاثة على اثنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.