فيديو: المعادلات البارامترية والمنحنيات في بعدين

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل المنحنيات المعطاة بيانيًا بواسطة زوج من المعادلات البارامترية في ‪2D‬‏.

١٢:٠٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذه المرحلة، ينبغي أن تكون على دراية تامة بكيفية تمثيل المنحنيات باستخدام المعادلة: ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏. يمكنك أن تبحث عن خطوط التقارب، ونقاط التقاطع، والنقاط الحرجة، وفترات التزايد والتناقص أثناء القيام بذلك.

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نمثل المنحنيات المعرفة باستخدام متغير ثالث ‪𝑡‬‏. نرى أن هذه المنحنيات معرفة بارامتريًا بالمعادلتين: ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏، و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑡‬‏. تخيل جسيمًا يتحرك عبر المستوى ‪𝑥𝑦‬‏ على طول المنحنى ‪𝑐‬‏، كما هو موضح. سيكون من المستحيل تعريف هذا المنحنى بالطريقة التقليدية، باعتبار ‪𝑦‬‏ دالة ما في المتغير ‪𝑥‬‏، حيث يفشل هذا المنحنى في اختبار الخط الرأسي. وهذا يعني أن كل مدخل واحد يمكن أن يعطينا أكثر من مخرج واحد. بعبارة أخرى، لقيمة ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏، يمكننا الحصول على أكثر من مخرج واحد من ‪𝑦‬‏.

ولذا، نبحث بدلًا من ذلك عن طرق أخرى لوصف المنحنيات التي تتخذ هذا الشكل. وذلك بإدخال متغير جديد للزمن ‪𝑡‬‏. وتكون إحداثيات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ هي دوال في الزمن بحيث تكون ‪𝑥‬‏ هي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ — أي ‪𝑥‬‏ دالة في الزمن — وتكون ‪𝑦‬‏ هي ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ — أي ‪𝑦‬‏ دالة أخرى في الزمن. سوف نصف الآن كل نقطة على المنحنى بزوج مرتب، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑡‬‏، و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑡‬‏. ومع تغير قيم ‪𝑡‬‏، يمكننا تتبع المنحنى ‪𝑐‬‏، وهو ما نسميه منحنى بارامتريًا. من المهارات الأساسية هنا القدرة على رسم مثل هذه المنحنيات. ويكون ذلك من خلال تمثيل النقاط الأساسية. توجد بالطبع بعض المنحنيات التي يمكننا تعلم أشكالها. وسوف ندرسها أيضًا.

انظر المعادلتين البارامتريتين ‪𝑥‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝑡‬‏ تربيع زائد اثنين، و‪𝑦‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏ ناقص واحد، حيث ‪𝑡‬‏ أكبر من سالب اثنين وأقل من واحد. أي مما يلي هو التمثيل البياني للمعادلتين المعطاتين؟

لدينا هنا زوج من المعادلات البارامترية ومطلوب منا تمثيل المنحنى في الفترة المفتوحة لـ ‪𝑡‬‏ من سالب اثنين إلى واحد. سنحتاج أولًا إلى إيجاد بعض أزواج الإحداثيات التي تحقق المعادلتين البارامتريتين. وفي حين لا نريد تضمين ‪𝑡‬‏ يساوي سالب اثنين و‪𝑡‬‏ يساوي واحدًا، فنحن نعلم أن ‪𝑡‬‏ يقترب من كل من هاتين القيمتين. لذا، سنستخدم التعويض المباشر لإيجاد زوج الإحداثيات الذي يقترب منه المنحنى عند نقطتي النهاية للفترة المفتوحة.

والآن، نريد معرفة أي التمثيلات البيانية يعبر عن المعادلة. لذلك، اخترت سبع قيم لـ ‪𝑡‬‏. إذا كنا نريد رسم المنحنى من البداية، فربما نختار المزيد من قيم ‪𝑡‬‏، وذلك بزيادتها تصاعديًا على فترات طول كل منها ‪0.25‬‏ بدلًا من ‪0.5‬‏.

لإيجاد إحداثيات ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏، سنعوض بكل قيمة لـ ‪𝑡‬‏ في المعادلتين البارامتريتين. على سبيل المثال، عند ‪𝑡‬‏ يساوي سالب اثنين، فإن ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين تربيع زائد اثنين، وهو ما يساوي ستة. وعند ‪𝑡‬‏ يساوي سالب اثنين، فإن ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة في سالب اثنين ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب سبعة. وعند ‪𝑡‬‏ يساوي سالب ‪1.5‬‏، فإن ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ‪1.5‬‏ تربيع زائد اثنين، وهو ما يساوي ‪4.25‬‏. وعند ‪𝑡‬‏ يساوي سالب ‪1.5‬‏، فإن ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة في سالب ‪1.5‬‏ ناقص واحد، وهو ما يعطينا قيمة ‪𝑦‬‏ يساوي سالب ‪5.5‬‏.

نستمر في هذه العملية، بالتعويض بـ ‪𝑡‬‏ يساوي سالب واحد في ‪𝑥‬‏ لنحصل على ثلاثة، وفي ‪𝑦‬‏ لنحصل على سالب أربعة. عندما نعوض بـ ‪𝑡‬‏ يساوي سالب ‪0.5‬‏، نحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي ‪2.25‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي سالب ‪2.5‬‏. عند ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا، فإن زوج الإحداثيات هو اثنان، سالب واحد. وتعطينا آخر قيمتين لـ ‪𝑡‬‏ زوجي الإحداثيات ‪2.25‬‏، ‪0.5‬‏، وثلاثة، اثنين.

يمكننا الآن تمثيل كل زوج مرتب على زوج من المحاور. لكن، ما نريده بالطبع هو معرفة أي التمثيلات المعطاة يمثل زوج المعادلات البارامترية. الإحداثي الأول الذي نريد إيجاده هو ستة، سالب سبعة. هذا يقع هنا. ثم نبحث عن زوج الإحداثيات ‪4.25‬‏، سالب ‪5.5‬‏، والذي يقع هنا. وفي الواقع، كما نتوقع، تقع الإحداثيات الخمسة المتبقية بالفعل على هذا الخط المرسوم.

لاحظ كيف تشير الأسهم إلى اتجاه رسم المنحنى. إذن، فالمنحنى مرسوم بقيم متزايدة لـ ‪𝑡‬‏ من سالب اثنين إلى ‪𝑡‬‏ يساوي واحدًا. الرسم الذي يمثل المعادلتين البارامتريتين ‪𝑥‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝑡‬‏ تربيع زائد اثنين و‪𝑦‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏ ناقص واحد هو (ج).

في الواقع، يبدو أن لدينا الآن جزءًا من قطع مكافئ. يمكننا استخدام معادلات آنية لحذف ‪𝑡‬‏. وعندئذ سنحصل بالفعل على معادلة هذا القطع المكافئ، أو لنقل: قطع مكافئ مائل بشكل ما. هناك عدد من المعادلات البارامترية الخاصة التي يمكننا تعلم أشكالها.

انظر المعادلتين البارامتريتين: ‪𝑥‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي اثنين ‪sin 𝑡‬‏، و‪𝑦‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاثة ‪cos 𝑡‬‏، حيث ‪𝑡‬‏ أكبر من صفر وأقل من ثلاثة ‪𝜋‬‏. أي مما يلي هو التمثيل البياني للمعادلتين المعطاتين؟

لدينا هنا زوج من المعادلات البارامترية ومطلوب منا إيجاد رسم المنحنى على الفترة المفتوحة لـ ‪𝑡‬‏ من صفر إلى ثلاثة ‪𝜋‬‏. سيكون علينا إيجاد بعض أزواج الإحداثيات التي تحقق المعادلتين البارامتريتين. في حين لا نريد تضمين ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا و‪𝑡‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝜋‬‏، فإننا نعلم أن ‪𝑡‬‏ يقترب من كل من هاتين القيمتين. ولذا، سنستخدم التعويض المباشر لإيجاد زوج الإحداثيات الذي يقترب منه المنحنى عند نقطتي النهاية للفترة المفتوحة.

لنختر فترات جزئية طول كل منها ‪𝜋‬‏ على اثنين راديان. إذا أردنا فعلًا رسم المنحنى، فيمكننا اختيار ‪𝜋‬‏ على أربعة مثلًا ليكون طول الفترة الجزئية. ولكننا نريد فقط مقارنة الإحداثيات لدينا بالتمثيلات البيانية المعطاة. لإيجاد الزوج المرتب الأول، نعوض بـ ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا في كل من المعادلتين البارامتريتين. هذا يعطينا ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪sin‬‏ صفر و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪cos‬‏ صفر. إذن، أول زوج مرتب لدينا هو صفر، ثلاثة.

وبعد ذلك، نعوض بـ ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏ على اثنين. ومن ثم، يصبح لدينا ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪sin 𝜋‬‏ على اثنين و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪cos 𝜋‬‏ على اثنين. وهذا يعطينا ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين و‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا. نكمل النمط بالتعويض بـ ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏ للحصول على اثنين ‪sin 𝜋‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ وثلاثة ‪cos 𝜋‬‏ لـ ‪𝑦‬‏، وهو ما يعطينا الزوج المرتب صفر، سالب ثلاثة. نعوض بـ ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝜋‬‏ على اثنين في كل من المعادلتين، ونحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين و‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا. لـ ‪𝑡‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏، نحصل على الزوج المرتب صفر، ثلاثة. ثم نحصل على آخر زوجين مرتبين حيث ‪𝑡‬‏ يساوي خمسة ‪𝜋‬‏ على اثنين وثلاثة ‪𝜋‬‏. وهما اثنان، صفر، وصفر، سالب ثلاثة على الترتيب.

لنقارن هذه القيم بكل من التمثيلات المعطاة لدينا. وينبغي أن نتأكد من أننا نتحرك بقيم متزايدة لـ ‪𝑡‬‏. وهذا يعني أننا نبدأ عند ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا ونتحرك حتى ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝜋‬‏. وبذلك، يتبقى لدينا الخيار (ب) أو (ج). وفي الواقع، نحن نتحرك في اتجاه عقارب الساعة. لذلك، فإن ما يعنينا هو الخيار (ب). وربما تكون قد لاحظت أن القيم نفسها تتكرر. من المفترض أن يكون واضحًا الآن أنه نظرًا لطبيعة شكل هذا المنحنى، فإن هذا النمط سيتكرر إلى ما لا نهاية. إذن، التمثيل البياني للمعادلتين: ‪𝑥‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي اثنين ‪sin 𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ لـ ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاثة ‪cos 𝑡‬‏ هو (ج).

والآن، هل يمكنك أن تتوقع شكل المنحنى إذا كانت المعادلة ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ‪sin 𝑡‬‏؟ القيم ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏ على اثنين، و‪𝑡‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝜋‬‏ على اثنين، و‪𝑡‬‏ يساوي خمسة ‪𝜋‬‏ على اثنين، سوف تتغير إلى ثلاثة، وسالب ثلاثة، وثلاثة على الترتيب. وبمقارنة هذه القيم بالمنحنيات المعطاة، نجد أن هذا يعطينا دائرة. الآن يمكننا التأكد من ذلك بحذف ‪𝑡‬‏ واستخدام المتطابقة ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑥‬‏ زائد ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا. نقوم بتربيع معادلتي ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. ونجد أن ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي تسعة ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ زائد تسعة ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏. وبأخذ تسعة عاملًا مشتركًا، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن على النحو تسعة ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ زائد ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏. وبما أن ‪sin‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ زائد ‪cos‬‏ تربيع ‪𝑡‬‏ يساوي واحدًا، يصبح لدينا تسعة في واحد، أي تسعة.

هذا يتوافق مع المعادلة العامة لدائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها ‪𝑟‬‏. وبمقارنة التمثيل البياني مع المعادلة، نجد أن لدينا بالفعل دائرة يقع مركزها عند نقطة الأصل ونصف قطرها ثلاثة. بوجه عام، يمكننا القول إن المعادلتين البارامتريتين لدائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها ‪𝑟‬‏ هما: ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑟 cos 𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑟 sin 𝑡‬‏. ويأخذ ‪𝑡‬‏ قيمًا من صفر إلى اثنين ‪𝜋‬‏. وبعد ذلك، يتكرر النمط.

وهذا أمر يمكن تعميمه أكثر من ذلك. ونجد أن المعادلتين البارامتريتين لدائرة مركزها ‪𝑥‬‏ صفر، ‪𝑦‬‏ صفر ونصف قطرها ‪𝑟‬‏ هما: ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ صفر زائد ‪𝑟 cos 𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ صفر زائد ‪𝑟 sin 𝑡‬‏، حيث ‪𝑡‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي اثنين ‪𝜋‬‏. في المثال الأخير، سنرى منحنى خاصًا جدًا ممثلًا بمعادلتين بارامتريتين. ويسمى المنحنى القلبي.

ارسم المنحنى المعرف بالمعادلتين البارامتريتين ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪cos 𝑡‬‏ ناقص ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي اثنين ‪sin 𝑡‬‏ ناقص ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏، حيث ‪𝑡‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي اثنين ‪𝜋‬‏.

لدينا هنا زوج من المعادلات البارامترية ومطلوب منا رسم المنحنى في الفترة المغلقة لـ ‪𝑡‬‏ من صفر إلى اثنين ‪𝜋‬‏. سنبدأ بإيجاد بعض أزواج الإحداثيات التي تحقق المعادلتين البارامتريتين. وبما أننا نرسم المنحنى هذه المرة من البداية بدلًا من تحديده على التمثيل البياني، فقد اخترت قيمًا لـ ‪𝑡‬‏ بفترات جزئية طول كل منها ‪𝜋‬‏ على أربعة راديان. وهي صفر، و‪𝜋‬‏ على أربعة، و‪𝜋‬‏ على اثنين، وثلاثة ‪𝜋‬‏ على أربعة، وصولًا إلى اثنين ‪𝜋‬‏.

نبدأ بالتعويض بـ ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا في معادلة ‪𝑥‬‏. وهذا يساوي اثنين ‪cos‬‏ صفر ناقص ‪cos‬‏ اثنين في صفر، وهو ما يساوي واحدًا. ثم نعوض بصفر في معادلة ‪𝑦‬‏. وهذا يساوي اثنين ‪sin‬‏ صفر ناقص ‪sin‬‏ اثنين في صفر، وهو ما يساوي صفرًا. بالتعويض بـ ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏ على أربعة في معادلة ‪𝑥‬‏، نحصل على اثنين ‪cos 𝜋‬‏ على أربعة ناقص ‪cos‬‏ اثنين في ‪𝜋‬‏ على أربعة. واثنين في ‪𝜋‬‏ على أربعة يساوي ‪𝜋‬‏ على اثنين. هذا ببساطة يساوي جذر اثنين.

بتكرار هذه العملية لإيجاد قيمة ‪𝑦‬‏، نحصل على اثنين ‪sin 𝜋‬‏ على أربعة ناقص ‪sin 𝜋‬‏ على اثنين، وهو ما يساوي سالب واحد زائد جذر اثنين. في الواقع، سيكون من الأسهل تمثيل هذه القيم إذا كانت على الصورة العشرية. حسنًا، بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، يصبح لدينا ‪1.414‬‏ و‪0.414‬‏. أزواج الإحداثيات المتبقية التي تهمنا هي واحد، اثنان؛ وسالب ‪1.414‬‏، ‪2.414‬‏؛ وسالب ثلاثة، صفر؛ وهكذا.

بتمثيل هذه الأزواج على زوج من المحاور الإحداثية نحصل على شيء يشبه ذلك إلى حد ما. ثم نصل بين النقاط كما هو موضح ونضيف الأسهم لتوضيح اتجاه تتبع المنحنى. تذكر، نحن بذلك نتتبع قيم ‪𝑡‬‏ من الأصغر إلى الأكبر. وهكذا نكون قد مثلنا المنحنى المعرف بالمعادلتين البارامتريتين: ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪cos 𝑡‬‏ ناقص ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏، و‪𝑦‬‏ يساوي اثنين ‪sin 𝑡‬‏ ناقص ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. هذا المنحنى له اسم خاص. إذ يسمى المنحنى القلبي.

قد تلاحظ أنه سمي كذلك لأنه يشبه القلب. وهو شكل رائع يمكن تكوينه عن طريق تتبع المحل الهندسي لنقطة على دائرة حيث تدور هذه الدائرة حول دائرة أخرى لها نصف القطر نفسه.

عادة ما نستخدم الصورة القطبية لتمثيل هذه الأشكال. لكن بوجه عام، فإن معادلة ما نسميه بالمنحنى القلبي الأفقي، كهذا المنحنى هنا، في الصورة البارامترية هي: ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ اثنين ‪cos 𝑡‬‏ ناقص ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ في اثنين ‪𝑡‬‏ ناقص ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏. وبعكس ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ بحيث يكون ‪𝑥‬‏ مساويًا لـ ‪𝑎‬‏ اثنين ‪sin 𝑡‬‏ ناقص ‪sin‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ اثنين ‪cos 𝑡‬‏ ناقص ‪cos‬‏ اثنين ‪𝑡‬‏، يصبح لدينا منحنى قلبي رأسي. وهذا منحنى يشبه لحد ما شكل القلب في الاتجاه المعتاد الذي نتوقعه.

في هذا الفيديو، تعلمنا كيفية تمثيل منحنى بارامتري من خلال إنشاء جدول قيم ورسم اتجاه تتبع المنحنى. ورأينا أن المعادلتين البارامتريتين لدائرة مركزها ‪𝑥‬‏ صفر، ‪𝑦‬‏ صفر ونصف قطرها ‪𝑟‬‏ هما ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ صفر زائد ‪𝑟 cos 𝑡‬‏ و‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ صفر زائد ‪𝑟 sin 𝑡‬‏ لقيم ‪𝑡‬‏ في الفترة المغلقة من صفر إلى اثنين ‪𝜋‬‏. وأخيرًا، رأينا كيف يمكن رسم شكل رائع يسمى المنحنى القلبي باستخدام معادلات بالصورة المعطاة. كما عرفنا أننا إذا عكسنا معادلتي ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏، فإننا نحصل على منحنى قلبي باتجاه مختلف.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.